КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для проведения текущего контроля успеваемости по дисциплине «Теория игр»

Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия»  Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин УТВЕРЖДАЮ Первый проректор, кандидат экономических наук ___________________   А.И. Васильев КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ  для проведения текущего контроля успеваемости  по дисциплине  «Теория игр» Обсуждено на заседании кафедры  Высшей математики и  естественнонаучных дисциплин «31» августа 2017 г. Протокол № 1 Составитель(­и): Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой  Ravgat@yandex.ru Рейтер К.А. к.ф.н., доцент  Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017 Содержание I. Содержание дисциплины.............................................................................3 II. Практикумы по решению задач..................................................................5 III. Контрольные работы...............................................................................17 IV. Вопросы для самоконтроля....................................................................18 V. Экзаменационные билеты..................................................................................20 2 I. Содержание дисциплины Тема 1. Bведение в теорию игр Многосторонность интересов в процессе исследования, моделирования и управления в экономике. Задачи многокритериальной оптимизации. Основные определения и положения математической теории игр. Общая математическая модель игры, понятия участников игры, стратегий, функций выигрыша. Классификация игр, проблематика математической теории игр и об­ щие сведения о методах их решения. Составление математических моделей прикладных задач из области экономики, менеджмента и других с позиций теории игр. Тема 2. Антагонистические игры  Матричные игры.  Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Седловая   точка.  Свойства   оптимальных   стратегий   и   цена   игры. Методы   решения.   Игры   2х2.   Игры   2хn,   mх2.   Доминирование. Решение   парных   конечных   игр   в   смешанных   стратегиях, аналитический метод.  Геометрическая интерпретация матричной игры 2×2. Методы линейного программирования как инструмент решения игровой задачи.   Приведение   матричной   игры   к   задаче   теории   линейного программирования.   Симплекс­метод   в   теории   игр.   Решение   модельных примеров из экономики. Графоаналитический   метод   решения   матричных   игр   2×n   и     m×2. Решение  игр 3x3 геометрическими методами. Анализ решений классических задач теории игр. Итеративный   метод   Брауна.   Применение   теории   игр   для   анализа проблем микроэкономики. Тема 3. Бескоалиционные неантагонистические игры  Неантагонистические   игры.   Их   классификация.   Бескоалиционная игра   n   лиц.  Понятие   о   бескоалиционной   игре   в   нормальной   форме. Биматричные игры. Примеры игр.    Принципы   оптимальности   в   бескоалиционных   играх.   Ситуации равновесия по Нэшу. Теорема Нэша. Свойства ситуаций равновесия.   Оптимальность   по   Парето.   Смешанное   расширение бескоалиционной   игры.   Решение   статических   бескоалиционных   игр   с конечными множествами стратегий сторон.  Моделирование реальных конфликтов бескоалиционными играми. Тема 4. Кооперативные игры  3 Арбитражные схемы. Классические кооперативные игры. Принцип  C­ядра   и   вектора   Шепли.   Решение оптимальности   в   форме кооперативных игр на основе  характеристической  функции, на основе  Моделирование   реальных вычисления  C­ядра   и   вектора   Шепли. конфликтов кооперативными играми. Тема 5. Позиционные игры  Математические модели конфликтов, учитывающие динамику. Позиционные игры  с полной  информацией.  Конечно­шаговые   игры   с полной   информацией.  Графическое   представление   позиционной   игры, информационные множества. Точки   равновесия   в   позиционных   играх.   Игры   с   идеальной   памятью. Примеры. Иерархические игры (кооперативная теория) Примеры. Подходы к решению. Тема 6. Игры с неполной информацией и игры с природой   Игра   с  переговорами   двух   лиц   с  неполной   информацией   с  двух сторон,   с   одной   стороны.   Понятие   выбора   решения   в   условиях неопределенности.  Многошаговые игры с неполной информацией.  Игра   с природой. Критерии рационального выбора в играх с природой. Критерий максимакса,   Максиминный   критерий   Вальда,   минимаксный   критерий  Принятие Сэвиджа,   критерий   обобщенного   максимина   Гурвица.   решений в условиях риска, критерии. 4 II. Практикумы по решению задач Практикум по решению задач №1 Тема 1. Bведение в теорию игр. Содержание практикума (перечень задач): 1.Предприниматель,   осуществляющий   ремонт   автомашин,   хочет определить, какое ему надо выбрать число ремонтных мест в мастерской, чтобы в последующем получить максимальную выручку. При этом у него имеются   следующие   данные:   выручка   с   каждой   обслуженной   машины будет составлять 19 у. е., простой (когда машин на обслуживании нет) — 16 у. е., а убыток от невозможности обслужить (нет ремонтных мест) — 15 у. е. и ремонтных машиномест может быть 2, 3,5, 8.   Требуется составить платежную матрицу, если машины будут по­ ступать на ремонт в количестве 2, 3, 5 и 8 шт. 2.   Две   конкурирующие   крупные   торговые   компании   Виктория   и Вестер планируют построить в одном из четырех небольших городов Г1, Г2,   Г3,   Г4,   лежащих   вдоль   автомагистрали,   по   одному   универсаму. Взаимное расположение городов, расстояния между ними и численность населения показаны на рис. 1. Распределение оборота, полученного каждой фирмой, определяется численностью населения, а также степенью удаленности универсамов от места   жительства   покупателей.   Исследования   показали,   что   торговый оборот   в   универсамах   будет   распределяться   между   компаниями   в соответствии с данными таблицы. Распределение Условия сторон компаниями, %   Универсам компании Вестер расположен к   городу   ближе   универсама   компании 5 Вестер 75 между Викто рия 25 Виктория обеих     Универсамы компаний расположены на одном расстоянии от города Универсам компании Вестер расположен к   городу   дальше   универсам   компании Виктория 60 45 40 55 Найти   с   помощью   аппарата   теории   игр,   в   каких   городах целесообразно компаниям построить свои универсамы. 3. Ежемесячно страховая компания «Гарантия» страхует 100 объек­ тов   фирмы   «Волна».   Каждый   из   объектов   страхуется   на   1000   руб. Страховщик забирает себе 10 % от страховой суммы при заключении контракта. В следующем году страховщик намерен увеличить свой доход путем повышения процентной ставки на 1, 2 или 3 процента. Страховая компания не намерена увеличивать расходы на страхо­ вание, а поэтому готова уменьшить количество страхуемых объектов на 5, 10 или 15 штук. Смоделируйте дальнейшее сотрудничество страховой компании со страхователем, построив платежную матрицу. При каких условиях оно остается выгодным для страховщика? 4.  Сельскохозяйственное предприятие может посеять одну из трех культур — А1,  А2,А3. Необходимо определить, какую из культур сеять, если при прочих равных условиях урожаи этих культур зависят главным образом   от   погоды,   а   статистические   данные   о   погодных   условиях отсутствуют.   План   посева   должен   обеспечить   наибольший   доход. Состояния   погоды   можно   охарактеризовать   тремя   вариантами:   В1  — сухо, В2 — нормально, В3 — влажно. Показатели урожайности культур в зависимости от состояний погоды и цена п у.е. каждой культуры приведены в таблице. Урожайность   культуры   в В3  7,5 12,5 5 4 В3  0 7,5 10 8 Состояния погоды центнерах В1 В2 Вз Цена за 1ц.    Составить платежную матрицу задачи. В3  20 5 15 2 6 5. Два магазина могут продавать некоторый товар по 10 руб., по 12 руб. и по 14 руб. за шт. Каждый день покупатели приобретают в этих магазинах 100 ед. этого товара. Если цена будет одинаковая, то в обоих магазинах купят равное количество товара. Если разница в це­ нах будет 2 руб., то более дешевый товар купят 70 % покупателей. Если разница   в   ценах   будет   4   руб.,   то   более   дешевый   товар   купят   90   % покупателей.   Составить   платежную   матрицу,   отражающую   разность дохода первого и второго магазинов при любом сочетании стратегий.  Требуется:  1. Выполнить  процесс решения задачи, описать его, включая  промежуточные вычисления; 2. Итоговый результат должен быть выделен.          