Лекция № 24 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Лекция № 24 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

ПЛАН

1.     Моделирование корреляционных зависимостей

    а) Корреляционные зависимости.

         б)  Корреляционный анализ.

         в) Коэффициент  корреляции.

1 Моделирование корреляционных зависимостей

Регрессионные математические модели строятся в тех случа­ях, когда известно, что зависимость между двумя факторами су­ществует и требуется получить ее математическое описание. А сейчас мы рассмотрим задачи другого рода. Пусть важной харак­теристикой некоторой сложной системы является фактор А.  На него могут оказывать влияние одновременно многие другие фак­торы: В, С, D и т. д.

Мы рассмотрим два типа задач.

1) Оказывает ли фактор В какое-либо заметное регулярное вли­яние на фактор А?

2) Какие из факторов В, С, D и т. д. оказывают наибольшее влияние на фактор А?

В качестве примера сложной системы будем рассматривать школу. Пусть для первого типа задач фактором А является сред­няя успеваемость учащихся школы, фактором В - финансовые расходы школы на хозяйственные нужды : ремонт здания, обнов­ление мебели, эстетическое оформление помещения и т. п. Здесь влияние фактора В на фактор А не очевидно. Наверное, гораздо сильнее на успеваемость влияют другие причины : уровень квали­фикации учителей, контингент учащихся, уровень технических средств обучения и др.

Специалисты по статистике знают, что для того, чтобы вы­ явить зависимость от какого-то определенного фактора, нужно максимально исключить влияние других факторов. Проще говоря, собирая информацию из разных школ, нужно выбирать такие школы, в которых приблизительно одинаковый контингент учени­ков, квалификация учителей и пр., но хозяйственные расходы раз­ные (у одних школ могут быть богатые спонсоры, у других - нет).

Итак, пусть хозяйственные расходы школы выражаются ко­личеством рублей, отнесенных к числу учеников в школе (руб. /чел.), потраченных за определенный период времени (на­ пример, за последние 5 лет). Успеваемость же пусть оценивается средним баллом учеников школы по результатам окончания по­следнего учебного года. Еще раз обращаем ваше внимание на то, что в статистических расчетах обычно используются относитель­ные и усредненные величины.

Итоги сбора данных по 20 школам, введенные в электронную таблицу, представлены на рис.3.7. На рис.3.8 приведена точеч­ная диаграмма, построенная по этим данным.

Рис. 3.7. Статистические данные

Рис. 3.8. Точечная диаграмма

Значения обеих величин: финансовых затрат и успеваемости учеников - имеют значительный разброс и, на первый взгляд, взаимосвязи между ними не видно. Однако она вполне может су­ществовать.

Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается не контролируемому полностью разбросу, называются корреляционными зависимостями.

Раздел математической статистики, который исследует такие зависимости, называется корреляционным анализом. Корреляци­онный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру такой зависимости.

Оценку корреляции величин начинают с высказывания гипотезы о возможном характере зависимости между их значениями. Чаще всего допускают наличие линейной зависимости. В таком случае мерой корреляционной зависимости является величина, которая называется коэффициентом корреляции. Как и прежде, мы не будем писать формулы, по которым этот коэффициент вы­числяется; их написать нетрудно, гораздо труднее понять, почему они именно такие . На данном этапе достаточно знать следующее:

• коэффициент корреляции (обычно обозначаемый греческой буквой р) есть число из диапазона от -1 до + 1;

• если это число по модулю близко к 1, то имеет место силь­ная корреляция; если к 0, то слабая;

• близость р к + 1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует возрастание значений другого набора, близость р к -1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует убывание значений другого набора;

• значение р легко найти с помощью Excel, так как в эту про­ грамму встроены соответствующие формулы.

В Excel функция вычисления коэффициента корреляции на­зывается КОРРЕЛ и входит в группу статистических функций. Покажем, как ею воспользоваться. На том же листе Excel, где находится таблица, представленная на рис . 3 . 7, надо установить курсор на любую свободную ячейку и запустить функцию КОРРЕЛ. Она запросит два диапазона значений. Укажем, соответ­ственно, В2 :В21 и С2:С21. После их ввода будет выведен ответ: р = 0, 5002 73843 . Эта величина говорит о среднем уровне корреля­ции.

Наличие зависимости между хозяйственными затратами шко­лы и успеваемостью нетрудно понять. Ученики с удовольствием ходят в чистую, красивую, уютную школу, чувствуют там себя, как дома, и поэтому лучше учатся.

В следующем примере проводится исследование по определе­нию зависимости успеваемости учащихся старших классов от двух факторов: обеспеченности школьной библиотеки учебниками и оснащения школы компьютерами. И та, и другая характеристи­ка количественно выражается в процентах от нормы. Нормой обеспеченности учебниками является их полный комплект, т. е. такое количество, когда каждому ученику выдаются из библиоте­ки все нужные ему для учебы книги. Нормой оснащения компью­терами будем считать такое их количество, при котором на каж­дых четырех старшеклассников в школе приходится один ком­пьютер. Предполагается, что компьютерами ученики пользуются не только на информатике, но и на других уроках, а также во внеурочное время.

В таблице, изображенной на рис .3.9, приведены результаты измерения обоих факторов в 11 разных школах. Напомним, что влияние каждого фактора исследуется независимо от других (т. е. влияние других существенных факторов должно быть приблизи­тельно одинаковым).

Рис. 3.9. Сравнение двух корреляционных зависимостей

Для обеих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Как видно из таблицы, корреляция между обеспе­ченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция жду компьютерным обеспечением и успеваемостью (хотя и тот, и другой коэффициенты корреляции не очень большие). Отсюда можно сделать вывод, что пока еще книга остается более значи­тельным источником знаний, чем компьютер.

Система основных понятий