Конспект урока по геометрии на тему: "Теорема Пифагора" и "Обратная Теореме Пифагора" (8 класс)

Урок геометрии в 8 классе Тема: «Теорема Пифагора» Задачи: ­ Объяснить ученикам различные доказательства теоремы Пифагора;               ­ учить решать задачи с помощью теоремы Пифагора;               ­ развивать логическое мышление, кругозор, математическую речь, интерес к математике;               ­ воспитывать усидчивость. Оборудование: ­ портрет Пифагора;                            ­ Наглядные пособия;           ­ Презентация «Теорема Пифагора»;          ­ Тест для закрепления и/или проверки знаний по теме «Т.П.»          ­ ПК, мультимедийный проектор      Ход урока Здравствуйте.  Садитесь.  Сегодня  мы  будем   изучать   знаменитую   и  важнейшую  в геометрии теорему – теорему Пифагора.  С помощью теоремы Пифагора, пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Но, для начала, познакомимся с самим Пифагором.   Пифагор (ок. 569 – ок. 475 до н.э.) Родился на острове Самосе в Эгейском море, в семье купца Мнезарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18–20 лет он посетил старого тогда уже Фалеса, который и пробудил   интерес   юноши   к   математике   и   астрономии,   посоветовал   ему   поехать   для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем были Вавилон, Индия... По возвращении на Самос Пифагор основал свою школу, но затем покинул остров. В южноиталийском г. Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно и научной школой, и политическим и религиозным сообществом. В школе Пифагора   рассматривались   четыре   mathema   (науки):   арифметика,   музыка   (гармония), геометрия и астрономия с астрологией. Пифагорейцы считали, что в основе всего лежат числа и гармония, ими поддерживаемая, но все, что есть в математике нужно доказывать. Изучению   математики   придавался   мистический   характер,   что   не   помешало   найти доказательство теоремы Пифагора, а из нее получить (доказать!) иррациональность корня из двух! Это были великие математические открытия... Политическая деятельность пифагорейцев в конце концов привела к краху – после 30­летнего существования союза Пифагору с учениками пришлось уехать в г. Тарент, а потом в г. Месапонт. Здесь почти 95­летний Пифагор и погиб в одной из ночных стычек. Так закончилась легендарная жизнь первого математика!.. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат Теорема Пифагора гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.                                               c2 = a2 + b2 Пожалуй, это самая популярная теорема геометрии, сделавшая Пифагора наиболее знаменитым   математиком.   Но   на   самом   деле,   никаких   математических   сочинений   от Пифагора и его школы – пифагорейцев – не осталось. Более того, само утверждение было открыто   задолго   до   него.   О   наиболее   известном   частном   случае –   треугольнике   со сторонами 3, 4, 5 (32 + 42 = 52) – говорится в папирусе, который относят приблизительно к 2000 г.   до   н. э.   Соотношение   между   сторонами   прямоугольного   треугольника обнаруживается   и   на   вавилонских   клинописных   табличках,   и   в   древнекитайских   и древнеиндийских трактатах. Однако   в   современной   истории   науки   считается,   что   Пифагор   дал   ему   первое логически стройное доказательство. И отделить эту теорему от имени великого грека уже невозможно. Запишем   формулировку   теоремы   в   тетрадь   «в  прямоугольном   треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов», и докажем ее.   Теорему Пифагора также можно записать в виде схемы: Доказательства Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение»,   вышедшей   в   1940 г.,   собрал   370   разных   доказательств!   Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется не так уж много. Доказательство:  Рассмотрим   прямоугольный   треугольник   с   катетами  а,  b  и гипотенузой с. И докажем, что  Достроим треугольник до квадрата со стороной   a 2 b 2 c 2 ba  так, как показано на рисунке. Площадь   этого   квадрата   равна   ( ba  2) .   Но   также   его   площадь   равна     сумме площадей 4 треугольников и квадрата со стороной с. Т.е.  ,  раскрываем   скобки   ­   ba ab    2 c ( 2 ) 2 2 a S Т.о.  c b 2 2   .  2 a 4 1  2 ab 2  ab 2  c 2 ab 2  c . 2  b 2 ab 2  c и   получаем Что нам и требовалось доказать. Также существует еще одна формулировка: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах Теорему   этой   формулировки   мы   доказывать   не   будем.   Но,   хочу   отметить,   что теорема   не   потеряет   смысла,   если   квадраты,   построенные   на   сторонах   треугольника, заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами. Например, треугольниками, шестиугольниками и др. Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы (как изображено на рисунке),  то площадь полученных луночек (изображенные зеленым цветом), называемых луночками Гиппократа, равна площади данного треугольника. Попробуйте доказать самостоятельно.   (Сумма   площади   полукругов,   построенных   на   катетах,   равна площади полукруга, построенного на гипотенузе, и из них вычитаются одни и те же сектора (выделенные оранжевым цветом)). Рассмотрим другие доказательства теоремы Пифагора. Старинные   доказательства   опирались   на   чисто   геометрическую   формулировку теоремы через площади квадратов. Это и не удивительно, ведь раньше сами формулы записывались на геометрическом языке, например, чтобы обозначить произведение двух величин, говорили о площади прямоугольника, стороны которого равны этим величинам. В некоторых доказательствах малые квадраты разрезались на такие части, из которых складывался большой квадрат. Например,  доказательство Бхаскары, знаменитое своим текстом, точнее, почти полным его отсутствием. Имеется только формула: Доказательство Леонардо да Винчи Этот   рисунок   иллюстрирует   доказательство   теоремы   Пифагора,   придуманное Леонардо да Винчи.       В более позднее время было придумано множество остроумных конструкций этого рода: «Пифагоров паркет» Доказательство теоремы Пифагора, данное Евклидом  в «Началах», элегантно, но простым   его   не   назовешь.   Равенство   площадей   устанавливается   в   нем   с   помощью некоторого преобразования. Зато это доказательство нетрудно обобщить на произвольный треугольник. Теорема Пифагора по Евклиду: Шаг 1.                                                                ­ Начертим чертеж. Шаг 2. ­ Опустим высоту на гипотенузу треугольника и продлим ее до нижней стороны квадрата; (части, обозначенные одним цветом – равны) ­ Соединим угол А с противоположным углом квадрата   со   стороной  а  и заштрихуем получившийся треугольник. Шаг 3. ­ Развернем треугольник, не изменяя  его вершину В. Шаг 4. ­ Разделим части,  выделенные  одним  цветом, на равные  треугольники.  Площади получившихся треугольников равны с площадью предыдущего треугольника. ­ При всех преобразованиях треугольника его площадь не меняется. Аналогичные преобразования и для другого катета. Это лишь малая часть всех доказательств, которые существуют. Треугольники   со   сторонами   3,4,5;     6,8,10;     9,12,15;     12,16,20   и   т.д.   являются прямоугольными. Это можно легко доказать, если подставить значения длин сторон в формулу теоремы Пифагора. Прямоугольные   треугольники,   у   которых   длины   сторон   выражаются   целыми числами, называются Пифагоровыми треугольниками. А прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называется еще и «египетским» треугольником. Можно доказать, что катеты  a,  b  и гипотенуза  с  таких треугольников выражаются формулами   , 2 nm , где m и n – любые натуральные числа, такие, что m>n.  mb  mc  2 2 n a 2 n ,  2 Тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению  c2 = a2 + b2, т. е. служащие длинами сторон прямоугольных треугольников, называются Пифагоровыми.  Интересные факты К теореме Пифагора  его ученики составляли стишки, вроде: «Пифагоровы штаны во все стороны равны», А также рисовали такие карикатуры: Доказательство   теоремы   называли  Dons  asinorum”   ­  «ослиный   мост»,  так   как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого   моста.   Или   “elefuga”  «бегство убогих»,  так   как   некоторые   «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. А  саму теорему «ветряной мельницей», «теоремой – бабочкой» или «теоремой невесты», так как в некоторых списках «Начал» Евклида теорема Пифагора называлась теоремой Нимфы, «теорема – бабочка», по­видимому из­за сходства чертежа с бабочкой, поскольку   словом  «нимфа»  греки   называли   бабочек.  Нимфами   греки   называли   еще   и невест,   а   также   некоторых   богинь.   При   переводе   с   греческого   арабский   переводчик, вероятно, не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» не как «бабочка», а как   «невеста».   Так   и   появилось   ласковое   название   знаменитой   теоремы   –   «Теорема Невесты». Задачи Ученики решают задачи самостоятельно, после чего сверяют свое решение с  решением, представленным на слайде. Задача 1:  На сторонах прямоугольного треугольника построены полуокружности. Площади 1 S 9 2 S 4 образовавшихся луночек равны 9 и 4. Найдите площадь треугольника. Дано:             Найти:  Решение: Ответ: Задача Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли площадь = 13 кв.ед. 2:   S S 2 1  49 ?S S S 13   на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?  (Ответ: высота=4,55 чи) Дано: АВС – прямоугольный треугольник;           АС+АВ=10 чи; ВС=3 чи. Найти: АС=? Решение:                             (по Т. Пифагора)=> АВ пусть АС=х чи, тогда АВ=10­х  (АВ=10­АС), ВС=3 чи. ВС АС   2 2 2 2 2  х  х 20 2 х 3  х  91 2  9 2 2 2   10  100  20 х  91 х  20:91  55,4 х х х 20 х х                                  (чи)                   2 АС  АВ 2  2 ВС Ответ: Высота бамбука после сгибания равна 4,55 чи.  (Задания для закрепления: учебник «геометрия», автор Атанасян Л.С., стр. 128, № 483, 484, 485, 486, 487.). Обратная теореме Пифагора Существует также теорема, обратная теореме Пифагора. Т.е.: Если квадрат одной стороны   равен   сумме   квадратов   двух   других   сторон,   то   треугольник прямоугольный. Нетрудно убедиться, что теорема, обратная теореме Пифагора, также справедлива. Она   позволяет   проверить,   является   ли   тот   или   иной   треугольник   прямоугольным. Например,   если   стороны   треугольника   имеют   длины   в   3,   4   и   5   единиц,   то   такой треугольник   прямоугольный,   так   как   52 = 32 + 42.   Этим   пользовались   землемеры   и строители Древнего Египта: они размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Вопрос: «Подумайте и скажите, как это им удавалось?» (Возможны наглядные пособия – веревочки, разделенные на 12 равных частей.) Запишем формулировку обратной теореме Пифагора и докажем ее. «Если   квадрат   одной   стороны   равен   сумме   квадратов   двух   других   сторон,   то треугольник прямоугольный».  Обратную теореме Пифагора также можно записать в виде таблицы: Сравните прямую и обратную теоремы, чем они похожи и чем различаются? Доказательство: Пусть в треугольнике ABC  BC  2 2 AB прямой.   Рассмотрим   прямоугольный   треугольник   которого  CB 1 CA 1 AC BC  и  .  1 1 AC 1 CBA 1 1 2    с   прямым   углом   . Докажем, что угол С 1C ,   у По теореме Пифагора  Но   AB AC . Треугольники ABC и  2 BA 1 1 BC AB   2 2 2  AC   по   условию   теоремы.   Следовательно,   , и, значит,  2 CB 1 1 2 BA 1 1 2 CA 1 1   2 BC 2  BA 1 1 2 .  AB  равны по трем сторонам, поэтому  ,   откуда , 1С С  2 1 BA 1 т.е. треугольник ABC прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана. 1 CBA 1 1     Теорема Пифагора играет в геометрии исключительную роль. Благодаря тому, что она   позволяет   находить   длину   отрезка   (гипотенузы)   косвенно,   не   измеряя   его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости – в пространство и дальше, в многомерные пространства.   На ней основано применение в евклидовой   геометрии   метода   координат,   в геометрию алгебраические методы. Зная координаты двух точек –  A(x1,  y1) и  B(x2,  y2),   который   позволяет   принести расстояния   между   ними   можно   найти   по   формуле   ,   которая служит просто другой записью теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой AB и катетами, параллельными осям координат (их длины равны |x2 – x1| и |y2 – y1|, см. рис.). Теперь все геометрические понятия можно перевести на язык уравнений и формул. А   чтобы   перейти   к   геометрии   пространства,   можно   воспользоваться   еще   одним пространственным   вариантом  теоремы  Пифагора:  квадрат  диагонали  прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. А выводится он двукратным применением обычной теоремы Пифагора: d2 = AB2 = AC2 + CB2 = (AD2 + DC2) + CB2 = a2 + b2 + c2. Чтобы   найти   расстояние   между   двумя   точками   в   пространстве,   надо   просто добавить еще одну координату – z – и соответствующим образом изменить формулу для расстояния:   точек A и B. , где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) – координаты  zyxB , , 2 2 2 1  zyxA , , 1 1 Теорема Пифагора и физика Интересное применение обратная теорема Пифагора находит в физике. Если вам доводилось играть на бильярде, то вы могли заметить, что если ударить одним шаром по неподвижному   другому,   отклонившись   от   линии   их   центров,   то   после   удара   шары разлетаются под углом близким к прямому.  Это явление легко объяснить, предполагая, что удар абсолютно упругий, с помощью законов сохранения и обратной теореме Пифагора. Пусть   0u  ­ вектор его же скорости после столкновения, а   v ­ вектор скорости подвижного шара до соударения с неподвижным шаром, ­ вектор скорости неподвижного  u шара после удара.  Запишем закон сохранения импульсов для нашей системы из двух шаров, считая массу каждого шара равной – m. Из него видно, что скорость подвижного шара до удара равна векторной сумме скоростей шаров после удара.        Т.е. из трех векторов скоростей можно составить треугольник.  А теперь запишем закон сохранения энергии.  Переводя   на   геометрический   язык,   этот   закон   превращается   в   пифагорово соотношение между сторонами треугольника, составленного из скоростей.  Следовательно,   этот   треугольник   прямоугольный,   т.е.   скорости   шаров   после соударения – перпендикулярны.  Т.о.  теорема   Пифагора   и   обратная   теореме   Пифагора   не   только   изучаются   как теоретический   материал   в   геометрии,   но   и   используются   на   практике.   Приведите самостоятельно примеры, где могут понадобиться знания об этих теоремах.  (Задания для закрепления: учебник «геометрия», автор Атанасян Л.С., стр. 128­129, № 488­499.).