Координатный метод в решении задач на многогранники. часть 4

Преподаватель
Князева Светлана Евгеньевна

Линейные операции над элементами - операции сложения и вычитания элементов и их умножения на скаляр (число)

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть

2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть

3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно
числового множителя, то есть

4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть

5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.

7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

8. Угол между двумя векторами:

9. Если , то

10. Проекция вектора а на вектор b

Следствие свойства 4 – скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля

8. Угол между двумя векторами:

9.

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.

Скалярное произведение ненулевых сонаправленных векторов равно произведению длин этих векторов.

Скалярное произведение ненулевых противоположно направленных векторов равно произведению длин этих векторов, взятых со знаком минус.

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и

N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что

Проведем в основании BCD DN – медиана (по условию задачи) и в боковой грани АВС AN – медиана (по условию задачи). Все ребра тетраэдра равны между собой, следовательно, и все грани также равны друг другу, а, значит и медианы всех треугольников также равны. Т.о.

равнобедренный. Т.к. М – середина AD (по условию задачи), то MN – медиана, а значит и высота, т.е.

ч.т.д

ABCDA1B1C1D1 — куб, AB =a. Вычислите скалярное произведение векторов:
AD·B1C1 ВA1·ВC1

Треугольник BA1C1 правильный. Стороны его равны как диагонали равных квадратов:

а

а

а

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, DA=1, DC=2, DD1=3. Найдите угол между прямыми CB1 и D1B.

Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Как было отмечено ранее

Введём систему координат Dxyz. Рассмотрим векторы
CB1 и D1B.

D1B (1; 2; – 3)

СВ1 (1; 0; 3)

СВ1 (1; 0; 3)

D1B (1; 2; – 3)

Будем искать угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания, как угол между СО и СК.
Длина вектора СК – радиус описанной окружности около АВСD – квадрата, следовательно

Как называется этот многогранник?

а

а

а

Как называется BD1?

Как называется CB1?

Прямые не пересекаются и не параллельны — такие прямые называются скрещивающимися.

Теорема . Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

В качестве первой прямой возьмем, например, диагональ куба – BD1.
В качестве второй прямой возьмем диагональ грани СС1В1В, которая не имеет общих точек с BD1 – СВ1.

Пусть ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром a.

Если прямые BD1 и СВ1 перпендикулярны, то вектора BD1 и СВ1 - ортогональны.

По свойствам скалярного произведения:

Найдем BD1:
BD1=BD+DD1, а DD1=BB1, следовательно BD1=BD+ВВ1

ВD=BA+BC, тогда

BD1=BA+BC+ВВ1

Найдем СВ1:

СВ1=BB1-BC

BA и BB1, ВА и ВС, ВС и ВВ1 – ортогональны, т.к. лежат на гранях куба, следовательно их скалярное произведение равно нулю. Тогда

Т.к. все ребра куба – равны а, то

2

2

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость – угол АВК

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дана пирамида с вершиной в точке D(1;10;8), основание которой – треугольник, построенный на векторах АВ и АС. Докажите, что ребро AD перпендикулярно основанию АВС. Найдите объем пирамиды.

Выполним чертеж:D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

Для того, чтобы доказать, что боковое ребро AD перпендикулярно основанию АВС, нам необходимо доказать, что вектор AD ортогонален векторам АВ и АС

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

АD· АВ =0·2+8 ·(-4)+8 ·4=0

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

Итак АD ортогонален и вектору АВ и вектору АС, следовательно он ортогонален плоскости основания.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Мы доказали, что AD – высота нашей пирамиды.

Найдем площадь основания по формуле Герона:

D(1;10;8), А(1;2;0), B(3;-2;4), C(3;6;-4)

Найдем длины этих векторов: