комплексные числа

Практическая 1 Вариант 1 1 Даны комплексные числа z1 = 5 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить z = z1 + z2  аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также z1  z2 ;  z1   z2 ; z1 z2 Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: б) Найдем модуль z:  r = √62+22 z  z1  z2  5  i  1  3i  6+2i = √36+4 = √40 в) Вычислим аргумент: х r ;     sinα = cosα = у r    тогда tg α ¿ 2 6  = 1 3           то есть  =  ­ а α rctg  1 3 г)  найдем  z1−z2=5−i−(1+3i)=5−i−1−3i=4−4i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (5­i)×(1+3i)=5×1+5×3i­1×i­i×3i=5+15i­i+3=8+14i                    е) z1 z2 1+3i= (5−i)(1−3i) 5−i (1+3i)(1−3i) =5+3−i−15i 1+9  = 8−16i 10  =  =0,8­1,6i вариант 2 1 Даны комплексные числа z1 = 5 + i и z2 = 1 ­2i. Вычислить z = z1 + z2  аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также z1  z2 ;  z1   z2 ; z1 z2 Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: z  z1  z2  5 i  1 i  6 – iб) Найдем модуль z:  r = √62+(−1)2 = √36+1 = √37 в) Вычислим аргумент: х r ;     sinα = cosα = у r    тогда tg α ¿ y x  = −1 6           то есть  =  ­ а α rctg  1 6 г)  найдем  z1−z2=5+i−(1−2i)=5+i−1+2i=4+3i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (5+i)×(1­2i)=5×1­5×2i + 1×i­i×2i=5­10i+i+2=7­9i                    е) z1 z2 1−2i= (5+i)(1+2i) 5+i (1+2i)(1−2i) =5−2+i+10i 1+4  = 3+11i 5  =  =0,6+2,2iВариант 3 1 Даны комплексные числа z1 = 5 +2i и z2 = 2­ i. Вычислить z = z1 + z2  аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также z1  z2 ;  z1   z2 ; z1 z2 Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: б) Найдем модуль z:  r = √72+12 z  z1  z2  5 i  2 i  7+i = √49+1 = √50 в) Вычислим аргумент: х r ;     sinα = cosα = r    тогда tg α ¿ 1 у 7  ,       то есть  =  аα rctg  1 7 г)  найдем  z1−z2=5+2i−(2−i)=5+2i−2+i=3+3i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (5+2i)×(2 – i )=5×2+2×2i­5×i­i×2i=10+4i – 5i +2=10­i                    е) z1 z2 2−i= (5+i)(2−i) 5+2i (2+i)(2−i) =10−5i+2i+1 1+4  = 11−3i 5  =  =2.2­0,6i 1 Даны комплексные числа z1 = 3 – 4i и z2 = 1 + i. Вычислить z = z1 + z2  аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также Вариант 4 z1  z2 ;  z1   z2 ; z1 z2 Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: z  z1  z2  3  4i  1  i  4 ­ 3i  б) Найдем модуль z:  r = √42+(−3)2 = √16+9 = √25=5 в) Вычислим аргумент: х r ;     sinα = cosα = у r    тогда tg α ¿ −3 4  ,           то есть  =  ­ а rctg  α 3 4г)  найдем  z1−z2=3−4i−(1+i)=3−4i−1−i=3−5i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (3 ­ 4i )×(1+i)=3×1+3×i­4i×i­4i×1=3+3i+4­4i=7­i                    е) z1 z2 1+i =(3−4i)(1−i) 3−4i (1+i)(1−i) =3−3i−4i+4 1+1 7−7i 2  =  =  =3,5­3,5i Вариант5 1 Даны комплексные числа z1 = 3+ i и z2 = 5­2i. Вычислить z = z1 + z2 аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также z1 z2 z1  z2 ;  z1   z2 ; Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: z  z1  z2  3+i  5 i  8­i б) Найдем модуль z:  r = √82+(−1)2 = √64+1 = √65 в) Вычислим аргумент: у r    тогда tg α ¿ −1 х r ;     sinα = 8  = ­  cosα = 1 8           то есть  =  ­ а α rctg  1 8 г)  найдем  z1−z2=3+i−(5−2i)=3+i−5+2i=−2+3i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (3+i)×(5­2i)=15­6i+5i+2=17­i                    е) z1 z2 5−2i= (3+i)(5+2i) 3+i (5+2i)(5−2i) =15+5i−2+6i 25+4  = 13+11i 29  = 13 29 + 11 29 i  = Вариант6 1 Даны комплексные числа z1 = 4+5 i и z2 = 1­2i. Вычислить z = z1 + z2 аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а такжеz1 z2 z1  z2 ;  z1   z2 ; Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: z  z1  z2  4+5i  1i  5­3i б) Найдем модуль z:  r = √52+(−3)2 = √25+9 = √34 в) Вычислим аргумент: у r    тогда tg α ¿ −3 х r ;     sinα = cosα = 5          то есть  =  ­ а rctg  α 3 5 г)  найдем  z1−z2=4+5i−(1−2i)=4+5i−1+2i=3+7i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (4+5i)×(1­2i)=14­3i z1 z2 1−2i= (4+5i)(1+2i) 4+5i (1+2i)(1−2i) = 4+8i+5i−10 1+4  =  = −6+13i 5  =                    е) −1,2+2,6i1 Даны комплексные числа z1 = 5 – i и z2 = 1 + 3i. Вычислить z = z1 + z2  аналитически и графически, найти модуль и аргумент z, а также z1  z2 ;  z1   z2 ; z1 z2 Решение: а) Вычислим сумму аналитически и графически: б) Найдем модуль z:  r = √62+22 z  z1  z2  5  i  1  3i  6+2i = √36+4 = √40 в) Вычислим аргумент: х r ;     sinα = cosα = у r    тогда tg α ¿ 2 6  = 1 3           то есть  =  ­ а α rctg  1 3 г)  найдем  z1−z2=5−i−(1+3i)=5−i−1−3i=4−4i                    д) вычислим  z1×z2=¿ (5­i)×(1+3i)=5×1+5×3i­1×i­i×3i=5+15i­i+3=8+14i                    е) z1 z2 1+3i= (5−i)(1−3i) 5−i (1+3i)(1−3i) =5+3−i−15i 1+9  = 8−16i 10  =  =0,8­1,6iПрактическая 2 вариант 1 . Требуется: a= 4 1−i 1.Дано комплексное число    1) записать число  а в алгебраической и тригонометрической форме; 2 найти все корни уравнения z3=а2 Решение : 1) Представим число в алгебраической форме, для чего числитель и  знаменатель умножим на сопряженное знаменателю число: a= 4 1−i = 4(1+i) (1−i)(1+i) = 4+4i 1+1  = 4+4i 2 =2+2i  . Получили комплексное число в  алгебраической форме, у которого х=Re a= 2 ,  y= Im a=2. Найдем модуль  этого числа r= √x2+y2=√22+22 = √8=2√2   ,   cosφ = 2√2 2√2√2 = x r =  2 2√2 = 2√2 4 = √2 2 ,  sinφ = y r = √2 2 откуда следует ,что  φ =3 /4 и тригонометрическая форма числа имеет вид π а=2 √2   ( 3π 4 cos 3π 4 +isin¿ ¿ 2) Для решения уравнения z3=а2  найдем а2 = (2√2)2 ( 2 3π 4 cos2 3π 4 +isin¿¿ =8( 3π 2 cos 3π 2 +isin¿¿ =8i и r= |8i| =8, φ=π 2 Найдем затем ,zk = 3√a2 = 3√8i = 3√8i