Конспект урока по геометрии "Теорема Пифагора и её применение" (8 класс)

Филиал МБОУ «Кяхтинская СОШ № 4» Проектирование современного урока математики с учетом ФГОС ООО Тема урока: «Теорема Пифагора и её применение»   Учитель математики: Янковская О.А. 2018­2019 учебный год УМК Класс Тема урока Тип урока Цели урока для учителя: Цели урока для  обучающихся: Погорелов  Геометрия. 8, Москва, Просвещение, 2015. 8 «Теорема Пифагора и её применение» урок закрепления полученных знаний ∙ формирование понятий: «прямоугольный треугольник», «свойства  прямоугольного треугольника», «Теорема Пифагора» ,учить учащихся применять полученные знания к решению практических и древних задач ­ формирование логического мышления путём применения приёмов  сравнения, анализа, выделения главного ∙ формирование умения воспринимать и применять информацию,  самостоятельно определять задачи учебной деятельности ∙ формирование смыслов учебной деятельности на основе развития  познавательного интереса. ∙ вспомнить понятия: «прямоугольный треугольник», «свойства  прямоугольного треугольника» ∙  понятие «Теорема Пифагора» ∙ работать в  паре ∙ формулировать и аргументировать свою точку зрения ∙ решать задачи по теме по алгоритму. Методическая цель: Проектирование современного  урока математики  с учётом  ФГОС  ООО Средства реализации  методической цели: Совместное целеполагание, планирование деятельности на уроке;  самостоятельная оценочная деятельность; проблемная ситуация;  индивидуальные и парные задания; рефлексия. Формируемые универсальные учебные действия Познавательные УУД Регулятивные УУД Личностные УУД ∙ формулирование проблемы; ∙ самостоятельное создание способов решения проблем; ∙ осознанное построение речевого высказывания; ∙ умение осуществлять сравнение, устанавливать причинно­ следственные связи; ∙ алгоритмизация способа действия. ∙ целеполагание; ∙ планирование; ∙ контроль и оценка деятельности на учебном занятии. ∙ развитие адекватной самооценки; ∙ развитие познавательных интересов, учебных мотивов; ∙ взаимопомощь. Коммуникативные УУД ∙ формулирование и аргументация собственного мнения; ∙ умение договариваться и приходить к общему решению; ∙ умение строить монологическое высказывание. Ход учебного занятия Этапы урока Виды деятельности Формируемые УУД ∙ личностные ∙коммуникативные ∙ познавательные ∙ познавательные ∙коммуникативные ∙ регулятивные ∙ личностные ∙ познавательные ∙ регулятивные ∙коммуникативные ∙ личностные ∙ регулятивные ∙коммуникативные Мотивационно­установочный  этап Операционно – познавательный  этап Контрольно­регулировочный  этап. Рефлексивно­оценочный этап ∙ целеполагание ∙ самоопределение ∙ постановка проблемного вопроса ∙ планирование работы на уроке ∙ диалог, подводящий к новому знанию ∙ работа в парах, взаимопомощь ∙ взаимооценивание и самооценивание  результата ∙ ответ на проблемный вопрос ∙ анализ, сравнение, обобщение ­ взаимопроерка по эталону ∙ фронтально­индивидуальная работа ∙ самоконтроль и самооценка  индивидуальных и парных заданий ∙ выполнение действий по алгоритму ∙ понимание причин успеха/неуспеха ∙ самооценка Ход урока I. Мотивационно – установочный  этап. Цель этапа: 1. Включить учащихся в учебную деятельность; 2. Определить содержательные рамки урока; 3. Организовать коммуникативное взаимодействие,  1) Организационный момент. ­ Здравствуйте, ребята! Улыбнитесь друг другу, пожелайте успехов. ­ Ответьте, пожалуйста, на вопрос: где и когда мы используем знания, полученные на  уроках геометрии? А можно обойтись без этих знаний в жизни? Создание  проблемной ситуации. 2) Формулировка темы урока темы. ­ Как вы думаете, какая же тема нашего урока? ­ Тема нашего урока «Теорема Пифагора и её применение». Запишите её в свои тетради. ­ Скажите, глядя на эту тему, что – нибудь вам знакомо? Что бы вы хотели узнать по этой теме? Проверка домашнего задания.  1.В 2.С 3.В 4.В 5.120 6.62 Для того, чтобы наша работа была успешной, давайте повторим некоторые  геометрические факты. Теоретическая разминка 1.Дайте, пожалуйста, определение прямоугольного треугольника? 2.Сторона ,лежащая против угла 90о называется ... 3.Стороны, образующие прямой угол называются…. 4.Сумма острых углов …….. 5.Катет, лежащий против угла в 300 равен … 6.Как называются стороны прямоугольного треугольника ? 7.Теорема Пифагора? Один ученик решает задачу № 16 стр 102 у доски   Второй ученик у доски по готовым чертежам 1.Один из углов прямоугольного треугольника равен 44°. Чему равны  остальные углы? 2..Один из углов из углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет,  противолежащий ему, равен 13 см. Чему равна гипотенуза? 3.