Мелентьева С.Б.
МАТЕМАТИКА
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО
ТЕМЕ: «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».
Самара, 2018Разработал: Мелентьева С.Б.
Пособие представляет собой издание, содержащее карточки – инструкции и задания
для самостоятельного решения направленные на усвоение, закрепление знаний и
формирование практических умений и навыков решения уравнений и неравенств по теме:
«Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств». Для
обучающихся первого курса всех специальностей и профессий.ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие обеспечивает обязательный минимум общеобразовательной
подготовки студентов по математике, при изучении темы «Логарифмическая функция.
Решение логарифмических уравнений и неравенств».
В пособие приведены карточки – инструкции обучающего характера,
способствующие повторению, закреплению знаний и умений.
Подобранны разно уровневые задания для самостоятельного решения, которые
помогут преподавателю правильно построить свою деятельность и использовать
данный материал для составления и проведения дифференцированных
самостоятельных, контрольных и зачетных работ.
Цель:
научить правильно, находить область определения логарифмической функции;
сформировать у студентов навыки и умения применения свойств
логарифмической функции при решении упражнений;
сформировать у студентов навыки и умения в решении основных видов
логарифмических уравнений и неравенств используя свойства логарифмов и
логарифмической функции;
Карточки инструкции
предназначены для студентов всех специальностей
техникума при изучении темы «Логарифмическая функция. Решение логарифмических
уравнений и неравенств».Основные теоретические сведения.
называется показатель степени , в которую нужно возвести a , чтобы
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a
(a>0,a≠1)
получилось b , т.е.
logab=x ⇔ ax=b
1.
Равенство (1), выражающее определение логарифма, можно записать в виде
alogab=b 2
Это равенство называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифма.
loga1=0
logaa=1
1.
2.
3. Отрицательные числа и о логарифмов не имеют.
loga(b∙c)=logab+logac (логарифм произведения), где b>0,c>0 .
4.
loga
b
c=logab−logac (логарифм частного), где b>0,c>0 .
5.
logabp=p∙logab (логарифм степени), где b>0,p∈R .
6.
logab=
logcb
logca (переход от одного основания логарифма к другому).
logab= 1
logba
logapb=1
logab , где p≠0 .
p
7.
8.
9.
Замечания:
1. Из свойств логарифма следует что основания у логарифмов положительные числа и
не равные 1.2. Логарифм числа b по основанию 10 называют десятичным логарифмом и
обозначают lgb
(log10b=lgb)
.
3. Логарифм числа b по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают
lnb
(logeb=lnb)
4. Из определения логарифма следует, что при решении уравнения ax=b , где
a>0,a≠1,b>0 , является уравнение x=logab .
Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение , в котором
неизвестное находится под знаком логарифмической функции.
logaf(x)=b , где a>0,a≠1,f(x)>0 .
Логарифмическое уравнение
logaf(x)=b равносильно уравнению f(x)=ab
При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не
приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней.
Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановки их в исходное
уравнение обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку
найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнения. Тогда
корнями могут быть только те числа, которые принадлежат области.
Отметим некоторые способы решения логарифмических уравнений:
1. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.
2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства,
содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. При решении
используют свойства 4, 5, 6 логарифмов .
3. Приведение логарифмического уравнения к квадратному, с введением новой
переменной.
4. Приведение логарифмов к одному основанию. Используя свойства 7, 8, 9.
5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
(logax≥b)
logax
0,a≠1 называют простейшими логарифмическими
Определение. Неравенства вида
(logax≤b)
logax>b
или
неравенствами.
Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности
логарифмической функции. Известно, что при основании, больше единицы,
логарифмическая функция возрастает, а при положительном основании меньше единицы,
убывает. В процессе решения логарифмические неравенства приводятся к виду
logaf(x)logaφ(x)
(logaf(x)≥logaφ(x))
.
Тогда, в связи с указанным выше свойством логарифмической функции, неравенство
logaf(x)1 равносильно неравенству f(x)<φ(x)
при 0φ(x)
исходного неравенства.
в области допустимых значений
, а
Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное
основание, то как правило, следует рассматривать два случая:
1) основание больше 1;
2) основание положительно, но меньше 1
Карточкаинструкция по теме: «Область определения логарифмической функции».
