КЭиФ Преподаватель Князева Светлана
КЭиФ
Преподаватель
Князева Светлана Евгеньевна
2 Оси координат Ox, Oy , Oz
2
Оси координат Ox, Oy , Oz
3
3
Вектор может быть задан длиной и направлением – геометрически
4
Вектор может быть задан длиной и направлением – геометрически.
Вектор может быть задан своими координатами – аналитически.
Вектор может быть задан координатами начала и конца – аналитически.
Самостоятельно постройте вектор 3 минуты
5
Самостоятельно постройте вектор
3 минуты
6
6
Коллинеарные вектора – это вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой
7
Коллинеарные вектора – это вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой
Сонаправленные вектора – это коллинеарные вектора, имеющие одинаковое направление
Противоположнонаправленные вектора – это коллинеарные вектора, имеющие разное направление
8 a b с
8
a
b
с
Равные вектора – это сонаправленные вектора, имеющие равную длину
9
Равные вектора – это сонаправленные вектора, имеющие равную длину
Ортогональные вектора – это вектора, лежащие на перпендикулярных прямых
Компланарные вектора – это вектора, лежащие в параллельных плоскостях
В этом случае говорят, что вектор записан в ортах, и его длину можно вычислить по формуле:
10
В этом случае говорят, что вектор записан в ортах, и его длину можно вычислить по формуле:
Умножение вектора на число. Сложение векторов
11
Умножение вектора на число.
Сложение векторов.
Вычитание векторов
12 Умножение вектора на число.
12
Умножение вектора на число.
Сложение векторов. Правило треугольника
13
2. Сложение векторов.
Правило треугольника.
Сложение векторов. Правило параллелограмма
2. Сложение векторов.
Правило параллелограмма.
14
3. Вычитание векторов. 15
3. Вычитание векторов.
15
16
16
17
17
18
18
19 Как называется ОК, ОМ?
19
Как называется ОК, ОМ?
Какая пирамида называется правильной?
20
Какая пирамида называется правильной?
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания (ОК), является ее высотой
21
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания (ОК), является ее высотой.
Если пирамида – правильная, то
22
Если пирамида – правильная, то КЕ - ?
Если пирамида – правильная, то
23
Если пирамида – правильная, то КМ - ?
24
24
25
25
26
26
27
27
28
28
29
29
30
30
31
31
32
32
Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом
33
Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом
Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой
34
Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой
Все грани куба – одинаковые квадраты
Правильная четырехугольная призма КУБ
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований
35
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро призмы
36
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро призмы.
37
37
38
38
Пример 10 Дана пирамида с вершиной в точке
39
Пример 10
Дана пирамида с вершиной в точке D(1;10;8), основание которой – треугольник, построенный на векторах АВ и АС. Ребро AD перпендикулярно основанию АВС. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды, если А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
Решение. Выполним чертеж:D(1;10;8),
40
Решение.
Выполним чертеж:D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
41
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
42
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
43
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
44
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
45
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
46
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
47
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
48
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
49
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
50
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
По формуле Герона:
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4),
51
D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)
По формуле Герона:
Пример 11 Точки М(7; 7; 11),
52
Пример 11
Точки М(7; 7; 11), А(0; 8; 1), В(6; 0; 1) и 0(14; 6; 1) являются вершинами правильной четырехугольной пирамиды MABCD. Найдите высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.
Выполним чертеж: М(7; 7; 11),
53
Выполним чертеж: М(7; 7; 11), А(0; 8; 1), В(6; 0; 1) и 0(14; 6; 1)
Решение
Высота МН правильной пирамиды проходит через т
54
Высота МН правильной пирамиды проходит через т.Н – центр вписанной и описанной окружности основания – квадрата.
т.Н – точка пересечения диагоналей квадрата.
55
55
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды
56
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды L, т.е.
МР – высота и медиана, т.е.
Р – середина OС.
57
57
Найдем периметр основания пирамиды – квадрата – все стороны равны:
58
Найдем периметр основания пирамиды – квадрата – все стороны равны:
АВ(6-0;0-8;1-1) или АВ(6;-8;0)
М(7; 7; 11), А(0; 8; 1), В(6; 0; 1) и 0(14; 6; 1)
Значит периметр основания пирамиды
Росн.=4·10=40.
59
59
60
60
61
61
Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть 2
62
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть
2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть
3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно
числового множителя, то есть
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора
63
4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть
5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице
Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю
64
6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.
7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:
Угол между двумя векторами: . 9
65
8. Угол между двумя векторами:
.
9. Если , то
10. Проекция вектора а на вектор b
66 .
66
.
67 Пример 12
67
Пример 12
68 Решение
68
Решение
69
69
70
70
Проверим, являются ли вектора а и b ортогональными
71
2) Проверим, являются ли вектора а и b ортогональными. По свойствам скалярного произведения :
72
72
73 Пример 13
73
Пример 13
Решение 1) По свойствам скалярного произведения если и , то тогда
74
Решение
1) По свойствам скалярного произведения если
и , то
тогда
75
75
Итак a(3;-6;1), b(1;5;4), ,
76
Итак a(3;-6;1), b(1;5;4), ,
По формулам скалярного произведения
77
;
По формулам скалярного произведения
.
Найдем координаты вектора q:
Т.о. q(6;9;13), тогда
78
78
79
79
80 Таким образом
80
Таким образом
81
81
82
82
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
