КЭиФ Преподаватель Князева Светлана
КЭиФ
Преподаватель
Князева Светлана Евгеньевна
2
2
3
3
Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых, имеющих общее начало – т
4
Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых, имеющих общее начало – т.О(0;0;0)
4
5 Оси координат Ox, Oy , Oz
5
Оси координат Ox, Oy , Oz
Вспомним способ построения точки по координатам:
6
Вспомним способ построения точки по координатам: А(4;5;-3)
7 А(4;5;-3) O х y z
7
А(4;5;-3)
O
х
y
z
8 А(4;5;-3)
8
А(4;5;-3)
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
Коллинеарные вектора – это вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой
14
Коллинеарные вектора – это вектора, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой
Сонаправленные вектора – это коллинеарные вектора, имеющие одинаковое направление
Противоположнонаправленные вектора – это коллинеарные вектора, имеющие разное направление
15 a b с
15
a
b
с
16
16
Равные вектора – это сонаправленные вектора, имеющие равную длину
17
Равные вектора – это сонаправленные вектора, имеющие равную длину
Ортогональные вектора – это вектора, лежащие на перпендикулярных прямых
Компланарные вектора – это вектора, лежащие в параллельных плоскостях
18
18
Умножение вектора на число. Сложение векторов
19
Умножение вектора на число.
Сложение векторов.
Вычитание векторов
20 Умножение вектора на число.
20
Умножение вектора на число.
Сложение векторов. Правило треугольника
21
2. Сложение векторов.
Правило треугольника.
Сложение векторов. Правило параллелограмма
2. Сложение векторов.
Правило параллелограмма.
3. Вычитание векторов.
3. Вычитание векторов.
Пример 3 Пусть ABCD — параллелограмм, а
24
Пример 3
Пусть ABCD — параллелограмм, а O — произвольная точка пространства. Докажите, что
25 Решение
25
Решение
Дан прямоугольный параллелепипед
26
Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что
Пример 4
27 Решение
27
Решение
28
28
Так как диагонали MK 1 и M 1
29
Так как диагонали
MK1 и M1K прямоугольного параллелепипеда равны, то
30 Пример 5
30
Пример 5
31 Решение
31
Решение
32 Из этого равенства находим
32
Из этого равенства находим
Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1
33
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, Докажите, что:
Пример 6
Решение. О В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны, пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам, следовательно
34
Решение.
О
В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны, пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам, следовательно
Пример 7 Точки E и F — середины рёбер
35
Пример 7
Точки E и F — середины рёбер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что
Компланарны ли векторы
Какие векторы называются компланарными?
36 Решение.
36
Решение.
37
37
Какие вектора называются противоположно направленными?
38
Какие вектора называются противоположно направленными?
Итак имеем Перегруппируем слагаемые:
39
Итак имеем
Перегруппируем слагаемые:
Точка F — середина отрезка BD, поэтому вектора FB и FD – противоположно направленные, а , значит,
40
40
Пример 8 Докажите, что если M — точка пересечения медиан треугольника
41
Пример 8
Докажите, что если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а
т.O — произвольная
точка пространства,
то
42 Решение. Найдем :
42
Решение.
Найдем :
43 Итак,
43
Итак,
Даны координаты четырёх вершин куба
44
Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA1B1C1D1:
A(0; 0; 0), B(0; 0; 1), D(0; 1; 0), A1(1; 0; 0).
Найдите координаты остальных вершин куба.
Пример 9
Решение.
Изобразим на рисунке систему координат Axyz (с началом в точке A) и отметим заданные точки B, D, A1 (они лежат на осях координат). Через каждую из этих точек проведём плоскость, перпендикулярную той оси координат, на которой лежит эта точка. В результате получится куб ABCDA1B1C1D1
Видно, что D1 по оси Aх имеет ту же координату, что и
45
Видно, что D1 по оси Aх имеет ту же координату,
что и А1, по оси Ay – ту же, что и D, по оси Аz – 0.
Аналогично, что С1 по осям Aх и
46
Аналогично, что С1 по осям Aх и Ay имеет те же
координаты, что и
а по оси Аz – ту же координату, что и B(0; 0; 1).
Аналогично, что С по осям Aх и
47
Аналогично, что С по осям Aх и Ay имеет те же
координаты, что и D(0; 1; 0),
а по оси Аz – ту же координату, что и B(0; 0; 1).
Аналогично, что В1 по осям Aх и
48
Аналогично, что В1 по осям Aх и Ay имеет те же
координаты, что и A1(1; 0; 0),
а по оси Аz – ту же координату, что и B(0; 0; 1).
На векторах ОА, ОВ, ОС построена пирамида
49
На векторах ОА, ОВ, ОС построена пирамида. Найдите длину векторов ОМ – медиана основания, СК – медиана грани ОСВ и ВА, если A(0;8;0), B(2;7;-2), C(-1;2;7)
Пример 9
Решение. x y z O A(0;8;0), B(2;7;-1),
50
Решение.
x
y
z
O
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
A
B
C
Достроим пирамиду.
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
51
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
Найдем длину вектор ОМ – медиана основания.
Достроим треугольник ОАВ до параллелограмма ОАВК. Тогда
ОК=ОА+ОВ,
а ОК=2·ОМ
М
К
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
52
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
М
К
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
53
A(0;8;0), B(2;7;-1), C(-1;2;7)
D
Найдем вектор СК – медиана грани ОСВ .
Достроим треугольник ОСВ до параллелограмма ОСВD. Тогда
СD=CO+CВ,
а CD=2·OK
Найдем вектор ВА: Длины векторов находим по формуле:
54
Найдем вектор ВА:
Длины векторов находим по формуле:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