1. Найдите область определения функции у=log3(6−2х)
Решение: Так как область определения логарифмической функции только
положительные числа, то число
, стоящее под знаком логарифма, должно
удовлетворять неравенству 6 −2х>0 , решая которое находим те значения х, при
которых функция у=log4(6−2х)
определена:
(6−2х)
6−2х>0 ;
6 ¿2х (при переносе членов неравенства из одной его части в другую знаки этих членов
изменяются на противоположные).Это неравенство удобно записать так: 2х<6 , тогда х<3 (делим обе части
неравенства почленно на положительное число 2 – смысл знака неравенства при этом не
меняется).
Получили, что областью определения данной функции являются числа, меньше
3. Все эти числа входят в числовой промежуток
Ответ:
(3;∞)
.
(3;∞)
.
2. Найдите самостоятельно область определения функций:
а) у=log3(2х−6)
б) у=log0.5(5+х)
Карточкаинструкция по теме: «Область определения логарифмической функции».
1. Найти область определения функции
у=log7(х+7)+log1
7
(7−х)
Решение: Чтобы найти область определения, надо найти решение системы неравенств:
{х+7>0
7−х>0 .
Объясните: а) почему каждое из выражений (х+7) и (7х) должно быть положительным?
б) почему для нахождения области определения данной функции необходимо
находить решение системы, состоящей из этих двух неравенств?
Решите эту систему и дайте геометрическую иллюстрацию ее решения.
Запишите ответ двумя способами: в виде двойного неравенства и в виде числового
промежутка.
2. Найдите самостоятельно область определения функций у=log7х−log3(2х−5)
Задания для самостоятельного решения.
Найдите область определения функции:
На оценку «3»1.
3.
5.
7.
log3(12−x)
log4(x−22)
log1,2(2x+4)
log4,4(x−3)
На оценку «4»
1.
3.
5.
7.
log0,3(x2+x−6)
lg(x2+x−2)
log7(x2−8x+16)
log0,3(2x−x2+3)
9.
11.
(2x2+9x)
(x2−7x)
На оценку «5»
1.
3.
5.
7.
lg2x+1
x−1
n
3x+4
5−x
x−1
8x+1
3x+1
x−4
2.
4.
6.
8.
2.
4.
6.
8.
lg❑(x2−4)
log0,8(25−x2)
log4(x2−1)
log6(81−x2)
lg(x2−5x+6)
lg(x2−4x+3)
log5(x2−4x+6)
log6,7(4x3−x)
10.
12.
(4x2+11x)
(x2−8x)
2.
4.
6.
8.
lg2x−3
x+7
32−8x
x+1
5−4x
12x+1
3x+1
1−3x9.
x+1
2x−1
10.
4−5x
x−3
Метод основан на определении логарифма.
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение
log5√5x=0
log1
5
Решение. Используя определение логарифма, имеем
log5√5x=(1
5)0
, т.е
log5√5x=1 , откуда √5x=51
.
Следовательно, 5x=25,
x=5 .
Выполни проверку решения этого уравнения
log55=log1
5
log5√5∙5=log1
5
log1
5
1=0
Ответ: 5.
2. Решите самостоятельно уравнение
log7(4x−3)=2 б)
а)
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение
log3(3x−8)=2−x
Решение. Используем определение логарифма получаем
3x−8=32−x
, т.е. 3x−8= 9
3x .Делая замену y=3x
, y > 0 получим y−8= 9
⇔y²−8y−9=0 .
y
Решив квадратное уравнение получим корни y1=−1 и y2=9 .
Приходим к совокупности уравнений.
Первое 3x=−1 не имеет решений
Второе 3x=9 , =2.
Делаем проверку получаем:
log3(9−8)=2−2 и, так как
log31=0 , то 0=0.
Ответ: 2
2. Решите самостоятельно:
log4(5x+6)=0 б)
а)
log1
5(7x+ 1
25)=2
Метод, использующий монотонность логарифмической функции
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение:
log4(х−1)=log4(5−х)
Решение: Область определения определяется системой неравенств:
{х−1>0,
5−х>0; {х>1,
х<5; 1<х<5
1 5 х
Из уравнения
log4(х−1)=log4(5−х)
следует, что
х−1=5−х ;
2х = 6;х = 3 входит в область определения .
Ответ: 3.
2. Решите самостоятельно уравнение
log3(2x−1)=log3(x+3)
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение
log3(x2−6x+17)=2
Указание. 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство
x2−6x+17>0 .
2) Замените 2=log39 .
3) Решите уравнение
log3(x2−6x+17)=log39
4) Проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область
определения.
5) Запишите ответ.
Решить это уравнение можно иначе: Решается уравнение x2−6x+17=9 , а затем
делается проверка полученных корней этого уравнения. Если при подстановке переменной
ее значения получаются истинное равенство, то это значение является корнем данного
уравнения.
