Решение уравнений, приводимых к квадратным, методом замены переменной урок в 8 классе по учебнику Мордковича А.Г.

Решение уравнений, приводимых к квадратным, методом замены переменной

урок в 8 классе по учебнику Мордковича А.Г.

Цель урока:

Обучающая: рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным; закрепить умение решать квадратные уравнения.

Развивающая:  развивать абстрактное и логическое мышление, умение переносить ранее полученные знания в новую ситуацию, познавательный интерес к предмету, математическую речь учащихся, вычислительных навыков.

 Воспитывающая:  воспитание аккуратности и трудолюбия.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран

ХОД УРОКА:

I.              Актуализация прежних знаний учащихся и создание проблемной ситуации.

На прошлых уроках мы научились  с вами решать квадратные уравнения.

Какие уравнения мы называем квадратными? От чего зависит решение квадратного уравнения! Сколько корней имеет квадратное уравнение?

Решить устно.

1. Какие из чисел  -5,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 являются корнями уравнений:

х² - 2х   = 0; х² - 25 = 0, у³ - 9у = 0

- какой метод вы применили при решении данных уравнений?

2. Проверьте решение уравнения( уравнение проектируется на слайде)

х³ - 3х² + 4х -12 = 0;

х²(х-3) + 4(х-3) = 0;

(х-3)(х²+4)= 0;

(х-3)(х-2)(х+2) =0;    х=3,х=2,  х=-2.

Ответ: 3;  -2;  2

Обучающиеся объясняют допущенную ошибку.

3.Задача. Произведение трех последовательных чисел равно 24. Найдите эти числа.

Ученики на черновиках составляют уравнение ,а затем один из них записывает его на доске.

А какие же это числа?

Ученики отвечают, что решить полученное уравнение мы не можем.

Учитель:

Итак, значит кроме известных нам линейных и квадратных уравнений существуют уравнения более высоких степеней.

В решение уравнений третьей и четвертой степеней большой вклад внесли итальянские математики ΧVІ века: Даль Ферро и его ученик Фиори, Н. Тарталья, Д. Кардано, М. Бомбелли( имена высвечиваются на слайде).Сегодня и мы рассмотрим методы решения некоторых из них.

ІІ. Новый материал

Решить уравнение: (х² + 2х)²- 2(х² + 2х) - 3 = 0(на слайде)

Ученик у доски пробует решить уравнение путем преобразования в многочлен стандартного вида: х⁴ +4х³ + 2х² - 4х - 3 = 0.

Проблема: пришли к уравнению четвертой степени, для которого нет формулы.

Учитель: Давайте вернемся к данному уравнению, посмотрите внимательно на его слагаемые, что вы заметили? Правильно, слагаемые в скобках одинаковые. Обозначим выражение в скобках другой буквой.

Пусть    х² + 2х=у

тогда наше уравнение примет вид: у² - 2у - 3 = 0, а это знакомое нам квадратное уравнение, решая которое(ученики самостоятельно в тетрадях), получаем корни у₁ = 3 ; у₂ = -1

Вернемся к замене и решим полученные уравнения, они вновь оказались квадратными, решение которых не составит для вас труда.

На слайде : х² + 2х = 3             х² + 2х = 1  ( решение появляется позже)

                     х² + 2х-3 = 0         х² + 2х +1 = 0

                     D₁= 1 + 3 = 4        (х  + 1)² = 0

                     х_{1 =} -1 +2= 1             х  + 1 = 0

                     х₂ = -1-2 = -3            х = -1

Ответ: ±1;  -3.

Рассмотрим еще один вид уравнения :  ( х² - 5х +4)( х² - 5х +6) = 120

Возможные варианты замены:

Пусть  х² - 5х= у ,  тогда (у + 4)(у + 6)=120

 или   х² - 5х +4 = у , тогда  у(у + 2 ) = 120.

Учащимся предлагается решить по вариантам полученные уравнения.

Решение проверяется на слайде.

ІІІ. Формирование умений и навыков

Ученики одновременно у доски решают задание из учебника:

 № 26.22(а),26.23(б), 26.26(а)

А теперь попробуйте проверить на сколько вы уяснили новый материал и решите самостоятельно уравнения по вариантам

ВАРИАНТ№1                                                               ВАРИАНТ№2

(х² - 3х)² - 2(х² - 3х) = 8                                              (х² +х)² - 11(х² +х) = 12.

Ответ:±1;  2;  4                                                             Ответ: -4;  3.

Через 5-7 минут решение показать на слайде.

IV. Итоги урока.

Сегодня мы научились решать уравнения высших степеней с помощью метода введения новой переменной. На следующем уроке мы продолжим эту работу и вы покажете свои знания .

 Оценивается работа учащихся на уроке.

Домашнее задание.§26, № 26.22(г)-26.26(г), для желающих подготовить сообщения или реферат об итальянских математиках, упомянутых в начале урока.

Используемая литература:

1. А.Г.Мордкович. учебник и задачник  Алгебра 8 класс. М:Мнемозина,2010.

2.Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы" под ред. Кузнецовой,2005г.