3.  Интерпретировать полученные результаты. Условия выполнения: 1. Место (время) выполнения задания: На практическом занятии. 2. Максимальное время выполнения: 130 мин. 3.   Источники   информации   и   используемое   оборудование: материалы по дисциплине, ПК, имеющий подключение к сети  Internet, проектор. 4. Инструкции/рекомендации по выполнению:  4.1. Выдать задание практикума. 4.2.   Объяснить   порядок   выполнения   задания,   ответить   на возникающие вопросы. 4.3.   Консультировать   студентов   по   ходу   выполнения   задания, отвечать на возникающие вопросы. 4.4. Принять и оценить выполненный практикум. Практикум по решению задач №2 Тема 2. Антагонистические игры Содержание практикума ( план решения, перечень задач): 1. План решения: 1) Применить отношение доминирования. 2)  Провести анализ игры на наличие седловой точки. 3) Если седловой точки нет, то искать графоаналитическое решение в оптимальных смешанных стратегиях 2х2, mx2, 2xn. Игры  mxn  решать путем сведения их к задаче линейного программирования.  1. Найти оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В.     7 3  7 5  2       28534 81923     а) А =    б) А= в)  А=           43 25 72 91 32 76                   2. Решить методом Гаусса матричную игру: А =       4  3   1  1   2   2   6   1   2  3. Свести задачу к задаче линейного программирования и решить ее симплекс  методом  или    с использованием   функции  Поиск  решения  в Excel 8 А = 1   3   2 2   2   4 4   3    1           Требуется:  1. Выполнить   процесс решения задачи, описать его, включая промежуточные вычисления; 2. Итоговый результат должен быть выделен. 3.       Интерпретировать полученные результаты. Практикум по решению задач № 3 Тема 3. Бескоалиционные неантагонистические игры Содержание практикума ( план решения, перечень задач): 1. План решения: 1) Применить отношение доминирования. 2) Решить игру графическим способом, найти точку равновесия. 3) Вычислить выигрыши сторон.  а) Найти решение биматричной задачи. А =     5  2 3  7     , В=     2  3 1   4    б) Дана матрица выигрышей.  Найти решение биматричной задачи, предварительно уменьшив ее размерность по критерию:  —    сторона   А   хочет   максимизировать   свой   выигрыш   и минимизировать выигрыш стороны В; —  сторона В хочет максимизировать свой выигрыш;   9 А =  3  6  2 4  1  7 6  5  1 6  1  8             ,   В=         2  1  3  1  5  2   3  1  4  1  2  6  в) Дана матрица выигрышей.  Найти решение биматричной задачи, предварительно уменьшив ее размерность по критерию —  каждая из сторон хочет минимизировать выигрыш противники. А =  3  6  5 4  1  7 6  5  1           ,   В=       2  1  3 1  5  2 3  1  4      г) Даны матрицы проигрышей. Найти решение биматричной задачи, предварительно уменьшив ее размерность по критерию —    каждая   из   сторон   хочет   максимизировать     проигрыш противники. А =  3  6  5 4  1  7 6  5  1           ,   В=       2  1  3 1  5  2 3  1  4      Требуется:  1. Выполнить   процесс решения задачи, описать его, включая промежуточные вычисления; Итоговый результат должен быть выделен. 2. 3.       Интерпретировать полученные результаты. 4.3.   Консультировать   студентов   по   ходу   выполнения   задания, отвечать на возникающие вопросы. 4.4. Принять и оценить выполненный практикум. 10 Практикум по решению задач  №4 Тема 4. Кооперативные игры Содержание практикума (план выполнения, перечень задач): 1. План решения: а) Решить биматричные игры с целью определения «индивидуальных выигрышей» б) Найти выигрыши всевозможных конфигураций  коалиций. в) Выбрать  игру с наиболее устойчивой конфигурацией. г)   Провести   дележ   внутри   коалиции   с   учетом   индивидуальной рациональности. 1.Дана  игра трех лиц в биматричной форме : а)  1­й против 2­ого:           А1 =      75,2  25,2 5,2 3­         ,        А2 =        4  75,3 9­      75,8      б)  1­й против 3­его: А1 =      75,2  25,2 5,2 3­         ,        А3 =                 75,0 1 25,2 2­           в)  2­й против 3­его: А2 =        4  75,3 75,8 9­         ,        А3 =                 75,0 1 25,2 2­           Найти решение данной игры в устойчивых коалициях. 2.  