2. Решите самостоятельно lg(x2−8x+13)=0
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение:
log4(х+3)−log4(х−1)=2−log48 .
Указания:1) Найдите область определения данного уравнения, решив систему неравенств:
{х+3>0.
х−1>0.
2) Замените 2=log416 (Действительно, 42=16 ). По формулеlogau−logav=loga
u
v , заменим
log4(х+3)−log4(х−1)
log416
log48 .
и
Получим следующее уравнение:
log4
логарифмического уравнения к уравнению
16
8 . Перейдите от
х+3
х−1=log4
х+3
х−1=16
8
3) Решите получившееся уравнение и проверьте, входят ли его корни в область
определения.
4) Запишите ответ.
2. Решите уравнение lg (х +4) + lg (2х + 3) = lg (1 2х).
Указания. 1) Найдите область определения данного уравнения, решив систему неравенств:
{ х+4>0,
1−2х>0; ⟺ { х>−4,
2х>−3,
−2х>−1;
2х+3>0,
⟺
{ х>−4,
х>−1,5
х<0,5 , −1,5<х<0,5.
4 1,5 0,5 х
2). Преобразуйте уравнение к виду lg ((х +4) (2х + 3)) = lg (1 2х). Используя
формулу
logau+logav=loga(uv)
.
3). Перейдите от логарифмического уравнения к уравнению (х+4)(2х+3)=(12х)
решите получившееся уравнение и проверьте, входят ли его корни в область определения.
4) Запишите ответ.
2. Решите самостоятельно: lg(2x)+lg(x+3)=lg(12x−4)
Применение основного логарифмического тождества.Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение
log2(9−2x)=10lg(3−x)
Решение. Находим ОДЗ, решив систему:
{9−2x>0
3−x>0 ⇔ {2x>9
x<3 ⇔ {x0 , получаем
9−y=8
y ⇔ {y²−9y+8=0
y≠0
, откуда y1=1 и y2=8 .
Следовательно, 2x=1 , тогда =0 или 2x=8 , тогда =3. Но =3 – посторонний
корень, так как не входит в ОДЗ.
Ответ: 0.
2. Решение самостоятельно:
log2(9−2x)=2log2 (3−x)
Применение логарифмирования.
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение: x1−lgx=0,01
Решение. ОДЗ переменной >0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях
уравнения положительны. Поэтому возможно логарифмирование, причем наиболее
удобное основание 10. Получаем,
lg(x1−lgx)=lg0,01 ⇔
(1−lgx)lgx=−2 .Предположим y=lgx , получим квадратное уравнение y²−y−2=0 , решаем его и
получаем корни y1=−1 и y2=2 .
Если y1=−1 . Тогда lgx=−1 . ⟹ x1=10−1
, то x1=0,1 .
Если y2=2.
Тогда lgx=2⇒ x2=102
, то x2=100 .
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 0,1; 100.
2. Решите самостоятельно: xlog3x2+log 3²x−10= 1
x2
Введение нового неизвестного.
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение: 2log2²x+5log2x−3=0
Указания: Найдите область определения данного уравнения, решив неравенство x>0
log2²x=y² ,
log2x=y , тогда
Решение. Введем новую переменную обозначьте
уравнение приводится к виду
2y²+5y−3=0 .
Решить квадратное уравнение (используя формулы для нахождения дискриминанта и
корней уравнения)
Получаем следующие корни y1=1
2 и y2=−3 .
Если y1=1
2 , тогда
log2x=1
2 , откуда x=√x
Если y2=−3 ., тогда
log2x=−3 , откуда x=2−3
или x=1
8 .
Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ.
2. Решите самостоятельно:
log3²x−3log3x+2=0Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение: lg²x−3lgx=lg(x2)−4
Решение. Находим ОДЗ. x>0 . Тогда lg(x2)=2lgx , уравнение принимает вид
lg²x−5lgx+4=0 .
Вводим переменную y=lgx , получаем уравнение y2−5y+4=0 .
Решим уравнение получим корни y1=1 и y2=4 .
Тогда lgx=1 , т.е. x1=101
⇒ x1=10 или
lgx=4 , т.е. x2=104
, ⇒ x2=10000 .
Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ.
2. Решите самостоятельно: xlog3x2+log 3²x−10= 1
x2
Указание. 1. Прологарифмируй данное уравнение по основанию 3.
2. Перенеси все части уравнения в левую часть и разложи на множители.
3. Используй условие равносильности, реши полученные уравнения.
