Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Оценка 4.7
Контроль знаний
docx
математика
10 кл
04.02.2017
В контрольной работе разбираются 6 задач по теме Многочлены. В каждой задаче приводится подробное ее решение с объяснением. Далее представлены варианты для самостоятельной четвертной работы учащихся. Контрольная работа разработана для учащихся 10 класса с целью контроля знаний по теме Многочлены
2.docx
Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального
образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа»
Бабкина Анастасия Валентиновна,
учитель математики
с.Смоленщина, 2016г
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Задача 1.
Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:
а) f(x) = x5 – 4x4 + 7x3 – 24;
б) f(x) = 5x5 + 4x3 7x2 + 2.
Решение:
Подставляя вместо переменной число 2, имеем:
а) f(x) = 25 – 4∙24 + 7∙23 – 24 = 32 – 64 + 56 – 24 = 0. Следовательно, 2 –
корень многочлена.
б) f(x) = 5∙25 + 4∙23 7∙22 + 2 = 160 + 32 – 28 + 2 = 166 0. Следовательно, 2
– не является корнем многочлена.
Задача 2.
При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена
f(x) = 4x6 – x5 – 6x4 + 3x3 + 50x – 68:
а) с = 3;
б) с = 2.
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом
того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй
строке подсчитываем, пользуясь формулами.
а)
с =
3
4
4
1
6
3
0
50
3∙4– 1 =
3∙11– 6=
3∙27+3 =
3∙84+0 =
3∙252+50
11
27
84
252
= 806
68
3∙806–68 =
2350 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 3)),
делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является.
б)
с =
2
4
4
1
2∙4–1
= 9
6
3
0
2∙(9)6=
2∙12+3 =
2∙(21)=
50
68
2∙(34)68=
12
21
42
2∙42+50=
0
34
По следствию из теоремы Безу – многочлен делится нацело на (х – (2)) =
(х + 2) – делаем вывод о том, что число 2 является корнем многочлена. Задача 3.
Какова кратность корня х = 1 многочлена f(x) = x5 + 4x4 + 5x3 + x2 – 2x – 1?
Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в
зависимости от коэффициентов предыдущей:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
1
0
5
2
0
1
1 0
1
1
1
0
2
1
0
1
0
Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (1)) =
(х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х2 + х – 1), где коэффициенты
многочлена х2 + х – 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой
получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
Задача 4.
Отделить кратные корни многочлена f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 5 x2 – 4x + 1.
Решение:
Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот
же корень кратности (k – 1). Найдем производную данного многочлена:
f /(x) = 5x4 – 8x3 – 3x2 + 10x – 4
Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по
алгоритму Евклида:
(f(x), f /(x)) = x2 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x – 1)2,
следовательно, f /(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень
1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей
нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.
Разделим f(x) на (x – 1)3 по схеме Горнера:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
0
1
1
2
2
1
5
3
1
0
4
1
0
1
0
Получим f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).Остальные 2 корня многочлена – простые
(в этом случае действительные иррациональные числа).
Ответ: f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1). Задача 5.
Разложить многочлен f(x) = x6 + x5 – 4x4 – 2x3 + 5x2 + x – 2 в произведение
линейных множителей, отделив его кратные корни.
Решение:
f /(x) = 6x5 + 5x4 – 16x3 – 6x2 + 10x + 1
(f(x), f /(x)) = x3 – x2 – x + 1
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные
множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 30x4 + 20x3 – 48x2 – 12x + 10
( f /(x), f //(x)) = x – 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный 1
кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую
производную многочлена на (x – 1)2 = (х2 – 2х + 1). Получим: f /(x) = (x – 1)2(х
+ 1). Т.е. в f /(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит
с кратностью 3. В f /(x) корень равный –1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он
входит с кратностью 2. Т.к. f (x) – многочлен шестой степени, а найденные нами
корни кратности – 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является
простым.
Разделим f (x) на (x – 1)3 и на (x + 1)2 по схеме Горнера:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
3
2
4
2
1
5
2
0
2
4
3
2
0
5
1
2
0
Получим: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
Ответ: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
1
2
0
2
0
Задача 6.
При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции
f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.
Решение: f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12.
Найдем производную многочлена: f /(x)= 6х5 – 20х4 – 8х3 + 48х2 + 10х – 20.
НОД (f (x), f /(x)) = х3 – 3х – 2.
Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы
не можем: f //(x)) = 30х4 – 80х3 – 24х2 + 96х + 10.
НОД (f /(x),
f //(x)) = х + 1. Таким образом: f //(x)) = (х +1)q1(x),
следовательно: f /(x) = (х +1)2q2(x), разделив f /(x) на (х +1)2, получим f /(x) = (х
+1)2(x – 2). Следовательно, f (x) = (х +1)3(x – 2)2q3(x). Разделив f (x) на (х +1)3(x – 2)2
получим f (x) = (х +1)3(x – 2)2(x – 3).
Таким образом, имеем х = 1 – трехкратный корень многочлена, х = 2 –
двукратный корень, х = 3 – простой корень. Следовательно, в точке х = 1
график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график
касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график
пересекает ось ОХ (простой корень).
Ответ: х = 2.
Индивидуальные задания
I Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x):
1) f(x) = x3 – 4x2 + 7x + 1470, с = 10;
Решение:
Подставляя вместо переменной число 10, имеем:
f(x) = (10)3 – 4•(10)2 + 7•(10) + 1470=100040070+1470=0
Следовательно, 10 – корень многочлена.
I.Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x):
1) f(x) = x5 – 7x3 – 4, с = 4;
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом
того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во
второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
1
1
с =
4
0
7
0
0
4∙1+0 =
4∙4– 7= 9
4∙9+0 =
4∙36+0 =
4
36
144
4
4∙1444=
572 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 4)), делаем
вывод, что число 4 корнем многочлена не является.
II. Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера,
будет ли множитель х – с входить в разложение многочлена f(x):
1) f(x) = x5 – 4x4 + 7x2 – 4, х – 2;
Решение: В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом
того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во
второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
с =
2
1
1
4
2∙14 =
2
0
2∙(
7
0
4
2∙(4)+7
2∙(1)+0
2∙(2)4 =
2)+0= 4
= 1
= 2
8 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 2)),
(число 2 корнем многочлена не является), следовательно х2 не входит в
разложение многочлена f(x)
Проверим с помощью деления углом:
Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = 1 для
III.
многочлена f(x):
1) f(x) = x4 – 2x3 – 12х2 – 14х – 5;
Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в
зависимости от коэффициентов предыдущей:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6 0
12
9
5
0
14
5
0
5
0 Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (1)) =
(х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3( х – 5), где коэффициенты многочлена
х – 5 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний
нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1
IV.
для многочлена f(x):
1) f(x) = x4 + 8x3 + 18х2 + 16х + 5;
Решение:
Задача решается аналогично предыдущей.
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в
зависимости от коэффициентов предыдущей:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
7
6
5
4 0
18
11
5
0
16
5
0
5
0
Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х + 1) и
представим в виде f(x)= (х + 1)3(х +5), где коэффициенты многочлена взяты из
предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность множителя х + 1 равна трем.
V. Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив
кратные корни многочлена:
1) f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4;
Решение:
f /(x) = 4x3 – 3x2 18x – 11
НОД (f(x), f /(x)) = x2 + 2x + 1=(x + 1)2
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные
множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 12x2 6x – 18
( f /(x), f //(x)) = x + 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный 1
кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2.
Разделим уголком f(x) на НОД (f(x), f /(x)) и получим f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4 = (x + 1)2(x2 3x – 4)= по Теореме Виета получим
= =(x + 1)2(x + 4)(x – 1)
Ответ: f (x) = (x + 1)2(x + 4)(x – 1)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.