Контрольно-измерительные материалы по высшей математике

КОНТРОЛЬНО­ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Элементы высшей математики Преподаватель: Деменин Л.Н. Владивосток 2018 2 Пояснительная записка Назначение   данной   работы   –   осуществить   объективную  индивидуальную оценку учебных достижений и результатов освоения учебной программы. Вопросы   подобраны   таким   образом,   чтобы   можно   было   проверить   подготовку студентов по усвоению соответствующих знаний и умений изученной дисциплины. Решение контрольных работ должно быть аргументированным, ответы на задания представлены полно. В результате освоения учебной дисциплины студент должен уметь:      решать системы линейных уравнений;  производить действия над векторами; составлять уравнения прямых и определять их взаимное расположение;  вычислять пределы функций;  дифференцировать и интегрировать функции;    моделировать и решать задачи линейного программирования.  В результате освоения учебной дисциплины студент должен знать:    основные понятия линейной алгебры в аналитической геометрии;  основные понятия и методы математического анализа;  виды задач линейного программирования и алгоритм их моделирования. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины. Критерии выполнения студентом практических заданий,  контрольных работ Оценка письменных контрольных работ учащихся ставится: Отметка «5», если:  • работа выполнена полностью;  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).  Отметка «4», если:  3 • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);  • допущена одна ошибка или два­три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).  Отметка «3», если:  допущены   более   одной   ошибки   или   более   двух­трех   недочетов   в   выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.  Отметка «2», если: допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере. 4 Контрольная работа № 1:  «Матрицы. Определители. СЛАУ» Вариант № 1 1. Найти матрицу C=A+3B, если  ,  2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. 3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера. 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Вариант № 2 1. Найти матрицу C=2A­B, если  ,  2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы. 3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера. 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. 5 Контрольная работа № 2:  «Плоскость и прямая в пространстве. Линии второго порядка» Вариант № 1 Прямая на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве Кривые второго порядка 6 Вариант № 2 Прямая на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве Кривые второго порядка 7 Контрольная работа № 3:  «Пределы, производная, исследование функции» 1. Вычислить пределы: Вариант № 1 2. Найдите производные          данных функций. 3.    Найти наибольшее и наименьшее значение функции                  на отрезке  .  4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию                  и,  используя результаты исследования, построить график. 8 Вариант № 2 1. Вычислить пределы: 2. Найдите производные          данных функций. 3.    Найти наибольшее и наименьшее значение функции                  на отрезке  .  4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию                  и,  используя результаты исследования, построить график. Контрольная работа № 4:  «Интегрирование функций» Вариант № 1 Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1­ 5). 1.     5 cos x  2 3 x  1 x   dx  . 9 2. 3. 4. 7. 5  x 5 x  3 2 x 83 x  x 6     1 2 cos   4 x  4 . . dx dx 1  x 1 2   dx  . x dx 16  dx  x  34 8  3 5 12 x   4 3 x 5 x   6 . 5 e dx x x dx . 3 2 . 5.   1 Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6­8). 6. x . 8. 9. Найти   неопределенный   интеграл   методом   интегрирования   по   частям:  x  cos dxx 5  . 10. Вычислить определенный интеграл:  2  x dx 3 . 2  x 4 0 11. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:   x  2 3 2  dx 31 . 2 x   12. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y 13. Скорость движения точки изменяется по закону   пройденный точкой за 10 с от начала движения.   (м/с). Найти путь  S,  3 2 t  2 t   ,2 ,0 ,4  1 2 v x x y . Вариант № 2 Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1­ 5). 