4. Выполни проверку и запиши ответ.
Переход к логарифму по новому основанию.
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».
1. Решите уравнение:
log2(x2−1)=log1
2
(x−1)
.
Решение. Найдите ОДЗ этого уравнения. Имеем систему:
{x2−1>0
x−1>0 ⇔ {(x−1)(x+1)>0
x−1>0
⇔ {x>−1
x>1 ⇔ x>1
Преобразуй выражение правой части уравнения к логарифму по основанию 2. Используй
формулу перехода, получим(x−1)=
log1
2
log2(x−1)
log2
1
2
=
log2(x−1)
−1
=−log2(x−1)
Получим уравнение
log2(x2−1)=−log2(x−1)
.
Применив свойства логарифмической функции получим
x2−1=(x−1)−1
⇔ x2−1= 1
x−1 .
Преобразования дают
(x2−1)(x−1)=1 ⇔ x2−x2−x+1=1 ,
т.е. x(x2−x−1)=0 .
Решаем его, получим x1=0 , x2=1+√5
2
, x3= 1−√5
2
.
Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ.
2. Решите самостоятельно 3+2logx+13=2log3(x+1)
Указания.1.Найдите ОДЗ.
2.Перейдите к логарифмам по основанию 3
3. Введите новую переменную.
4. Решите полученное уравнение.
5. Проверьте, входят ли его корни в ОДЗ
6. Запишите ответ
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений».1. Решите уравнения:
log2
2x−log2x−2
log2x+1
=1
Указание. Уравнение приводиться к квадратному. Не забудьте учесть, что:
а) >0; б)
log2+1≠0 .
2. lg210x+lgx−19=0
Указание. lg210x=(lg10x)2=(lg10+lgx)2
Ответ. 10−6
; 103
.
log3log2(3x2−x)=0 .
3.
Указание. Найдите
log2(3x2−x)
из равенства
Ответ:
−2
3
(¿¿2(3x2−x))=log31
log
log3¿
.Задания для самостоятельного решения.
Решите уравнения:
На оценку «3»
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
log3(12−5x)=2
log2(2x−1)=3
(5 + 2) =
1
2
lg36+lg2
1
2
log2(3x−2)=3
(4x−2)=5lg2−3
log2(7x−4)=2+log213
log5(x2−11x+43)
lgx−2lg3=lg7−lg(16−x)
log5(12x+7)=log5(2x+5)+1
lg(x+1)=1+lg(x−5)
2lg²x+3=7lgx
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
(3x−1)=¿−3
log0,5¿
log1
2
(2x−1)−log1
2
16=5
log3(4−2x)−log32=2
log3(2x+1)=log313+1
1
3
log3(2x+1)=1
−log7(5−x)=log72−1
lg(2x−51)−lg(22−x)=0
lg(x+4)−lg(x−5)=1
lg(x−2)+lg(x−3)=1−lg5
lg²x−5lgx+6=0
2log2²x−5log2x+2=023
25
27
lg²x−lgx−6=0
log2²x−3log2x+2=0
log5²x−3log5x+2=0
24
26
28
lg²x=4−3lgx
log3²x+log3x−2=0
log3(x2−6x+17)
29.
log23−log2(2−3x)=2−log2(4−3x)
На оценку «4»
1
3
5
7
2 log32−log3(x−1)=1+log35 .
lg(x+6)−1
2
lg(2x−3)=2−lg25
log2(x−14)=1+ 1
2
log2(3x−26)
lg(x−5)−1
2
lg(3x−20)=1−lg5
2
4
6
8
lg(x−9)+lg√2x−1=1
1
2
3lg3√x=lg(3x−4)
2log3(x+1)−2=log3(x−1)
На оценку «5»
1
3
5
log2(x2+8)−log2(x−1)=log0,5
1
8
2log6(2+x)+log6(9−6x+x2)=2
log4(x+3)+log4(x−1)=5+log3
1
27
2
4
6
lg²x−3lgx=lgx2−4
2log3(x+1)−2=log3(x−1)
lg(3x2+7)−lg(3x−2)=1Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических неравенств».
1. Решите неравенство:
log0,1(x2+1)4,5.
{ x2+1>0
2х+9>0,
2) Из неравенства
следует, что x2+1>2х+9 или x2−2х−8>0 .
log0,1(x2+1)0 .
D= b2−4ac = 4+32 =36;
х1,2=
−b∓√D
2a =
2∓√36
2 = 2∓6
2
, х1 =2 или х2 = 4 (Найти корни можно
более рациональным способом: х1,2 = 1 ∓√1+8 =1 ∓3 )
Дадим геометрическую иллюстрацию решения.
