Критические точки функции на отрезке.

Тема урока: Критические точки  функции на отрезке.

Цели урока:

 Сформировать понятие алгоритма  нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; формирование начальных умений в применении методов дифференциального исчисления к решению практических задач.

Ход урока.

1.                  Орг. момент. Мотивация урока.

Проверка готовности к уроку. Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Сегодня с вами мы рассмотрим применение производной к исследованию функции на наибольшее и наименьшее значение на отрезке.

2.                  Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос. Найдите производную:

а) sin x
б) tg х
в) х² + 2
г) х⁴

д) sin 2х
е) е^х+2

ж) 2х³ + х – 2
з) cos 2х

Работа в парах: По графику функции у=f(x) найдите:

1.Область определения функции.

 [-3;6]

2. Абсциссы точек, в которых f`(x)=0    

 0;3,5

3. Наибольшее значение функции. (Унаиб.). Унаиб=3

4. Наименьшее значение функции (Унаим.). Унаим.=-2

5. Промежуток возрастания (убывания)

6. Промежутки знакопостоянства.

Работа у доски:

1. ,

2. ,

3. ,

4.

5.

Решить №_______________

3.                  Изучение нового материала.

Вы видите, что когда функция задана графически наибольшее и наименьшее значения её на ограниченной области определения отыскать не сложно, но как быть если функция задана аналитически? (постановка проблемной ситуации) Поэтому наша задача  отыскать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на указанном отрезке.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у=f(x) на отрезке [a;b]

1. Найти производную f`(x)

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b]

3. Вычислить значения функции у=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b  выбрать среди этих значений наименьшее ( это будет Унаим.) и наибольшее (это будет Унаиб.).

Замечание:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. (f (х_o) = f_нб = f_max , где нб – наибольшее, max – максимальное).

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или у бывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

А какие точки называются критическими? (Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю)

Историческая задача-притча

На основании притчи из библии Н. Толстой написал рассказ «Много ли земли нужно человеку?», в котором описывается,  как крестьянину Пахому продают землю по цене «1000 рублей за день». Под этим надо понимать количество земли, которое он сможет оббежать за день. Пахом бежал целый день по прямой и в конце дня упал мертвый. Как должен бежать Пахом, чтобы участок получился наибольшей площади?

Для решения этой проблемной задачи можно использовать материал сегодняшнего урока: «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке».

Задача: Из всех прямоугольников, периметр которых 32м, найти с наибольшей площадью?

Обозначим сторону прямоугольника а, тогда вторая сторона – (16-а), площадь прямоугольника S=а(16-а). Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S(а), при а>0. Имеем: S(а)=а(16-а).

Найдем производную этой функции: S^!(а)=16-2а.

Функция S(а)определена при всех значениях переменной, кроме а=0. Решим уравнение S’(а)=0: 16-2а=0, а=8.

Отсюда следует, что при а=8м наибольшая площадь составляет S(8)=64м² .  

Вывод: если бы Пахом знал, что среди всех прямоугольников наибольшую площадь имеет квадрат, то оббежал хотя бы один квадрат.

4.                  Осмысление новых знаний, умений, навыков

Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [-2;0]

1) ;

2) ; 3х2-3х-6=0; х=-1; х=2. Так как ;

3) у(-1)=4,5; у(-2)=-1; у(0)=1;

4) значит,  max у(х)=у(-1)=4,5; min у(х)=у(-2)=-1.

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции (ух)=-2х³-3х²+4 на отрезке [-2;-0,5] .

1) найти производную функции: ;

2) определим критические точки функции : -6х²-6х=0;х=0 или х=-1;

3) вычислим значение функции в точке х=-1 и на концах отрезка (только х=0) не принадлежит отрезку [-2;-0,5]): у(-1)=3; у(-0,5)=3,5; у(-2)=8;

4) значит,  max у(х)=у(-2)=8; min у(х)=у(-1)=3.

Задание 3. разложить 24 на сумму двух слагаемых так, чтобы их производные было наибольшим. Найти производные.

Пусть первое слагаемое х, тогда второе слагаемое (24-х), причем 0х24. Произведение этих слагаемых х(24-х).

Значит, рассмотрим функцию у(х)=х(24-х); у(х)=24х-х². Найдем наибольшее значение функции у(х) на отрезке [0;24]:    

Функция определена для всех х, Значит, решим уравнение =0: 24-2х=0; х=0; х=12. У(12)=144; у(0)=0; у(24)=0. Следовательно, слагаемые12 и 12 .

5.                  Зарядка для глаз.

6.                  Закрепление умений и навыков

Обучающая самостоятельная работа

Учащиеся во время ее выполнения могут брать помощь учителя или учащихся – консультантов.

Вариант 1.

Задание 1. Найти наибольшее значение функции у(х)=х³-3х²+1 на [0;3]

Задание 2. Найдите положительное число, которое, если сложить с обратным ему числом, даст наименьшую сумму.

Вариант 2.

Задание 1. Найти наибольшее значение функции у(х)=х⁴-2х²-3 на [0;3]

Задание 2. Найдите такое положительное число, чтобы разность между ним и его кубом была наибольшей.

Выдаются карточки-ответы для самоконтроля.

7   Итог урока. Рефлексия.

Путешествие по ступеням «Я знаю… Я умею… Я могу…»

8.                  Домашнее задание  

Выучить алгоритм. Решить №__________________

Учащиеся объединяются в домашние творческие группы для работы над созданием презентации «Применение производной». Задачи групп-отделов:

1.                  «Облицовка».

Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000м² боковых стенок и дна желоба прямоугольного сечения длиной 1000м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

2.                   «Максимальный слив».

 Необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6м. Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?

3.                   «Два поезда»

     Два железнодорожных пути пересекаются под прямым углом. К месту                пересечения одновременно мчатся по этим путям два поезда: один со станции, находящейся в 50км от того же места пересечения. Первый делает в минуту 800м, второй 600м.

Через сколько минут, считая с момента отправления поезда, были в наименьшем взаимном расстоянии? Как велико расстояние?