2 x 3 7 9 7 6 . .   5 x x x 4  3 2   3. 2. 1. dx 1 x x x sin6   dx      x  x  7 2  1 x   1  dx 5.   Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6­8). 6. dx 1 2 sin 294 x   dx  4.  x . . . . 2 2   dx x  45 7  x 3 18   3 6 3 x x   8 . 7 dx e x x 7. 8. dx . 8 10 9. Найти   неопределенный   интеграл   методом   интегрирования   по   частям:  x  dxx sin 2  . 10. Вычислить определенный интеграл:  2  x 4 dx . 3  x 2 0 11. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:   x  3 1 0  dx 41 . x   ,12 12. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y 13. Скорость   движения   точки   изменяется   по   закону   пройденный точкой за четвертую секунду.   (м/с).   Найти   путь  S, 9 2   1  t 8  ,0 ,1 v x . y x t Итоговая контрольная работа (зачет) Вариант № 1 1. Найти произведение матриц АВС, если  А     52 63    , В     2 2   3 3    ,      С     01 14    . 2. Решить матричное уравнение    32 76       X 23 59    . 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера   3 х 8 y 6 z    5 4 3 x y z    7 x 2 y 5 z ,5 ,12 .4      4. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку А(3; 2), параллельно и  перпендикулярно прямой 4х – 3у + 1 = 0. 5. Построить область решений системы неравенств x y y  ,3  x x .10  3 y ,6      Определить координаты угловых точек области решений. 11 6. Используя графический метод решения задач линейного программирования найти  наибольшее значение линейной целевой функции F (x; у) = 3х + 2у в области, заданной  ограничениями ,10 ,2      x 2  x y  y x  ;6 x  y ;0  .0 7 .  Найти пределы функций  x  x 6 ,     б)   lim  x    1  x 34   x  ,    в)   lim0 x 5sin x 20 sin x .      a)   lim3  x 3 3   8.  Найдите предел функции, используя правило Лопиталя  x x   4 )15    lim16 9.  Найдите производную функции   ln(  . x 32 4 x   e y  arccos x        в точке    0 x 3 2 . 10.  Напишите уравнение касательной к графику функции   xf )( 2 sin 4 x      в точке   x 0  16 . 11.  Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции        y  4 x 6 23 x . 12.  Вычислите  интеграл 1   2 x 3 0 4  1 2  dxx .      13.  Найдите  объем  тела,  полученного  вращением  вокруг  оси  абсцисс       криволинейной  трапеции,  ограниченной  линиями: у=0,  у=3,  у=5  и    y .2 x      Вариант № 2 1. Найти произведение матриц АВС, если 12 А     63 74    ,      В      2 2 3  3    ,      С     20 12    . 2. Решить матричное уравнение    54 32       X 59 33    . 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера        4 х 2 y  7 9 x y  y x 3 4  z ,12  3 z  z 2 .9  , 6 4. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку А(5; 1), параллельно и  перпендикулярно прямой 2х – 5у + 3 = 0. 5. Построить область решений системы неравенств       ,3 x  x ,9  .5 x y 3 y y Определить координаты угловых точек области решений. 6. Используя графический метод решения задач линейного программирования найти  наибольшее значение линейной целевой функции F (x; у) = 2х + 5у в области, заданной  ограничениями:      x  ,9 x x 2 y   y y  ;7 x ;0  ,6 .0 7.  Найти пределы функций       a)   lim4  x 4  x x  12 4  ,     б)   lim  x    1  x 43   x  ,    в)   lim0 x 6sin x 18 sin x . 8.  Найдите предел функции, используя правило Лопиталя       lim25  x x x   5 )24 . ln( 9.  Найдите производную функции   y 12 2 x   e  arcsin x   13 в точке    0 x 2 2 . 10.  Напишите уравнение касательной к графику функции   xf )( 2 cos 6 x      в точке   x 0  24 . 11.  Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции        y  4 x 3 26 x . 12.  Вычислите  интеграл   3 x 4 1 0 2  1 3  dxx .     13.  Найдите  объем  тела,  полученного  вращением  вокруг  оси  абсцисс       криволинейной  трапеции,  ограниченной  линиями:  у=0,  х=4,  х=6  и         .3 x    y Ответы: № задания 1 2 3 4 5 6 7  а) 7  б) 1  вариант    30 30 9 9       4 5    (1; 2; 3) параллельная прямая 4x–3y–6=0 (–7,5; ­4,5) (6; 2) 6 12e 2  вариант      18 18 3 3       6 7    (3; 1; 2) параллельная прямая 2x–5y–5=0 (–9; 6) (4; 5) 8 12e 14 7  в) 8 9 10 11 12 13 1 4 1 8  3  6 2 1 3 1 10  2  4 2 y  x 4 1 2  4 y  x 6  1 2  4 5,7;3    координаты точек  перегиба ;3  5,7;3  3 ;  и   и  1 15 4 промежутки выпуклости вниз промежутки выпуклости вниз  ;3   15 координаты точек  перегиба ;3  15 3 ; ;3   и   и  7 4 4 15