+
+
2 4
Как видно из рисунка, решениями неравенства x2−2х−8>0 служат промежутки
(−∞;−2)и(4;∞)
.
4) Проверим, входят ли эти промежутки в область определения
(−4,5:∞)
.
Первый промежуток входит в область определения не полностью. Из него можно только
взять промежуток ( 4,5; 2), а второй промежуток входит в область определения .
Ответ:
(−4,5;−2)∪(4;∞)
.
2. Решите самостоятельно неравенство:
log0,8(2x2+2)>log0,8(7х−1)
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических неравенств».1. Решите неравенство
10x+13
log0,8(3x+4)
≥0
Решение. D
+¿
(log0,8)=R¿
;
log0,8t>0 , если 0 < t < 1, 0 < 3 + 4 < 1, - 4 < 3 < - 3, -1
1
3 1.
2. Решите самостоятельно:
log0,2(4x+5)
21x+26 ≤0
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических неравенств».
1. Решите неравенство:
log0,2(x−3)
log0,22 >3 .
log0,22<0 , то данное неравенство равносильно
Решение. Так как
неравенству
log0,2(x−3)<3log0,22 , которое равносильно системе { x−3>8
11.
x−3>0; >Ответ:
(11;∞)
.
2. Решите самостоятельно неравенства:
1.
log9(5−4x)
log0,40,064 <0 . 2.
log0,60,216log5(5−2)>0
Карточкаинструкция по теме: «Решение логарифмических неравенств».
1. Решите неравенство:
5x+4
x−2 >1.
log1
2
Решение. Данное неравенство равносильно системе
{ 5x+4
x−2 >0
5x+4
x−2 < 1
2
;
5x+4
x−2 >0 ; < - 0,8 или > 2.
1)
1
1
9 2
⇔9x+10
x−2 <0 ; −1 1
92
9 −1
2
4
log2(1−2x)<0
log5(3x−1)<25
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
log5(4x+1)>−1
log0,5(2x)>2
log9(4−3x) >0,5
log0,25(3x−5)>−3
log2(1−2x)>0
lgx+0,5lg163log62+2
2 < 2 7 + 1
1
2
lg81−lgx>lg2
log3(5x−6)0
log2(x2+2x)<3
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
2
4
6
8
(2x+3)>−3
log1
5
log4(7−x)<3
26 – > 32
3 0,5 + > 5
(2x−1)≥−2
log1
3
(3−2x)<2
2 > 1
log2(2x+1)>4
log0,5(2x+1)>−2
log7(2x−1)<2
log3
3x−2
x2+1
>0
log0,5
5x+4
x−2 >1
log3
8x−7
x−5 <0
lg(x2−8x+13)>09
(x2−5x−6)≥−3
log1
2
10
(x2−5x+7)<0
log1
2
На оценку «5»
1
3
5
log0,24
x2−x
x2+1
<0
log0,2(4x+5)
21x+26 ≤0
log9(5−4x)
log0,40,0064 >0
2
4
6
log12,5
2x
2x−3 >0
log0,2(x−3)
log0,22 >3
log0,60,216∙log3(5−2x)>0Литература.
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее
образование (базовый уровень)М.: Издательский центр «Академия», 2009.304с.
2. Башмаков М.И. Математика.10 класса: Сборник задач: среднее (полное) общее
образование М.: Издательский центр «Академия», 2008.272с.
3. Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., Шварцбург С.И..
Алгебра и начало анализа: Учебник для 1011 кл.общеобразоват. учреждений.11е
изд.М.:Просвещение, 2001.384с.
4. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому
государственному экзамену и централизованному тестированию по математике.
Ростов н/Д: «Феникс», 2003.352с.
5. Тырымов А.А. Математика для поступающих в вузы (Способы решения основных
типов задач, предполагаемых на письменных экзаменах. Алгебра и тригонометрия)
часть 1 Издательство «Учитель», 2000.80с.Содержание.
1. Введение. 3.
2. Основные теоретические сведения
4
3. Карточкиинструкции по теме: «Область определения логарифмической
функции». 6.
4. Задания для самостоятельного решения. 7
5. Карточкиинструкции по теме: «Решение логарифмических уравнений». 8
6. Задания для самостоятельного решения. 15
7. Карточкиинструкции по теме: «Решение логарифмических неравенств». 17
8. Задания для самостоятельного решения. 20
9. Литература. 22
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ _РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ..docx
