Комбинации многогранников и фигур вращения

1) Изучение математики в классах соответствующего профиля должно давать учащимся глубокие математические знания и широкое математическое развитие на базе основного курса математики.

2) Учащиеся – выпускники математических классов – должны обладать такими знаниями и умениями, которые полностью отвечали бы требованиям, предъявляемым к математической подготовке учащихся обычных школ, но вместе с тем были бы более глубокими и прочными.

3) Возможное расширение программы должно быть органически связано с основным курсом и соответствовать имеющимся (возникающим) интересам учащихся и их познавательным интересам.

Учебные задачи темы:

расширить и систематизировать представления учащихся о многогранниках, вписанных в сферу (описанных в сферу), по аналогии с многоугольниками, вписанными в окружность (описанными около окружности);

открыть необходимые и достаточные условия существования комбинации сферы с многогранниками (призмой, пирамидой); доказать полученные гипотезы;

выделить совместно с учениками ключевые задачи по теме «Комбинации многогранников и фигур вращения», связанные с расположением центра вписанной (описанной) сферы в многогранник (около многогранника).

Диагностируемые цели:

Ученик знает:

определение сферы, описанной около многогранника (многогранника, вписанного в сферу);

определение сферы, вписанной в многогранник (многогранника, описанного около сферы);

свойство центра сферы, описанной около многогранника (вписанной в многогранник);

что является множеством точек пространства, равноудаленных от двух, трех точек, n точек, лежащих на одной окружности;

что является множеством точек, лежащих внутри двугранного угла и равноудаленных от его граней;

необходимые и достаточные условия существования сферы, описанной около призмы, пирамиды;

что около любой треугольной пирамиды можно описать и в любую треугольную пирамиду можно вписать сферу;

необходимые и достаточные условия существования сферы, вписанной в пирамиду, прямую призму;

что если двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, то в пирамиду можно вписать серу;

ученик умеет:

охарактеризовать положение центра и радиусов сферы, описанной около призмы или пирамиды, вписанной в призму или пирамиду;

находить длину радиуса сферы, описанной около призмы или пирамиды, используя положение центра сферы;

находить длину радиуса сферы, писанной в призму или пирамиду, используя положение центра сферы.

Определение1.
Выпуклый многогранник называют вписанным, если все его вершины лежат на сфере. Эта сфера называется описанной для рассматриваемого многогранника.
Определение2.
Выпуклый многогранник называют описанным, если все его грани касаются сферы. Эта сфера называется вписанной для рассматриваемого многогранника.

Учебная задача

«открыть» совместно с учениками теоре-мы существования и единственности сфер, вписанной в тетраэдр и описанной около тетраэдра, на основе аналогии с теоремами о существовании и единствен-ности окружностей, вписанной в треуголь-ник и описанной около треугольника;

доказать полученные гипотезы.

Ученик знает:
что около любой треугольной пирамиды можно описать единственную сферу;
что в любую треугольную пирамиду можно вписать единственную сферу;

умеет:
охарактеризовать положение центра и радиусов сферы, описанной около треугольной пирамиды;
охарактеризовать положение центра и радиусов сферы, вписанной в треугольную пирамиду;

понимает:
схемы доказательств теорем существования и единственности сфер, вписанной в тетраэдр и описанной около тетраэдра.

Схема изучения темы «Комбинации многогранников со сферой»:

Вписанные в сферу и описанные около сферы треугольные пирамиды;

2) Вписанные в сферу и описанные около сферы n-угольные пирамиды;

3) Вписанные в сферу и описанные около сферы призмы.

доказательство

доказательство

доказательство

выявить возможности применения определения вписанной (описанной) в (около) многогранник(а) сфер и теорем, доказывающих существование сферы, описанной (вписанной) около (в) треугольной пирамиды (треугольную пирамиду), при решении задач;
«открыть» совместно с учениками необходимые и достаточные условия существования комбинации сферы с пирамидой;
доказать полученные гипотезы.

Ученик знает:
необходимые и достаточные условия существования сфер, описанной около пирамиды и вписанной в пирамиду;
что если двугранные углы при ребрах основания равны, то в пирамиду можно вписать сферу;

умеет:
охарактеризовать положение центра, радиусов сфер, описанной около тетраэдра (n-угольной пирамиды) и вписанной в тетраэдр (n-угольную пирамиду);
находить длины радиусов сфер, описанной около тетраэдра и вписанной в тетраэдр;

понимает:
схемы доказательств критериев существования сфер, описанной около пирамиды и вписанной в пирамиду;
что теоремы о сфере, вписанной в тетраэдр, и сфере, описанной около тетраэдра, являются частными случаями достаточных условий существования сфер, вписанной в пирамиду и описанной около пирамиды.

ABCD – правильная пирамида,
BD=DC=BC=b,
шар, описанный около пирамиды,
радиуса R

A

B

D

C

b

b

b

Длина бокового ребра пирамиды - ?

A

B

D

C

b

b

b

О1

О

определяем положение центра шара, описанного около данной пирамиды;

изображаем отрезки, являющиеся радиусом описанного около пирамиды шара, и находим длину отрезка АВ, используя условия задачи.

D

C

b

b

b

О1

О2

A

B

H

M

R= 5,
b=3

определяем положение центра шара, вписанного в данную пирамиду;

изображаем отрезки, являющиеся радиусом этого шара, и находим длину отрезка O2M, используя метод подобных треугольников.

доказательство

Для того, чтобы в выпуклую пирамиду можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы биссекторы двугранных углов при всех боковых ребрах пересекались по одному лучу или биссекторы всех двугранных углов при ребрах основания пирамиды проходили через одну точку.

доказательство

доказательтво