Разработка урока на тему "Жизнь на земле в процентах"

ЖИЗНЬ НА ЗЕМЛЕ В ПОЦЕНТАХ

Цель: Знакомство учащихся с понятием процент и правилами решения основных типов задач по теме «Проценты» на реальных примерах.

Ход занятия

I. Организационный момент.

Я хочу рассказать вам сказку о хитром и жадном короле.

Один хитрый и жадный король созвал как-то свою гвардию и торжественно заявил: “Гвардейцы! Вы славно служите мне! Я решил вас наградить и повысить каждому месячное жалованье на 20%!”. “Ура!” – закричали гвардейцы. “Но, – сказал король, – только на один месяц. А потом я его уменьшу на те же самые 20%. Согласны?”

“А чего же не согласиться? – удивились гвардейцы. - Пусть хоть на один месяц!”

Так и было решено. Прошел месяц, все были довольны.

“Вот здорово! – говорил старый гвардеец друзьям за кружкой пива. - Раньше я получал 10 долларов в месяц, а в этом месяце получил 12 долларов! Выпьем за здоровье короля!”

Прошел еще месяц. И получил гвардеец жалованья только 9 долларов 60 центов.

“Как же так? – заволновался он. - Ведь если сначала на 20% увеличить жалованье, а потом его уменьшить на те же самые 20%, то оно же должно остаться прежним!”

“Вовсе нет, объяснил мудрый звездочет. - Повышение твоего жалованья составляло 20% от 10 долларов, т.е. 2 доллара, а понижение составляло 20% от 12 долларов, т.е. 2,4 доллара”.

Погрустили гвардейцы, но делать нечего – ведь сами согласились. И вот решили они обхитрить короля. Пошли они к королю и сказали:

“Ваше Величество! Вы, конечно, были правы, когда говорили, что повысить жалованье на 20 % и понизить его потом на те же 20% – это одно и то же. И если это одно и тоже, то давайте сделаем еще раз, но только наоборот. Давайте сделаем так: Вы сначала понизите нам жалованье на 20%, а потом увеличите его на те же 20%”. “Ну что ж, – ответил король, ваша просьба логична; путь будет, по-вашему!”

Вопрос: Кто же кого перехитрил?

Чтобы ответить на этот вопрос мы должны понимать, что такое процент и как решаются задачи, содержащие это понятие.

II. Подготовка к восприятию нового материала.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту «/», возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5»,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде — в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.

Обратим внимание на пример, показывающий, что проценты могут стать средством вольной или невольной дезинформации населения. Его нам подарил 7 июля 1997 г., сам того не ведая, первый вице-премьер правительства России Б. Немцов.

Ведущий программы «Час-пик» А. Разбаш спросил:

 - Как Вы ожидаете, какой будет через год квартплата, скажем, за двухкомнатную квартиру в Нижнем Новгороде?»

Б. Немцов не стал приводить конкретные цифры, он ответил «в процентах»:

 - Оплата жилья поднимется за год примерно на 15 %. Сейчас население оплачивает в среднем 35 % реальных расходов на содержание жилья, а через год (в 1998 г.) будет оплачивать уже 50 %.

 - И всего-то? – воскликнул явно удовлетворенный сказанным ведущий передачи.

Однако вряд ли граждане будут так же довольны изменениями, которые могут произойти. В самом деле, из каждых 100 р. реальных расходов на оплату жилья население оплачивает в 1997 г. примерно 35 р., а в 1998 г. будет оплачивать уже 50 р. Разница 15 р. действительно составляет 15 % - 15 сотых от 100! Но почему рост оплаты жилья надо считать от 100? Это правительство отслеживает рост процентов по отношению к реальной стоимости содержания жилья (в нашем примере от 100 р.), а население ощутит совсем другой рост -  от того, что реально платит сейчас, то есть от 35 р. Этот рост составит 15∙100/35≈ 42,86 (%). И никакого обмана! Просто правительство и население по-разному считают проценты.

Довольно часто взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует ее повышению на 30 %, а повышение зарплаты на 50 % не могут сравнить ее с увеличением в 1,5 раза.

Плохое знание процентов не является исключительно российской проблемой. Сошлемся на пример из статьи В.И. Арнольда «Для чего мы изучаем математику?» (Квант, 1993, № 1–2). «В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80 %. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно     30 % опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает». Остается только надеяться, что аналогичный опрос наших школьников дал бы результаты чуть лучше.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

III. Основная часть.

Решение текстовых задач по теме «Проценты».

IV. Итог урока.

Учащимся дома предлагается повторить правила решения задач на проценты, ответить на вопрос сказки о хитром короле: «Подсчитайте, сколько теперь получил старый гвардеец по истечении первого месяца и по истечении второго» (дать ответ с помощью вычислений).

Информационный модуль к сценарию.

Правила решение задач на применение основных понятий о процентах.

1) Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 %=0,01, тогда 5 %=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

Правило 1. Связь процентов и частей. Чтобы заменить процент дробью (частью) нужно число процентов поделить на 100 (или перенести запятую влево на две цифры).

2) Как найти 1% от числа? Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Правило 2. Найти процент от числа. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Клубника содержит в среднем 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 12 кг клубники?

Ответ: 720 г = 0,72 кг.

3) Правило 3. Найти процент, который одно число составляет от другого. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 

Пример. Площадь колхозного сада 140 га, а площадь, занятая в нем под яблони 21 га. Какой процент площади сада занимают яблони?

Ответ: 15 %.

4) Правило 4. Найти число по его проценту. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

Пример. Жирность молока составляет 4 %. Каков вес молока, если вес жира в нем 34 г?

Ответ: 850 г.

А теперь попробуем по условию задачи определить по какому правилу мы будем ее решать. Для этого полезно заметить:

* Знаем все число?

* Знаем величину, соответствующую проценту всего числа?

* Знаем процент, который составляет одно число от второго?

* Что требуется найти?

Воспользуемся таблицей для решения. Заполним в ней последнюю строку.

1) Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна?

Ответ: 2 т

2) Бронза является сплавом олова и меди. Медь составляет 85 процентов сплава в куске бронзы, вес которого 40 кг. Каков вес меди и каков вес бронзы в этом же куске?

Ответ. 34 кг, 6 кг.

3) Из 12,5кг молока получился 1 кг 250 г творога. Какой процент составляет вес творога от веса молока?

Ответ: 10%

4) В семенах льна содержится 42 % масла. Сколько килограммов масла получится из 120 кг семян? Сколько килограммов семян необходимо для получения 105 кг масла?

Ответ: 50,4кг. 250 кг.

5) Сколько килограмм белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50 % их массы, а при сушке остается 10 % массы обработанных грибов?

Ответ: 20 кг.