Катет прямоугольного треугольника равен 16 дм, гипотенуза – 32 дм.  Найдите углы треугольника II. Актуализация знаний.Применение теоремы Пифагора. Решение практических задач Задача № 1.Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола де­ рева на 1,8 м? . Решение. Задача сводится к нахождению катета прямоугольного треугольника, по тео­ реме Пифагора он равен: Ответ: 2,4. Задача № 2 Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 5,5 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 4,8 м. Найдите длину троса. Ответ дайте в метрах. Задача № 3 Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа? Решение. Найдем расстояние, которое прошёл первый теплоход:   Найдем расстояние, которое прошёл второй теплоход:   Теплоходы движутся вдоль катетов прямоугольного треугольника, гипо­ тенуза которого является расстоянием между ними. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:     О т в е т :  50 км Решим древнюю индийскую задачу о тополе. Ответ запишите в метрах.   Самостоятельная работа . Школьная Лестница соединяет точки A и B и состоит из 10 ступеней. Высота каждой ступени равна 7 см, а длина — 24 см. Найдите расстояние между точ­ ками A и B (в метрах). Решение. Высота и длина каждой ступени составляют катеты прямоугольного треуголь­ ника, найдём гипотенузу этого треугольника по теореме Пифагора: 242+72=625,  25*10=250см=2,5 м Ответ: 2,5 м Задача № 4  Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем  повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома  оказался мальчик? Решение. Мальчик идёт вдоль сторон прямоугольного треугольника поэтому, искомое расстояние можно найти по теореме Пифагора:   Ответ: 1000. Работают в парах Какие из следующих утверждений верны?   1) 2) 3) 4) 5) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны  соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.(да) В   прямоугольном   треугольнике   квадрат   катета   равен   разности гипотенузы и другого катета.(нет) Если   катеты   прямоугольного   треугольника   равны   5   и   12,   то   его гипотенуза равна 13.(да) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.(нет) Треугольник ABC,   у   которого AB =   3, BC =   4, AC =   5,   является тупоугольным.(нет) 6) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.(да) 7) Сумма  углов прямоугольного треугольника равна 90°.(нет) 8) 9) Треугольник со сторонами 3, 4, 5­ египетский.(да) В прямоугольном треугольнике все углы прямые.(нет) 10) В   прямоугольном   треугольнике   квадрат   гипотенузы   равен   сумме квадратов катетов.(да) Работа у доски двух учеников (тест)  Уровень А Тест (вариант 1) 1.К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора? а) любым; б) прямоугольным; в) равносторонним 2.Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше  гипотенузы? а) нет; б) да; в) не знаю 3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, катет 3 см. Найти  длину второго катета? а) 8 см;   б) 4 см; в) 10 см 4.Теорема Пифагора записывается так: а) с2 = а2+ в2  б) а2 = с2 ­ в2 5.В прямоугольном треугольнике углы равны: в) в2 = с2 – а2 а) 450; 900;450   б) 900; 600; 900; в) 600; 300; 600          ОТВЕТЫ: бббаа Тест (вариант 2) 1.К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора? а) прямоугольным; б) любым; в) равносторонним. 2.Верно ли, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из  катетов? а) да; б) не знаю; в) нет 3. Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8  см? а) 10 см; б) 15 см; в) 12 см 4.В прямоугольном треугольнике углы равны: а) 900; 300; 900;   б) 900; 300; 600;   в) 450; 1250;450 5.Египетский треугольник имеет стороны:  а) 3,4,7     б) 3,4,5     в) 10,13,14                                        ОТВЕТЫ: ааабб Практическая работа (метод площадей: три квадрата со сторонами 6  см,8см,10 см) Вставить пропущенные числа. c b а 4 16 20 3 6 12 30 5 10 25 50 Динамическая пауза для глаз.  РЕЗЕРВ Задача Дерево в 8м высотой переломлено бурей так, что если верхнюю часть  пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 4м от основания  ствола. На какой высоте переломлен ствол? Решение: И вновь при составлении математической модели мы используем теорему Пифагора: (8 ­ х)2 = х2 + 42 64 – 16х + х2 = х2 + 16 16х = 48 х = 3 Ответ: 3 м III. Рефлексия учебной деятельности. Итог урока. ­ Всё ли мы рассмотрели что хотели? ­ Кто уже запомнил формулировку теоремы Пифагора? ­ Пригодятся вам эти знания?  Домашнее  задание п. 54,контрольные вопросы, тестовые индивидуальные задания открытого и  закрытого типа. Почему теорему Пифагора называли «Теоремой Невесты»?  Почему теорема Пифагора, актуальна в  современной жизни, где ее  можно применить? На   вопрос   я   отвечу   отрывком   из   произведения    немецкого   писателя­ романиста Адельберта  Шамиссо о теореме Пифагора. Суть истины вся в том, что нам она ­ навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна .  В астрономии.  Парижской академией наук была  установлена премия в 100 тыс.   франков   тому,   кто   первый   установит   связь   с   обитателями     других планет.  Было решено передать им сигнал в виде теоремы Пифагора. Для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду, и поэтому этот сигнал должны понять все.          В  Германии   недавно   открылся   кинотеатр,  где   показывают   кино  в  шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а также время, запах и вкус. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень "просто": ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять.  Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды. Для определения высоты антенны мобильного оператора тоже применяется теорема Пифагора.     IV. Рефлексивно – оценочный этап. ­ Понравился вам урок? ­ Старайтесь с каждого урока выносить новые знания. ­ Всё состоит из мелочей! Знание это сила! ­ Посчитайте средне – арифметический балл и поставьте себе оценку. ­ Посмотрите на высказывание Пифагора: «Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав» ­ А кто прав? Как вы думаете? ­ Тот, кто мудрее! ­ Спасибо за урок! Литература. 1. Учебник «Геометрия 7­9» Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев СБ.,  Юдина И. И. Геометрия. 8, Москва, Просвещение, 2017. 2. Гаврилова Н.Ф. Методическое пособие по геометрии: 8 класс. – М.: ВАКО,  2013. 2.  http://fcior.edu.ru/card/10969/teorema­pifagora­i3.html 3. http://ru.wikipedia.org 4. http://moypifagor.narod.ru/use.htm 5.  http://moypifagor.narod.ru/literature.htm Оценочный лист Ф.И._________________________            8 «А» класс № Оценка п/п 1 2 3 4 5 Средний  балл Домашняя работа. Теорема Пифагора. Теоретическая разминка Работа в парах Самостоятельная работа. Самоанализ урока, проведенного в 8 «А» классе 15 февраля 2019 года учителем математики Янковской Ольги Александровны Класс: 8 «А» Тема урока: «Правильные и неправильные дроби» Тип и структура урока: урок обобщения знаний Оборудование: Математика. Учебник для 5 классов общеобразовательных школ  (Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов); карточки для устного счёта; карточки с заданием, круги,  цветы Урок проводился в 8 «А» классе. В классе 22 обучающихся, присутствовало:22. В  основном все ребята успешно осваивают программный материал. Ребята активны,  трудолюбивы. В классе учащиеся с высокой мотивацией  обучения (Анохин Кирилл, Вдовина Анна, АртагАнужин, У.Номин, Котова Маргарита, Овчаренко Екатерина), выше  средней (Э.Марал, Э.Мичид, Энхуулэн, ТугариноваД.), средней (М.Намсрай, А.Монхнаран, А.Монхбаяр) и низкой (А.Баясгалан, Б.Тэнгис, С.Марал­Эрдэнэ, Н.Сулд­Эрдэнэ). Поэтому урок простроен с учетом индивидуальных способностей обучающихся.  На изучение темы «Правильные и неправильные дроби» отводится 2 часа. Урок проведен в строгом соответствии с календарно­тематическим планированием. Место данного урока в теме Урок «Правильные и неправильные дроби» является составляющей главы «Обыкновенные дроби». Данная тема подразумевает умение распознавать дроби, сравнивать с единицей. При планировании и проведении урока учитывались индивидуальные особенности учащихся, память, скорость и гибкость мышления (давалось время подумать, объяснение повторялось, после чего опять задавались вопросы). Обучающая: научить распознавать дроби правильные и неправильные, сравнивать с  единицей. Развивающая: развивать внимание; познавательную активность. Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность при работе с текстами и  записями примеров с правильными и неправильными дробями. Планируемые результаты: Знать какая дробь называется правильной, а какая неправильной; уметь распознавать  правильные и неправильные дроби. Формируемые УУД:  Познавательные: уметь делать выводы, формировать навык распознания правильных и  неправильных дробей; применять полученные знания при решении задач. Коммуникативные: уважать и уметь слушать друг друга, взаимодействовать в паре, уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами. Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной  задачи в паре, определять цель учебного занятия, контролировать свои действия в процессе выполнения задания, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на вопросы и оценивать  достижения свои и одноклассников. Личностные УУД: формировать навыки самоорганизации, учебную мотивацию, оценивать  результат и рефлектировать его в отношении личностной значимости. Организация деятельности учащихся на уроке: ­самостоятельно определяют тему, цели урока; ­выводят правило для распознавания правильных и неправильных дробей; ­работают с текстом учебника;  ­отвечают на вопросы; ­решают самостоятельно задачи; ­оценивают себя; ­выполняют рефлексию. Формы и методы урока: ­ словесные (рассказ, эвристическая беседа: обучающиеся осознают цель беседы; в беседе  все вопросы подобраны так, что учащиеся имеют возможность догадаться или сделать  самостоятельное заключение); ­ наглядные (демонстрация);      ­наблюдение ­ практические (письменные и устные упражнения) ­проблемно – поисковые, репродуктивные,  ­продуктивные (самостоятельное решение уравнений), ­методы устного контроля и самоконтроля (индивидуальный опрос, фронтальный опрос,  устная проверка знаний, некоторых мыслительных умений) Главной целью урока было добиваться осознанного понимания понятий: знать определение, распознавать дроби правильные и неправильные, уметь сравнивать с единицей. Считаю, что эта цель достигнута. Психологическая атмосфера на уроке и общение учащихся и учителя: Учащиеся организованы и готовы к уроку. Активно работали на уроке. Чувствовалось  хорошее отношение и настрой к уроку. Урок прошёл на взаимном доверии и понимании.  Атмосфера урока дружеская. Общие результаты урока:  ­план урока выполнен; ­на уроке реализовались триединые цели урока; ­урок был эффективный (но с ребятами с невысоким уровнем необходима дальнейшая  работа по отработки навыков); ­домашнее задание было прокомментировано; ­временные рамки соблюдены, рефлексия проведена; ­итоги подведены («5»­6, «4»­5, «3»­4, «2»­0); ­результатами урока удовлетворена. Учитель математики    О.А. Янковская Самоанализ урока по геометрии в 8 «А» классе на тему:  «Теорема Пифагора и её применение» Тема урока: «Теорема Пифагора». Цели урока:  Создать условия для формирования у учащихся знания и понимания теоремы  Пифагора, осознания ее практической значимости;  Повышение интереса к математике, стимулировать ответственное отношение к  учебной работе;  Формирование “математического” мышления, включающего: логическое  мышление, “гибкость ума”, умение к обобщению и систематизации, способность к  формированию гипотез. Урок соответствует тематическому планированию рабочей программы по геометрии 8  класса. Урок тесно связан с ранее изученным материалом, проводится сразу после  изучения темы «Площади параллелограмма, треугольника и трапеции» и является  первым по данной теме, в каждом следующем классе ученики будут применять знания,  полученные в 8 классе. Теорема Пифагора и обратная ей теорема являются одними из важных теорем  геометрии. Теорема Пифагора позволяет значительно расширить круг задач, решаемых  в курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение  теоретического курса. Тип урока – изучение и первичное закрепление новых знаний. Были созданы условия для получения новых знаний на основе комплексного подхода в  изучении темы «Теорема Пифагора» и формирования коммуникативных и  информационных компетентностей. Данный урок направлен на интеграцию знаний, формирование общекультурной  компетентности, создание представлений о геометрии как науке, возникшей из  потребностей человеческой практики и развивающейся из них. Данный урок станет  дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении  геометрии, а также понимания учащимися практического доказательства теоремы  Пифагора. При подготовке к уроку учитывались возрастные особенности учащихся, их  успеваемость, отношение к предмету. Учащиеся 8­а класса имеют высокую мотивацию к  изучению математики, 100% уровень успеваемости и 73% уровень качества знаний. В  соответствии с этим был определен проектный метод обучения. Урок способствовал повышению уровня понимания и практической подготовки в таких  вопросах, как решение геометрических задач. Способствовал созданию базы для  развития творческих способностей учащихся, помогает осознанию степени интереса к  предмету и оценивает возможности овладения учащимся дальнейшей перспективы. Данный урок включает разнообразные формы работы. Преимущества использования  индивидуального образовательного проекта как способа организации образовательного процесса на данном уроке: в относительно небольшой промежуток времени позволяет  охватить достаточно обширный материал; обеспечивает эмоциональное включение  учащихся, меняет представление школьников о математике; обеспечивает усвоение  основных теоретических положений всеми учащимися; создает условия для организации деятельности учащихся на