Имеются   три   предприятия,   специализирующихся   на   выпуске комплектующих   деталей   вида  А  или   вида  В  одинаковой   стоимости, 11 причем изделие собирается из одной детали вида А и одной детали вида В.  Возможности   предприятий   по   выпуску   этих   деталей   указаны   в таблице. I II III А 900 600 0 В 0 0 100 Так   как   ни   одно   из   предприятий   не   в   состоянии   самостоятельно производить   данное   изделие,   они   заключают   между   собой   договор   с последующим распределением прибыли. Какое распределение прибыли между этими тремя предприятиями будет оптимальным? Контрольная работа по темам №1­4. 1. Решить игру в чистых  стратегиях. А        \4  2  8 7  0  9 5  1  8 =      2. Решить  игру графоаналитическим способом  А =   5  2  1   4        ,   А=      28   2  34 1  4  52  7      ,    А=           4   5    9   2 5    2   7    3   8   4­                    2. Биматричная игра задана платежными матрицами А и Б. Решить графически. 12 А     3  2 1  4     , В=      6    5 2­  7    3. В магазине встречаются 3 покупателя. Первый имеет намерение приобрести товар на сумму 6000 рублей, второй ­ на 7000 и третий ­ на   сумму   8000   рублей.   В   магазине   действует   правило,   согласно которому при покупке на сумму свыше 10000 рублей предоставляется скидка в 10% , а при покупке на сумму 20000 – скидка в 20%.  Считая выигрышем   коалиции  покупателей   величину   скидки,  которую   получит эта   коалиция   (действующая   как   один   покупатель),   составьте характеристическую функцию этой игры.  Практикум по решению задач №5 Тема 5. Позиционные игры  Содержание практикума (план выполнения, перечень задач): План решения: 1) Дать графическое описание игры в виде дерева игры. 2) Описать стратегии игроков. 3) Построить таблицу выигрышей игрока А. 4) Представить таблицу в виде матрицы выигрышей и решить ее как матричную игру. Решить  позиционные игры: а) 1­й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1 , 2 }. 2­й ход делает игрок В: зная выбранное игроком А число х, он выбирает число у из множества двух чисел {1 , 2 }. 3­й ход делает игрок А: не зная о выбранном игроком В числе у на 2 ­м ходе и забыв выбранное им самим на 1 ­м ходе число х, он выбирает число z из множества двух чисел {1 . 2 }. После этого игрок А получает вознаграждение W (х, у, z) за счет игрока В: W(1,1,1) = ­ 2 , W(1,1,2)  =   4, W(1,2.1)  =  1 , 13 W(1,2.2)  = ­ 4 , W(2,1,1)  =  3 , W(2,1,2)  =  0, W(2,2.1)  = ­ 3 , W(2,2.2)  = ­ 5 , Нормализовать игру. б) 1 ­й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел { 1 , 2}. 2 ­й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1­м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел { 1 , 2}. 3­й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел { 1 , 2}, не зная ни значения х, ни значения у. После этого игроки расплачиваются по следующему правилу:  W(1,1,1) = ­ 2 , W(1,1,2)  =   4, W(1,2.1)  =  1 , W(1,2.2)  = ­ 4 , W(2,1,1)  =  3 , W(2,1,2)  =  0, W(2,2.1)  = ­ 3 , W(2,2.2)  = 5 , Нормализовать игру. в) 1­й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1 , 2 }. 2­й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1 ­м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1 , 2 }. 3­й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1 , 2 }, зная выбор  у  игрока  В  на 2 ­м ходе, но не помня собственного выбора х на 1 ­м ходе. После этого игроки расплачиваются по правилу, указанному в примере  б). Нормализовать игру. в) 1­й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, равное 1 с вероятностью 0,6 и равное 2 с  вероятностью 0,4. 2­й ход делает игрок А: он выбирает число у из множества двух чисел { 1 , 2}, не зная результатов случайного выбора на 1­м ходе. 3­й ход делает игрок В: он выбирает число z из множества двух чисел { 1 , 2}, зная о том, какое именно число х случайно выбрано игроком О на 1­м ходе, и не зная выбора у игрока А на 2­м ходе. После этого игроки расплачиваются, используя функцию W( x, у, z), ту же, что и в  примере б). Нормализовать игру. 14 г) «Переговоры»: 1 ­й ход делает сторона А: она выбирает одно из двух возможных предложений — число х из множества двух чисел { 1 , 2}. 