Ko‘pyoqlikning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishi

Ko‘pyoqlikning to‘g‘ri chiziq bilan kesishishi

To‘g‘ri chiziq kavariq ko‘pyoqlikning yoqlari bilan ikki nuqtada kesishadi. Bu nuqtalarning biri kirish ikkinchisi chiqish nuqtalari deb yuritiladi. To‘g‘ri chiziq bilan ko‘pyoqlik sirtining kesishish nuqtalarini yasashda quyidagi usullardan foydalaniladi:

·        to‘g‘ri chiziq orqali xususiy vaziyatdagi tekislik o‘tkazish usuli;

·        to‘g‘ri chiziq orqali umumiy vaziyatdagi tekislik o‘tkazish usuli.

Quyida to‘g‘ri chiziq bilan ko‘pyoqlikning kesishish nuqtalarini yasashga oid bir necha misollarni ko‘rib chiqamiz.

1-usul: To‘g‘ri chiziq bilan ko‘pyoqlik sirtining o‘zaro kesishish nuqtalarini xususiy vaziyatdagi tekislik vositasida yasash, qo‘yidagi yasash algoritm asosida bajariladi:

·        berilgan to‘g‘ri chiziq orqali xususiy vaziyatdagi tekislik o‘tkaziladi;

·        xususiy vaziyatdagi tekislik bilan berilgan ko‘pyoqlikning o‘zaro kesishuvidagi kesim yuza chizig‘i aniqlanadi;

·        kesim yuza chizig‘i bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtalari belgilanadi.

206–rasmda ℓ(ℓʹ,ℓʹʹ) to‘g‘ri chiziqning uch yoqli (ʹ,ʹʹ) prizma sirti bilan kesishish nuqtalarini yasash tasvirlangan.

Yasash algoritmi qo‘yidagicha:

·        ℓ to‘g‘ri chiziq orqali frontal proyeksiyalovchi N(N_H,N_V) tekislik o‘tkaziladi; ℓʹʹÌN_V va N_H^Ox;

·        N tekislik bilan  prizmaning kesishishidagi kesim yuza chizig‘i proyeksiyalari 1ʹ2ʹ3ʹ va 1ʹʹ2ʹʹ3ʹʹ yasaladi. N∩Þ=23;

·        Kesim yuza chizig‘i D123 bilan ℓ to‘g‘ri chizig‘ining uchrashish nuqtalari E₁ va E₂ belgilanadi. 12∩ℓ=E₁ va 23∩ℓ=E₂. Bunda avvalo 1ʹ2ʹ3∩ℓʹ=Eʹ₁ va Eʹ₂ lar aniqlanib, so‘ngra proyeksion bog‘lanish chizig‘i orqali E"₁ va E"₂ lar holati aniqlanadi.

206-rasm.                                                                                       207-rasm

Agar ko‘pyoqlikning yon yoqlari proyeksiyalovchi tekisliklar bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq bilan bunday sirtning kesishish nuqtalarini yasash juda soddalashadi.

207–rasmda to‘rt yoqlik to‘g‘ri prizma sirti bilan ℓ(ℓʹ,ℓʹʹ) to‘g‘ri chiziqning o‘zaro kesishish E₁(Eʹ₁,Eʹʹ₁), E₂(Eʹ₂,Eʹʹ₂) nuqtalarini yasash tasvirlangan.

Bunda prizmaning yon yoqlari proyeksiyalovchi tekisliklardan iborat bo‘lgani uchun ℓ orqali M(M_N) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o‘tkaziladi, kesishuv nuqtalari proyeksiyalari Eʹ₁ va Eʹ₂ belgilanadi. So‘ngra ularning Eʹʹ₁ va Eʹʹ₂ proyeksiyalari yasaladi.

2-usul: To‘g‘ri chiziq bilan ko‘pyoqlik sirtining o‘zaro kesishish nuqtalarini, umumiy vaziyatdagi yordamchi tekislik vositasida yasash. Bunda umumiy vaziyatdagi tekislik o‘tkazish uchun markaziy yoki qiyshiq burchakli  parallel proyeksiyalash usullarining biridan foydalaniladi. Bunda to‘g‘ri chiziqni ko‘pyoqlik sirtiga kirish va chiqish nuqtalarini yasash algoritmi quyidagicha:

·        berilgan to‘g‘ri chiziq orqali sirtning asosini kesuvchi umumiy vaziyatdagi yordamchi tekislik o‘tkaziladi;

·        yordamchi tekislik bilan sirt asosi tomonlarining kesishish nuqtalari belgilanadi;

·        bu nuqtalar orqali yordamchi tekislik bilan sirt yon yoqlarining kesishish chiziqlari aniqlanadi;

·        bu chiziqlar berilgan to‘g‘ri chiziq bilan kesishib sirtga tegishli kirish va chiqish nuqtalarni hosil qiladi.

