Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)

Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа» Бабкина Анастасия Валентиновна, учитель математики с.Смоленщина, 2016г Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением) Задача 1.  Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:  а)  f(x) = x5 – 4x4 + 7x3 – 24; б) f(x) = 5x5 + 4x3 ­ 7x2 + 2. Решение: Подставляя вместо переменной число 2, имеем:  а)  f(x) =  25 – 4∙24 + 7∙23 – 24 = 32 – 64 + 56 – 24 = 0. Следовательно, 2 – корень многочлена. б) f(x) = 5∙25 + 4∙23 ­ 7∙22 + 2 = 160 + 32 – 28 + 2 = 166  0. Следовательно, 2 – не является корнем многочлена. Задача 2. При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена f(x) = 4x6 – x5 – 6x4 + 3x3 + 50x – 68: а) с = 3; б) с = ­2. Решение: В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами. а)  с = 3 4 4 ­1 ­6 3 0 50 3∙4– 1 = 3∙11– 6= 3∙27+3 = 3∙84+0 = 3∙252+50 11 27 84 252 = 806 ­68 3∙806–68 = 2350  0  По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х  – 3)), делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является. б)  с =­ 2 4 4 ­1 ­2∙4–1 = ­9 ­6 3 0 ­2∙(­9)­6= ­2∙12+3 = ­2∙(­21)= 50 ­ ­68 ­2∙(­34)­68= 12 ­21 42 2∙42+50= 0  ­34 По следствию из теоремы Безу –  многочлен   делится   нацело на (х – (­2)) = (х + 2) – делаем вывод о том, что число ­2 является корнем многочлена. Задача 3. Какова кратность корня х = ­1 многочлена f(x) = x5 + 4x4 + 5x3 + x2 –  2x – 1? Решение: Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей: ­1 ­1 ­1 ­1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 0 5 2 0 ­1 ­1  0 1 ­1 ­1 0 ­2 ­1 0 ­1 0 Таким образом получаем, что многочлен   имеет    три    множителя (х – (­1)) = (х  +   1)   и   представим   в   виде  f(x)=   (х   +   1)3(х2  +   х   –   1),   где   коэффициенты многочлена  х2  +   х   –   1  взяты   из   предпоследней   строки   таблицы,   в   которой получен последний нулевой остаток. Ответ:  кратность корня равна трем. Задача 4.  Отделить кратные корни многочлена f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 5 x2 – 4x + 1. Решение: Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k – 1). Найдем производную данного многочлена: f /(x) = 5x4 – 8x3 – 3x2  + 10x – 4 Найдем   наибольший   общий   делитель   многочлена   и   его   производной   по алгоритму Евклида: (f(x),   f  /(x)) =  x2    ­  2x  +  1.  Заметим,  что   это  полный   квадрат  (x  –   1)2, следовательно,  f /(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет. Разделим f(x) на (x – 1)3 по схеме Горнера: 1 1 1 1 1 1 1 ­2 ­1 0 1 ­1 ­2 ­2 ­1 5 3 1 0 ­4 ­1 0 1 0 Получим f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).Остальные 2 корня многочлена – простые (в этом случае действительные иррациональные числа). Ответ:  f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1). Задача 5. Разложить многочлен  f(x)  =  x6  +  x5  – 4x4  – 2x3  + 5x2  +  x  – 2  в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.  Решение: f /(x) = 6x5 + 5x4 – 16x3 – 6x2 + 10x + 1 (f(x),  f /(x)) = x3 – x2 – x  + 1 Т.к.   наибольший   общий   делитель   может   тоже   содержать   кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x): f //(x) = 30x4 + 20x3 – 48x2 – 12x + 10 (  f  /(x),   f  //(x)) =  x – 1.  Следовательно, в    f  //(x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в  f /(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x – 1)2 = (х2 – 2х + 1).   Получим:  f /(x) = (x – 1)2(х + 1). Т.е. в f /(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f /(x) корень равный  –1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) – многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности – 2 и 3, то у  f  (x)  есть еще один корень, который является простым. Разделим f (x) на  (x – 1)3 и на (x + 1)2 по схеме Горнера: 1 1 1 ­1 ­1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 2 ­4 ­2 1 5 2 0 ­2 ­4 ­3 2 0 5 1 ­2 0 Получим: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2) Ответ:  f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2) 1 2 0 ­2 0 Задача 6. При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12  касается оси ОХ, но не пересекает ее. Решение: f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12.  