2 ­й ход делает сторона В: она выбирает число у из множества двух чисел {1,2}, зная число х, предложенное стороной А. 3­й ход делает сторона А: она выбирает число z из множества двух   чисел   {1,2},   зная   о   предложении   стороны   В   на   2­м   ходе   и помня собственное предложение на 1­м ходе. После этого игроки расплачиваются, используя функцию W( x, у, z), ту же, что и в  примере б). Нормализовать игру. Требуется:  1.   Выполнить     процесс   решения   задачи,   описать   его,   включая промежуточные вычисления; 2. Итоговый результат должен быть выделен. 3. Интерпретировать полученные результаты. Практикум по решению задач  №6 Тема 6. Игры с неполной информацией и игры с природой Содержание практикума (перечень задач): Условия игры «с природой» заданы в виде выигрышей  А =       5  9  3  6 13  5  4  3 11  4  6  9      Требуется   выбор   действия   по   критериям   Вальда,   максимакса, Сэвиджа, Гурвица при  =0,6, Лапласа. α Контрольная работа по темам №5­6 1.Решить  позиционную игру. 1­й ход делает  игрок  А:  он выбирает число х  из множества двух чисел: {1,2}. 15 2­й   ход   делает   игрок   В:   зная   выбранное   игроком   А   число   х,   он выбирает число у из множества двух чисел: {1,2}. 3­й ход  делает игрок А: зная выбранное игроком В  числе у на 2­м ходе, но  забыв выбранное им на 1­м ходе число х, он выбирает число z из множества двух чисел: {1,2}. После этого игроки расплачиваются по правилу: W(1,1,1)= ­ 3               W(2,1,1)= 4 W(1,1,2) = 5                 W(2,1,2)= 1    W(1,2,1)=  2                  W(2,2,1)=­4 W(1,2,2)=  ­5                W(2,2,2)=  6    Нормализовать игру. Требуется:  1. Выполнить   процесс решения задачи, описать его, включая промежуточные вычисления; 2. Итоговый результат должен быть выделен. 3.       Интерпретировать полученные результаты. 16 III. Контрольные работы Контрольная работа по темам №5­6 1.Решить  позиционную игру. 1­й ход делает  игрок  А:  он выбирает число х  из множества двух чисел: {1,2}. 2­й   ход   делает   игрок   В:   зная   выбранное   игроком   А   число   х,   он выбирает число у из множества двух чисел: {1,2}. 3­й ход  делает игрок А: зная выбранное игроком В  числе у на 2­м ходе, но  забыв выбранное им на 1­м ходе число х, он выбирает число z из множества двух чисел: {1,2}. После этого игроки расплачиваются по правилу: W(1,1,1)= ­ 3               W(2,1,1)= 4 W(1,1,2) = 5                 W(2,1,2)= 1    W(1,2,1)=  2                  W(2,2,1)=­4 W(1,2,2)=  ­5                W(2,2,2)=  6    Нормализовать игру. 2. 1­й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, равное 1 с вероятностью 0,3 и, число равное 2 с вероятностью 0,7. 2­й ход делает игрок А: он выбирает число у из множества двух чисел {1 , 2 }, зная результат случайного выбора на 1 ­м ходе. 3­й ход делает игрок В: он выбирает число z из множества двух чисел   {1,2},   зная   выбор   у   игрока   А   на   2­м   ходе,   но   не   зная случайного выбора х на 1 ­м ходе. W(1,1,1) = 2,  W(2,1,1) = ­ 1 , W(1,1,2) = ­2, W(2,1,2) = 3, W(1,2,1) = 1,  W(2,2,1) = 0, W(1,2,2) = 0,  W(2,2,2) = ­ 3 . Нормализовать игру. 3. Найти наилучшие стратегии по критериям: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0, 4) для следующих платежных матриц игры с природой: 5 7 1 9          3 5 3 9  6 5  1 7  8  4 10 1 7 8 0 3 4 1 2 6        . 17 IV. Вопросы для  самоконтроля Тема 1. Bведение в теорию игр 1. Что такое конфликтная ситуация? Приведите пример. 2. Чем характеризуется конфликтная ситуация? 3. Дайте определение понятия «игра». 4. С чем связан риск принятия неоптимального решения? 5. Сформулируйте задачу теории игр в экономике. 6. Что такое коалиция? 7. Приведите классификацию коалиций. 8. Что формализуют правила игры? 9. Дайте определение «функции выигрыша». 10. Сформулируйте основную цель теории игр. 11. Приведите классификацию игр.   Тема 2. Антагонистические игры  1. Дайте определение понятия «чистые стратегии». 2. Принцип построения матрицы выигрышей. 3. Чем определяются значения элементов матрицы выигрышей? 4. Соотношение между матрицами выигрышей игроков A и B в  антагонистической игре. 5. Какой совокупностью параметров задаётся матричная игра? 6. Какой совокупностью параметров задаётся биматричная игра? Тема 3. Бескоалиционные неантагонистические игры 1. Объясните алгоритм поиска эффективной чистой стратегии для  игрока A в матричной m×n игре. 2. Каким основным свойством обладает максиминная чистая  стратегия игрока A? 3. Дайте определение нижней цены игры в чистых стратегиях. 