208a,b–rasmda ℓ(ℓʹ,ℓʹʹ) to‘g‘ri chiziq bilan (ʹʹʹ) piramidaning o‘zaro kesishish nuqtasini yasash tasvirlangan. Bunda piramidaning S uchi va ℓ to‘g‘ri chiziq orqali o‘tuvchi umumiy vaziyatdagi P tekislikning R_N izini o‘tkazish uchun:

·        berilgan ℓ to‘g‘ri chiziqning gorizontal ℓʹ_H izi yasaladi;

·        piramidaning S uchidan ℓ to‘g‘ri chiziqni ixtiyoriy S(Cʹ,Cʹʹ) nuqtada kesib o‘tuvchi SC(SʹCʹ,SʹʹCʹʹ) to‘g‘ri chiziq o‘tkazib uning ham gorizontal F′₁ izi yasaladi;

·        ℓ'_H va F'₁ izlar orqali piramidani asosini kesuvchi umumiy vaziyatdagi P tekislikning gorizontal P_H izini o‘tkazamiz. P_H bilan piramida asosining kesishish nuqtalari 1ʹ va 2ʹ ni belgilanadi.

·        Sʹ nuqtani 1ʹ va 2ʹ nuqtalar bilan birlashtirib, P tekislik bilan piramidaning kesishish chizig‘i D Sʹ1ʹ2ʹ ni yasaladi;

·        DSʹ1ʹ2ʹ bilan ℓʹ to‘g‘ri chiziqning o‘zaro uchrashish Eʹ₁ va yeʹ₂ nuqtalarini belgilanadi. Bu nuqtalardan foydalanib ularning frontal Eʹʹ₁ va yeʹʹ₂ proyeksiyalari aniqlanadi. Hosil bo‘lgan E₁ va ye₂ nuqtalar ℓ to‘g‘ri chiziq bilan  piramida sirtining kesishishidagi kirish va chiqish nuqtalari bo‘ladi.

a)                                                                                                                                                                                                                      b)

208-rasm

Yuqorida bayon etilgan usulni yordamchi markaziy proyeksiyalash usuli deb ham ataladi. Bu usuldan to‘g‘ri chiziq bilan konus sirtining kesishish nuqtalarini yasashda ham foydalaniladi. Prizma yoki silindr sirtlari bilan to‘g‘ri chiziqning kesishuv nuqtalarini yasashda ham umumiy vaziyatdagi tekisliklaridan foydalangan qulay. Bunda berilgan to‘g‘ri chiziq bilan ko‘pyoqlik sirtining o‘zaro kesishish nuqtalari berilgan to‘g‘ri chiziq orqali ko‘pyoqlikning yon qirralariga parallel qilib o‘tkazilgan umumiy vaziyatdagi tekislik vositasida aniqlanadi.

Proyeksiyalash yo‘nalishi ko‘pyoqlik qirralariga parallel bo‘lgani uchun uni qiyshiq burchakli yordamchi parallel proyeksiyalash usuli deb ham ataladi.

209-rasmda og‘ma vaziyatdagi (ʹ,ʺ) prizma sirti bilan b(bʹ,bʺ) to‘g‘ri chiziqning o‘zaro kesishish nuqtalarini yasash tasvirlangan. Bu misolni chizmada yechish algoritmi quyidagicha:

·        berilgan b to‘g‘ri chiziqning gorizontal b_h(bʹ_h,bʺ_h) izi yasaladi;

·        b to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy D(Dʹ,Dʺ) nuqtasidan prizmaning yon qirralariga parallel qilib to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi va uning ham gorizontal F₁(Fʹ_1,Fʺ₁) izi aniqlanadi.

·        bʹ_h va Fʹ₁ izlar orqali, prizmaning qirralariga parallel kesuvchi umumiy vaziyatdagi Q tekislikning Q_H izi o‘tkaziladi. Bu tekislik prizmaning asosini 1ʹ va 2ʹ nuqtalarda kesadi. Ushbu nuqtalaridan prizma qirralariga parallel o‘tkazilgan kesim chiziqlari lʹ to‘g‘ri chiziqni E′₁ va ye′₂ nuqtalarida kesadi. Bu nuqtalarning frontal proyeksiyalari E″₁ va ye″₂ nuqtalar, lʺ to‘g‘ri chiziqda aniqlanadi. Natijada, to‘g‘ri chiziqni prizma sirti bilan kesishishidagi kirish va chiqish nuqtalari hosil bo‘ladi.[1]

Скачано с www.znanio.ru