Найдем производную многочлена: f /(x)= 6х5 – 20х4 – 8х3 + 48х2 + 10х – 20.  НОД (f (x),  f /(x)) = х3 – 3х – 2.  Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем:  f //(x)) =  30х4 – 80х3 – 24х2 + 96х + 10.  НОД   (f  /(x),    f  //(x))   =  х   +   1.   Таким   образом:    f  //(x))   =  (х   +1)q1(x), следовательно:  f /(x) =  (х +1)2q2(x), разделив  f /(x)  на  (х +1)2, получим f /(x) =  (х +1)2(x – 2). Следовательно, f (x) =   (х +1)3(x – 2)2q3(x). Разделив f (x) на   (х +1)3(x – 2)2 получим f (x) =  (х +1)3(x – 2)2(x – 3).  Таким образом, имеем  х = ­1  – трехкратный корень многочлена,  х = 2  – двукратный   корень,  х   =   3  –  простой   корень.   Следовательно,   в   точке  х   =   1 график   имеет   точку   перегиба   (нечетная   кратность),   в   точке  х   =   2  график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень). Ответ: х = 2.  Индивидуальные задания I  Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x): 1)   f(x) = x3 – 4x2 + 7x + 1470,    с = ­10; Решение: Подставляя вместо переменной число ­10, имеем:  f(x) = (­10)3 – 4•(­10)2 + 7•(­10) + 1470=­1000­400­70+1470=0 Следовательно, ­10 – корень многочлена. I.Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x): 1)   f(x) = x5 –  7x3 – 4,                   с = 4; Решение: В   первую   строку   таблицы   записываем   коэффициенты   многочлена   (с   учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами. 1 1 с = 4 0 ­7 0 0 4∙1+0 = 4∙4– 7= 9 4∙9+0 = 4∙36+0 = 4 36 144 ­4 4∙144­4= 572  0 По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является.   II. Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х – с  входить в разложение многочлена f(x): 1) f(x) = x5 – 4x4 + 7x2 – 4,           х – 2; Решение: В   первую   строку   таблицы   записываем   коэффициенты   многочлена   (с   учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами. с = 2 1 1 ­4 2∙1­4 = ­2 0 2∙(­ 7 0 ­4 2∙(­4)+7 2∙(­1)+0 2∙(­2)­4 = 2)+0= ­4 = ­1 = ­2 ­8  0 По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 2)), (число 2 корнем многочлена не является), следовательно х­2 не входит в разложение многочлена f(x) Проверим с помощью деления углом:    Определить по схеме Горнера, какова кратность корня  с  = ­1 для III. многочлена f(x): 1)   f(x) = x4 – 2x3 – 12х2 – 14х – 5; Решение: Проверяем   по   схеме   Горнера,   подсчитывая   каждую   следующую   строку   в зависимости от коэффициентов предыдущей: ­1 ­1 ­1 ­1 1 1 1 1 1 ­2 ­3 ­4 ­5 ­6  0 ­12 ­9 ­5 0 ­14 ­5 0 ­5 0 Таким образом получаем, что многочлен   имеет    три    множителя (х – (­1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3( х – 5), где коэффициенты многочлена х – 5  взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток. Ответ:  кратность корня равна трем.    Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1 IV. для многочлена f(x): 1)   f(x) = x4 + 8x3 + 18х2 + 16х + 5; Решение: Задача решается аналогично предыдущей. Проверяем   по   схеме   Горнера,   подсчитывая   каждую   следующую   строку   в зависимости от коэффициентов предыдущей: ­1 ­1 ­1 ­1 1 1 1 1 1 8 7 6 5 4  0 18 11 5 0 16 5 0 5 0 Таким образом получаем, что многочлен   имеет    три    множителя (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х +5), где коэффициенты многочлена взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток. Ответ:  кратность множителя х + 1  равна трем. V. Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив кратные корни многочлена: 1)   f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4; Решение: f /(x) = 4x3 – 3x2 ­ 18x – 11 НОД (f(x),  f /(x)) = x2 + 2x + 1=(x + 1)2 Т.к.   наибольший   общий   делитель   может   тоже   содержать   кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x): f //(x) = 12x2 ­ 6x – 18 (  f  /(x),   f  //(x)) =  x  + 1. Следовательно, в    f  //(x)) имеется корень равный ­1 кратности 1, значит в  f /(x) этот корень входит с кратностью 2.  Разделим уголком f(x) на НОД (f(x),  f /(x)) и получим f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4 = (x + 1)2(x2 ­ 3x – 4)= по Теореме Виета получим = =(x + 1)2(x + 4)(x – 1) Ответ:  f (x) = (x + 1)2(x + 4)(x – 1)