4. Объясните алгоритм поиска эффективной чистой стратегии для  игрока B в матричной m×n игре. 5. Каким основным свойством обладает минимаксная чистая  стратегия игрока B? 6. Дайте определение верхней цены игры в чистых стратегиях. 7. Как связаны нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Тема 4. Кооперативные игры 1. Что такое неустойчивая ситуация? Приведите пример. 18 2. Охарактеризуйте устойчивую ситуацию. 3. Дайте определение и объясните алгоритм поиска  удовлетворительной ситуации для игрока A. 4. Дайте определение и объясните алгоритм поиска  удовлетворительной ситуации для игрока B. 5. Дайте определение седловой точки игры и седловой точки  матрицы игры. 6. Свойства равнозначности и взаимозаменяемости седловых точек. 7. Какие стратегии игроков называются оптимальными? 8. Дайте определение полного и частного решений игры в чистых  стратегиях. 9. Каким основным свойством обладает решение игры в чистых  стратегиях?   Тема 5. Позиционные игры  1. Дайте определение смешанной стратегии. 2. Как взаимосвязаны смешанные и чистые стратегии? 3. Геометрическая интерпретация множества смешанных стратегий. 4. Дайте определение ситуации в смешанных стратегиях. 5. Определение функции выигрыша в смешанных стратегиях и  формулы ее представления. 6. Показатель эффективности смешанной стратегии игрока А. 7. Показатель неэффективности смешанной стратегии игрока В. 8. Нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях. Тема 6. Игры с неполной информацией и игры с природой 1. Дайте определение цены игры в смешанных стратегиях. 2. Оптимальные смешанные стратегии. 3. Полное и частное решение игры в смешанных стратегиях. 4. Сформулируйте теорему Дж. Фон Неймана. 5. Свойства седловых точек для смешанных стратегий. 6. Критерий существования седловой точки в смешанных  стратегиях. 7. Дайте определение операции редуцирования игр. 8. Какая комбинация строк (столбцов) матрицы является  выпуклой? 9. Сформулируйте принцип доминирования для строк. 10. Сформулируйте принцип доминирования для столбцов. 11. Каким свойством должна обладать матрица, чтобы её можно  было разбить на подматрицы? 19 V. Экзаменационные билеты Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1 1. Общая   математическая   модель   игры,   понятия   участников   игры,   стратегий, функций выигрыша. 2. Найти   точки   равновесия   в   биматричной   игре   (A   –   матрица   выигрышей игрока 1, B – матрица выигрышей игрока 2) а)  A б)  A          5 4 5 10    ;     B ;     B  2 4  7  8      7 3 5 14 11  6 9 9           . . 3. Пользуясь критериями оптимальности с параметрами: =0,6; q1=0,3; L0 1=2, найти   оптимальные   детерминированные   и   рандомизированные   в   задаче выбора при неопределенности со следующей матрицей потерь: S1 –1 2 4 5 S2 3 6 –2 1 1 2 3 4 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН 20 УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2 1. Классификация   игр,   проблематика   математической   теории   игр   и   общие сведения о методах их решения. Антагонистические игры (общие понятия). 2. Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию П1, продукцию П2 и продукцию П3.  В  таблице представлены общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед.  ­ П1, 1ед. ­  П2, и 1ед. ­ П3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб.  Требуется   решить   вопрос   о   целесообразности   объединения предприятий,   найти   максимальный   возможный   доход   объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.  а)    P 1 P 2 P 3  I 0 II III 400 500    1000 800 300 200 0 0 ;        б)    P 1 P 2 P 3  I 0 II III 400 900    700 700 200 800 0 0 . 3. Применяя первую геометрическую интерпретацию, найти решение игры со следующей платежной матрицей: 1 11 3 1 2 2 8 4 3 5 6 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой 21 _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3 1. Оптимальность в антагонистических играх. 2. Создается ателье для ремонта телевизоров в стационарных условиях.  Пусть поток заявок на ремонт выражается числами 6 , 7, 8, 9  заявок в год.  