Контрольная работа по теме «Многогранники»

Контрольная работа № 3 по теме «Многогранники»    I уровень Вариант I 1) Основание прямой призмы ­ прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8  см.  Найдите  площадь  боковой   поверхности  призмы, если   ее  наибольшая боковая грань ­ квадрат. 2)   Боковое   ребро   правильной  четырехугольной  пирамиды  равно 4  см   и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3)   Ребро   правильного   тетраэдра DABC равно   а.   Постройте   сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DAпараллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.   Вариант II 1) Основание прямой призмы ­ прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань ­ квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3)   Ребро   правильного   тетраэдра DABC равно   а.   Постройте   сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения. II уровень Вариант I 1) Основание прямого параллелепипеда ­ ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. 2) Основание пирамиды ­ правильный треугольник с площадью 9√3 см2. Две   боковые   грани   пирамиды   перпендикулярны   к   плоскости   основания,   а третья ­ наклонена к ней под углом 30°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Ребро куба ABCDA1B1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую В1С и середину ребра AD и найдите площадь этого сечения.  Вариант II 1) Основание прямого параллелепипеда ­ ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. 2) Основание пирамиды ­ равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой   4√2   см.   Боковые   грани,   содержащие   катеты   треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Ребро куба ABCDA1E1C1 равно а. Постройте сечение куба, проходящее через   точку   С   и   середину   ребра AD параллельно   прямой DA и   найдите площадь этого сечения. III уровень Вариант I 1) Основание прямой призмы ­ прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, ­ квадрат. 2) Основание пирамиды ­ ромб с большей диагональю d и острым углом  .α Все  двугранные  углы  при  основании  пирамиды  равны  р. Найдите  площадь полной поверхности пирамиды. 3)   Ребро   куба ABCDA1B1C1D1 равно   а.   Постройте   сечение   куба, проходящее через середины ребер АА1, В1С1 и CD, и найдите площадь этого сечения.   Вариант II 1) Основание прямой призмы ­ равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее через   ее   боковое   ребро,   является   квадратом.   Найдите   площадь   полной поверхности призмы. 2) Основание пирамиды ­ ромб с тупым углом  α . Все двугранные углы при основании   пирамиды   равны   р.   Найдите   площадь   полной   поверхности пирамиды, если ее высота равна Н. 3)   Ребро   куба ABCDA1B1C1D1 равно   а.   Постройте   сечение   куба, проходящее через середины ребер А1В1, СС1 и AD, и найдите площадь этого сечения. Решения задач контрольной работы: I уровень Вариант I № 1. Дано: ABCA1B1C1 - прямая призма; ∠ACB = 90°; АС = 6 см; ВС = 8 см; АВВ1А1 - квадрат. Найти: Sбок. Решение: 1) ΔABC: АВ 2) Наибольшая боковая грань – АВВ1А1, так как АВ - гипотенуза, (по теореме Пифагора); тогда АВВ1А1 – квадрат АА1 = 10 см. 3) № 2. Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SA = 4 (Ответ: 240 см2.) см, ∠SAD = 45°. Найти a) SO; б) S6ок.. Решение: 1) ΔSАО - прямоугольный; 2) ΔAOD – прямоугольный; 3) ΔSOH - прямоугольный; (Ответ: 4) № 3. Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а. Построить: (МКР) - сечение: М - середина AD, (МКР) || (DBC), МР || ВС, ) (КМР - искомое сечение). Найти: SMKP. Построение: 1) MK || DB, MP || DC (по свойству секущей плоскости). Значит, (МКР) - искомое сечение. 