Конкурсная работа для поступления в 7 класс с углубленным изучением математики

Конкурсная работа для поступления в 7^й физико-математический класс

II часть

Инструкция по выполнению работы

Запишите на первой странице в правом верхнем углу номер Вашего шифра. Отступите от шифра три клетки и начинайте выполнение работы.

На выполнение работы отводится 110 минут. Всего в работе 15 заданий. К каждому из них должно быть записано полное решение. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Обращаем Ваше внимание на то, что при выполнении работы запрещено пользоваться любыми справочными материалами, кроме предложенных в тексте данной работы (таблица простых чисел), а также калькулятором и средствами мобильной связи. При решении заданий можно использовать черновик, при этом записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

Желаем успеха!

Таблица простых чисел (до 997)

2023 г.

2023                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

1.  Известно, что числа a и b противоположные, а числа a и с – взаимно     обратные. Найдите разность b – с, если .

2.   На координатной прямой отмечены числа m, n и p:

Сравните: а) и ;

                   б)  и ;

                   в) и .

3.    Решите задачу:

В январе одна тетрадь стоила 40 рублей. В феврале цена на тетрадь была снижена на 25%, а в марте цена снизилась еще на 10%. Какое наибольшее количество тетрадей можно купить в марте на 1000 рублей?

4.  В числе 81** замените «звездочки» такими цифрами, чтобы число делилось на 45. Укажите все возможные варианты и запишите ваши рассуждения.

5.    Решите уравнение: .

6.   Решите задачу:

Катер прошёл 72 км по течению реки за 2,5 ч, а затем шёл по озеру, в которое впадает река еще 1ч 20 мин. Какой путь прошёл катер по озеру, если скорость реки 1,8 км/ч?

7.   Из вершины O развернутого угла АОВ проведен луч ОМ, а внутри угла МОВ – луч ОК. Известно, что составляет  угла АОВ, а больше в 3 раза. 1) Найдите градусные меры углов АОМ,  МОК и КОВ. 2) Постройте все эти углы.                                                           

8.    Решите задачу:

Для приготовления вишневого сиропа взяли 6 частей ягод, 4 части сахара и 2 части воды (по массе). Известно, что ягод взяли на 5 кг больше, чем сахара. Найдите массу полученного сиропа.

9.   Найдите значение выражения:

      1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ……. + 2019 – 2020 + 2021 – 2022.

Запишите ваши рассуждения (или покажите способ нахождения значения выражения).

10. Решите задачу:

Периметр четырехугольника ABCD равен 32 см. Отрезок BD делит его на два треугольника. Периметр треугольника АВD равен 16 см, а периметр  треугольника DВС равен 25 см. Найдите длину отрезка ВD.

11. Решите задачу:

Автомобиль ехал 3,5 ч со скоростью 62 км/ч, 4,2 ч – со скоростью 65 км/ч и еще 2,3 ч. С какой скоростью ехал автомобиль эти 2,3 ч, если средняя скорость автомобиля на всем пути равна 62, 8 км/ч?

12.  Дана верная пропорция:

                            .

Найдите х.

13.  Решите задачу:

Два тракториста за один день вспахали  поля, причем первый тракторист вспахал  всего поля. За сколько дней вспашет оставшуюся часть поля второй тракторист, работая в одиночку, если будет работать с той же производительностью?

14. Найдите наименьшее натуральное число S, при котором каждое из чисел:

;    ;   

       будет целым числом.

15.  Древнегреческий ученый Архимед доказал, что «твердое тело, погружённое в жидкость, вытесняет объем жидкости, равный объему погружённой в жидкость части тела». Это утверждение назвали «Законом Архимеда».

       Пользуясь законом Архимеда решите задачу:

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 40 см, ширина составляет 75% длины, а высота в 1,5 раза больше ширины. В аквариум до самого верха налили воду, а затем полностью  погрузили в него металлический куб, ребро которого равно 10 см. Сколько литров воды после этого осталось в аквариуме?

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

3

Верно найдены значения а, b и с, но значение выражения b – с найдено неверно или отсутствует

2

Верно вычислено значение а или при нахождении значения а допущена одна вычислительная ошибка, при этом задание доведено до конца и получен ответ, неверный с учетом этой ошибки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Получен верный ответ в каждом из пунктов

3

Получен верный ответ в двух пунктах

2

Получен верный ответ в одном из пунктов

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

3

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ

2

Верно найдена цена одной тетради в марте, при этом решение может быть не закончено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Указаны все числа и приведены верные рассуждения

2

Указаны все числа, но обоснования неполные или отсутствуют

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

3

Имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения, получены два корня, один из которых неверен из-за вычислительной ошибки

2

Задание верно сведено к решению двух уравнений, но верно решено только одно из уравнений

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

3

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ

2

Верно найдены скорость катера по течению реки и собственная скорость катера

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ, выполнено верное построение

4

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ, с учетом этой ошибки верно выполнено построение или получен верный ответ, выполнено верное построение, но решение недостаточно обосновано

3

Верно найдены градусные меры всех углов, но построение выполнено неверно или отсутствует

2

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ построение при этом отсутствует или выполнено неверно или верно найдены градусные меры углов АОМ и МОВ при этом решение задачи может быть не закончено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

4

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

2

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

2

Получен верный ответ, но обоснования отсутствуют

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

2

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ или получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

4

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ

3

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано (нет пояснений)

2

Верно найден весь пройденный путь

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

4

Содержание критерия

Баллы

Получен верный ответ и выполнена проверка

2

Указано верное число

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

2

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ или получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано (нет пояснений)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

2

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

3

Ход решения верный (дроби приведены к обыкновенным несократимым), но допущена одна вычислительная ошибка из-за которой возможно получен неверный ответ

2

Получен верный ответ, но решение не обосновано

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

Обосновано получен верный ответ

4

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой возможно получен неверный ответ

3

Ход решения верный, решение задачи доведено до конца, но решение недостаточно обосновано (нет пояснений) или присутствуют ошибки в единицах измерения величин (в том числе неверный перевод в литры)

2

Верно найдены все три измерения аквариума

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, указанных выше

0

Максимальный балл

4