различном уровне сложности; дает возможность выбора  форм и видов деятельности наиболее интересных для учащегося; формирует интерес к  математике; каждый ученик участвует в работе, вносит свой вклад в проект и его  защиту; наглядность оформления результатов урока. Применение компьютерных технологий на уроке дало возможность использования  методов, позволяющих интенсифицировать учебный процесс, реализовать идеи  развивающего обучения. Создалась атмосфера увлеченности предметом. Шел  постоянный процесс учения без принуждения. Материал, использованный на уроке, будет «работать» на последующих уроках  математики. Главным методом обучения выступает организация исследовательской и  познавательной деятельности учащихся. Основная форма урока ­ организация работы  по индивидуально образовательным проектам (маршрутам). Урок включал разнообразные формы работы. Так, 1) работа с исторической справкой формировала такие умения, как умение составлять  алгоритм построения, план доказательства теоремы, а также развивала интерес к  истории математики; 2) работа с текстом учебника формирует такие умения, как умение определять тему,  основную мысль, отбирать главную и второстепенную информацию; 3) исследовательская работа развивает умения выдвигать и проверять гипотезы,  предположения при рассмотрении вопросов из «геометрии треугольника»,  познавательные способности учащихся, наблюдательность и активизацию их учебной  деятельности исследовательского характера. 4) при выполнении учащимися практической работы совершенствуются навыки  измерения, построения, изображения, конструирования, приближенных вычислений,  обогащается запас пространственных представлений, развивается логическое  мышление. Кроме того, выполнение практической работы способствует развитию  интуиции, закладывает основы для формирования у учащихся творческого стиля  мышления; 5) групповая работа побуждает учащихся к разнообразной оценке изученного, что  развивает критическое мышление, коммуникативные компетенции; 6) самостоятельная работа являлась также необходимым условием развития мышления  обучающихся, воспитания самостоятельности  и познавательной активности  обучающихся, привития навыков учебного труда; 7) презентация учащимися результатов своей деятельности формирует навыки  публичных выступлений, умение применять практические знания и навыки в новой  ситуации. Кроме того, разнообразие форм работы, использование презентации позволило сделать урок современным, занимательным, информационным, мобильным. Все задания были подобраны с учетом возраста учащихся и уровня обученности.  Репродуктивный, поисковый, творческий характер заданий помогал проверить не только объем и правильность знаний, но и их глубину, оперативность, гибкость, умение  использовать их на практике, достигать самостоятельности в выборе решения, в  высказывании своего мнения. Во время деления класса чередовались виды работы, что помогало развивать  критическое мышление, экономить время на уроке, а индивидуальная работа помогала  осуществлять дифференцированный подход в обучении, соревновательный характер  такой работы воспитывает чувства коллективизма, взаимоответственности. С целью экономии времени использовались распечатанные маршрутные листы. Такая организация урока позволяет эффективно управлять учебной деятельностью  школьников. При выполнении практических заданий предлагалось самим учащимся оценить  результаты работы и исправить ошибки. На каждом этапе урока были реализованы соответствующие дидактические задачи. Были созданы хорошие условия для проведения урока. Использовалась материально­ техническая база кабинета, поэтому учащиеся чувствовали себя комфортно в привычной обстановке. В итоге проектной деятельности мы достигли поставленных целей и задач:  Повышение интереса учащихся к исследуемой теме  Развитие навыков самостоятельной работы на уроке  Умение применять практические знания, умения и навыки в новой ситуации  Максимально использовать весь потенциал учащихся  Формировать навыки публичных выступлений  Выбирать и применять на практике методы исследовательской деятельности  адекватные задачам учебного исследования. При подведении итогов урока использовалась рефлексия. Удалось решить все поставленные задачи и получить ожидаемые результаты урока.  Урок проводился в условиях продуктивного взаимодействия учителя и ученика. Не было  перегрузок, не наблюдалось переутомление учащихся, сохранялась и развивалась  продуктивная мотивация учения, дети были позитивно настроены, и сохраняли  состояние увлеченности до конца учебного занятия. Гигиенические, эстетические требования соответствовали норме.