2) МК - средняя линия в ΔABD ⇒ МК = a/2; КР, МР - средние линии в КР = МР = 1/2а. ΔABC и ΔADC соответственно, значит, (Ответ: ) Вариант II № 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма; ΔАВС: ∠C = 90°; АВ = 13 см; ВС = 12 см. Найти: Sбок. Решение: 1) ΔАВС - прямоугольный, 2) Грань АСС1А1 - наименьшая, так как АС - меньший катет, тогда АСС1А1 - квадрат, СС1 = 5 см. (Ответ: Sбок. = 150 см2.) 3) № 2. Дано: SABCD - правильная пирамида; SO= √6 см; ∠SAO = 60°. Найти: a) SA; Sбок. Решение: 1) ΔSAO - прямоугольный; 2) 3) ΔSOH - прямоугольный; (Ответ: 4) № 3. Дано: DABC - правильный тетраэдр; АВ = а. Построить: сечение (МКР): К - середина AD; М - середина АВ; (КМР || ) ВС). Найти: SMKP. Решение: 1) КМ, МР, КР - средние линии ΔABD, ΔАВС, ΔADC соответственно, значит, КМ = МР = КР = 1/2а. 2) (Ответ: ) II уровень Вариант I № 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед, ABCD - ромб, BD = 10 см; АС = 24 см; ∠B1DB = 45°. Найти: Sполн. Решение: 1) ΔBB1D - прямоугольный. Меньшая диагональ параллелепипеда проектируется в меньшую диагональ основания ∠BDB1 = 45°, тогда ВВ1 = BD = 10 см; 2) ΔAOD - прямоугольный. 3) твет: 760 см2.) (О № 2. Дано: SABC - пирамида; ΔАВС - правильный; SΔABC = 9√3 см2; (SBC) ⊥ (ABC), (SAC) ⊥ (ABC), ∠SHC = 30°. Найти: a) SC, SA, SB; б) Sбок.. Решение: ) (Ответ: № 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб: АВ = а. Построить: сечение МВ1СК. Найти: Sсeч. Решение: 1) По свойству секущей плоскости МК || В1С, тогда МВ1СК - искомое сечение. 2) МВ1СК - равнобокая трапеция; ΔАМК: 3) ΔВ1С1С: 4) ΔKDC - прямоугольный: 5) : ) (Ответ Вариант II № 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямой параллелепипед; ABCD - ромб: АС = 12 см - меньшая диагональ; BD1 = 16√2 см;∠BB1D = 45°. Найти. Sполн. Решение: 1) ΔB1BD - прямоугольный: 16 см. 2) ΔAOD - прямоугольный: 3) . = 832 см2.) ВВ1 = BD = (Ответ: Sполн № 2. Дано: SABC - пирамида. ΔАВС - прямоугольный: АС = ВС; SC ⊥ (ABC); ∠SHC = 45°; АВ = 4√2 см. Найти: a) SC, SA, SB; б) Sбок. Решение: 1) ΔАВС - прямоугольный: = ВС = 4 см. 2) ΔНВС- прямоугольный: АС ) (Ответ: № 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб: АВ = а. Построить: сечение МВ1СК. Найти: SМВ1СК. Решение: 1) По свойству секущей плоскости МК || В1С, тогда МВ1СК - искомое сечение. 2) МВ1 = КС, МВ1СК - равнобокая трапеция; 3) 4) ΔKDC - прямоугольный. ) (Ответ: III уровень Вариант I № 1. Дано: ABCA1B1C1 - прямоугольная призма; ΔABC: ∠C = 90°; AC = 20 см; ВС = 15 см; SС1H1HC - наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро - квадрат. Найти: Sполн. Решение: 1) 2) C1H1 – меньшая высота в ΔA1B1C1; 3) № 2. Дано: SABCD - пирамида; ABCD - ромб; ∠A = α; АС = d; ∠SHO = β. Найти: Sполн. (Ответ: 1020 см2.) Решение: 1) ΔAOD - прямоугольный: 2) ΔOCH - прямоугольный: ΔOSH - прямоугольный: (Ответ : № 3. Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; AB = а; M, К, P - середины ) ребер AA1, B1C1, CD) соответственно. Построить: сечение, проходящее через точки М, К, Р. Найти: Sсeч. Решение: 1) МХ || PF (так как секущая плоскость пересекает противоположные грани по параллельным отрезкам). Значит,MF || КЕ, ХК || FP. Тогда MXKEPF - правильный шестиугольник: (Ответ: ) Вариант II № 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямая призма. ΔАВС: АС = ВС = 13 см; АВ = 24 см. НН1С1С - квадрат - наименьшее сечение призмы, проходящее через боковое ребро. Найти: Sполн. Решение: 1) ΔНВС - равнобедренный. 5 см. 2) 370 см2.) HC = CC1 = (Ответ: Sполн. = № 2. Дано: ABCD - ромб; SABCD - пирамида; ∠B = α; ∠SHO = β; SO = Н; Найти: Sполн. Решение: 1) ΔSOH - прямоугольный; 2) ΔHOD - прямоугольный; 3) ΔODC - прямоугольный; 4) ΔDOC - прямоугольный; (Ответ: № 3. ) Аналогично № 3, вариант 1. (Ответ: )