Из предыдущего опыта известно, что прибыль от ремонта одного  телевизора составляет 50 у.е. в год. Потери, вызванные отказом в ремонте  ввиду недостатка мощности  2 у.е. Убытки простоя специалистов и  оборудования при отсутствии заявок 3  у.е. за каждую заявку. Необходимо принять решение в этих условиях по:   критерию максимакса;  максиминному критерию Вальда;  минимаксному критерию Сэвиджа;  критерию обобщенного максимина Гурвица. 3. Вторая геометрическая интерпретация игр двух лиц с нулевой суммой. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4 1. Матричные игры, стратегии и функции выигрыша. 2. Имеем   две   лотереи:  L1=(0,3А1;   0,2А2;   0,5А3)   и  L2=(0,2А1;   0,4А2;   0,4А3), причем   А1А2А3  и   А2~(0,7А1, 0,3А3).   Какая   из   этих   двух   лотерей предпочтительнее для индивидуума? 22 3. Применяя вторую геометрическую интерпретацию, найти решение игры со следующей платежной матрицей: 1 8 3 1 2 2 7 6 3 4 9 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5 1. Максиминные и минимаксные стратегии. 2. Пусть индивидуум может принять участие в одной из двух лотерей,  возможные исходы которых А1 — 10000 рублей, А2 — 7000 рублей, А3 —  1000 рублей и А4 — без выигрыша. В первую лотерею разыгрываются 100  билетов, из которых 10 дают исход А1, 15 —А2, 20 — А3, остальные А4, т.е. без выигрыша. Во вторую лотерею разыгрываются 120 билетов, из которых  12 дают А1, 20 — А2, 25 — А3, остальные без выигрыша. Какая из двух  лотерей лучше в смысле средней ожидаемой полезности? 3. Представление игры двух лиц с нулевой суммой в виде задач линейного программирования. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет 23 КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН «Синергия» УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6 1. Понятие верхней и нижней цены игры, связь между ними. 2. Индивидуальный   выбор   решения   при   неопределенности.   Постановка задачи. Матрица исходов. Матрица полезностей и переходы к матрицам потерь и сожалении. 3. Метод фиктивной партии. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7 1. Понятие о седловой точке в матричной игре. 2. Детерминированные   и   рандомизированные   решения   задач   выбора   при неопределенности.   Критерии   оптимальности:   минимаксный,   Гурвица, Сэвиджа, Байеса и Неймана–Пирсона. 3. Игры двух лиц с ненулевой суммой. Решение в некооперативном варианте. Игры типа «семейный спор» и «дилемма заключенного». Геометрическая 24 интерпретация. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8 1. Понятия о смешанных стратегиях. Математическое ожидание выигрыша. 2. Кооперативные игры. Совместные смешанные стратегии. Геометрическая интерпретация. 3. Понятие позиционной игры. Задание игры в развернутой форме. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9 1. Существование решения матричной игры в классе смешанных стратегий. 2. Понятие чистой стратегии игрока. Нормальная форма игры. 3. Решения кооперативных игр. Арбитражная схема Нэша. 25 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10 1. Теорема о минимаксе. Цена игры. 2. Игры двух лиц с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях. 3. Используя арбитражную схему Нэша, найти решение игры: 1 (5,1) (2,7) 2 (4,8) (6,3) 1 2 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11 1. Нахождение седловых точек в чистых стратегиях. 2. Найти   точки   равновесия   в   биматричной   игре   (A   –   матрица   выигрышей игрока 1, B – матрица выигрышей игрока 2) а)  A     5 4   2 4    ;     B     5 14 9 9    . 26 б)  A     5 10 7 8    ;     B     7 3 11  6    . 3. Пользуясь критериями оптимальности с параметрами: =0,6; q1=0,3; L0 1=2, найти   оптимальные   детерминированные   и   рандомизированные   в   задаче выбора при неопределенности со следующей матрицей потерь: S1 –1 2 4 5 S2 3 6 –2 1 1 2 3 4 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12 27 1. Понятие о бескоалиционной игре в нормальной форме. 2. Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию П1, продукцию П2 и продукцию П3.  В  таблице представлены общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед.  ­ П1, 1ед. ­  П2, и 1ед. ­ П3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб.  Требуется   решить   вопрос   о   целесообразности   объединения предприятий,   найти   максимальный   возможный   доход   объединения, справедливый дележ – вектор Шепли.  а)    P 1 P 2 P 3  I 0 II III 400 500    1000 800 300 200 0 0 ;        б)    P 1 P 2 P 3  I 0 II III 400 900    700 700 200 800 0 0 . 3. Применяя первую геометрическую интерпретацию, найти решение игры со следующей платежной матрицей: 1 11 3 1 2 2 8 4 3 5 6 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13 1. Основные соотношения между бескоалиционными играми. 2. Создается ателье для ремонта телевизоров в стационарных условиях.  28 Пусть поток заявок на ремонт выражается числами 6 , 7, 8, 9  заявок в год.  Из предыдущего опыта известно, что прибыль от ремонта одного  телевизора составляет 50 у.е. в год. Потери, вызванные отказом в ремонте  ввиду недостатка мощности  2 у.е. Убытки простоя специалистов и  оборудования при отсутствии заявок 3  у.е. за каждую заявку. Необходимо принять решение в этих условиях по:   критерию максимакса;  максиминному критерию Вальда;  минимаксному критерию Сэвиджа;  критерию обобщенного максимина Гурвица. 3. Решение игр двух лиц с нулевой суммой в смешанных стратегиях. Теорема о минимаксе. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14 1. Оптимальность в бескоалиционной игре. 2. Имеем   две   лотереи:  L1=(0,3А1;   0,2А2;   0,5А3)   и  L2=(0,2А1;   0,4А2;   0,4А3), причем   А1А2А3  и   А2~(0,7А1, 0,3А3).   Какая   из   этих   двух   лотерей предпочтительнее для индивидуума? 3. Применяя вторую геометрическую интерпретацию, найти решение игры со следующей платежной матрицей: 1 8 3 1 2 2 7 6 3 4 9 29 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15 1. Смешанное расширение бескоалиционной игры. Равновесие по Нэшу. 2. Пусть индивидуум может принять участие в одной из двух лотерей,  возможные исходы которых А1 — 10000 рублей, А2 — 7000 рублей, А3 —  1000 рублей и А4 — без выигрыша. В первую лотерею разыгрываются 100  билетов, из которых 10 дают исход А1, 15 —А2, 20 — А3, остальные А4, т.е. без выигрыша. Во вторую лотерею разыгрываются 120 билетов, из которых  12 дают А1, 20 — А2, 25 — А3, остальные без выигрыша. Какая из двух  лотерей лучше в смысле средней ожидаемой полезности? 3. Представление игры двух лиц с нулевой суммой в виде задач линейного программирования. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. 30 Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16 1. Теорема Нэша. Свойства ситуаций равновесия. Ситуации, оптимальные по  Парето. 2. Индивидуальный   выбор   решения   при   неопределенности.   Постановка задачи. Матрица исходов. Матрица полезностей и переходы к матрицам потерь и сожалении. 3. Метод фиктивной партии. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17 1. Биматричные игры. Нахождение оптимумов по Нэшу и по Парето в чистых  стратегиях. 2. Детерминированные   и   рандомизированные   решения   задач   выбора   при неопределенности.   Критерии   оптимальности:   минимаксный,   Гурвица, Сэвиджа, Байеса и Неймана–Пирсона. 3. Игры двух лиц с ненулевой суммой. Решение в некооперативном варианте. Игры типа «семейный спор» и «дилемма заключенного». Геометрическая интерпретация. 31 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 18 1. Классификация коалиционных игр двух и трех лиц. 2. Кооперативные игры. Совместные смешанные стратегии. Геометрическая интерпретация. 3. Понятие позиционной игры. Задание игры в развернутой форме. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 19 1. Позиционные игры с полной информацией. 2. Первая геометрическая интерпретация игр двух лиц с нулевой суммой. 3. Решения кооперативных игр. Арбитражная схема Нэша. Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования «Московский финансово­промышленный университет «Синергия» 32 КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _______________/Хамидуллин Р.Я./                                  «31» августа 2017 г. Дисциплина ТЕОРИЯ ИГР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20 1. Графическое представление позиционной игры, информационные множества. 2. Игры двух лиц с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях. 3. Используя арбитражную схему Нэша, найти решение игры: 1 (5,1) (2,7) 2 (4,8) (6,3) 1 2 33