«ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

Мелентьева С.Б. МАТЕМАТИКА МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ТЕМЕ: «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ». Самара, 2018 Разработал: Мелентьева С.Б. Пособие представляет собой издание, содержащее карточки – инструкции  и задания для   самостоятельного   решения   направленные   на   усвоение,   закрепление   знаний   и формирование практических умений и навыков решения уравнений и неравенств   по теме: «Логарифмическая   функция.   Решение   логарифмических   уравнений   и   неравенств».   Для обучающихся первого курса всех специальностей и профессий. ВВЕДЕНИЕ   Данное   пособие   обеспечивает   обязательный   минимум   общеобразовательной подготовки студентов по математике,  при изучении темы «Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств».   В пособие приведены карточки – инструкции обучающего характера,  способствующие повторению, закреплению знаний и умений.  Подобранны  разно  уровневые задания для самостоятельного решения, которые  помогут преподавателю правильно построить свою деятельность и использовать  данный материал для составления и проведения дифференцированных  самостоятельных, контрольных и зачетных работ. Цель:  ­научить правильно, находить область определения логарифмической функции; ­сформировать у студентов навыки и умения применения свойств  логарифмической функции при решении упражнений; ­сформировать у студентов навыки и умения в решении основных видов   логарифмических уравнений и неравенств используя свойства логарифмов и  логарифмической функции; Карточки   ­   инструкции     предназначены   для   студентов   всех   специальностей техникума   при   изучении   темы   «Логарифмическая   функция.   Решение   логарифмических уравнений и неравенств». Основные теоретические сведения.  называется показатель степени , в которую нужно возвести  a , чтобы   Определение. Логарифмом положительного числа   b  по основанию     a (a>0,a≠1) получилось   b , т.е. logab=x  ⇔ ax=b 1. Равенство (1), выражающее определение логарифма, можно записать в виде alogab=b                                                                                                                          2 Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифма. loga1=0 logaa=1 1. 2.  3. Отрицательные числа и о логарифмов не имеют. loga(b∙c)=logab+logac  (логарифм произведения), где  b>0,c>0 . 4.  loga b c=logab−logac  (логарифм частного), где  b>0,c>0 . 5.  logabp=p∙logab  (логарифм степени), где  b>0,p∈R . 6.  logab= logcb logca  (переход от одного основания логарифма к другому). logab= 1 logba logapb=1 logab , где  p≠0 . p 7.  8.  9.  Замечания: 1. Из свойств логарифма следует что основания у логарифмов положительные числа и  не равные  1. 2. Логарифм числа b по основанию 10 называют десятичным логарифмом и  обозначают  lgb   (log10b=lgb) . 3. Логарифм числа b по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают lnb    (logeb=lnb) 4. Из определения логарифма следует, что при решении уравнения  ax=b , где a>0,a≠1,b>0 , является уравнение  x=logab . Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение , в котором  неизвестное находится под знаком логарифмической функции. logaf(x)=b , где   a>0,a≠1,f(x)>0 . Логарифмическое уравнение  logaf(x)=b  равносильно уравнению  f(x)=ab При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не  приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней.  Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановки их в исходное  уравнение обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку  найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнения. Тогда  корнями могут быть только те числа, которые принадлежат области.  Отметим некоторые способы решения логарифмических уравнений: 1. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма. 2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства,  содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. При решении  используют свойства 4, 5, 6 логарифмов . 3. Приведение логарифмического уравнения к квадратному,  с введением  новой  переменной. 4. Приведение логарифмов к одному основанию. Используя свойства  7, 8, 9. 5. Метод логарифмирования  обеих частей уравнения. (logax≥b) logax0,a≠1  называют простейшими логарифмическими  Определение. Неравенства вида  (logax≤b) logax>b    или  неравенствами. Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности  логарифмической функции. Известно, что при основании, больше единицы,  логарифмическая функция возрастает, а при положительном основании меньше единицы,­  убывает.  В процессе решения логарифмические неравенства приводятся к виду logaf(x)logaφ(x)       (logaf(x)≥logaφ(x)) . Тогда, в связи с указанным выше свойством логарифмической функции, неравенство logaf(x)1  равносильно неравенству  f(x)<φ(x) при  0φ(x) исходного неравенства.  в области допустимых значений  , а  Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное  основание, то как правило, следует рассматривать два случая:  1) основание больше 1;  2) основание положительно, но меньше 1 Карточка­инструкция по теме: «Область определения логарифмической функции». 1. Найдите область определения функции  у=log3(6−2х) Решение: Так как область определения логарифмической функции только  положительные числа, то число  , стоящее под знаком логарифма, должно  удовлетворять неравенству 6 −2х>0 , решая которое находим те значения х, при  которых функция   у=log4(6−2х)  определена:  (6−2х) 6−2х>0 ; 6  ¿2х  (при переносе членов неравенства из одной его части в другую знаки этих членов  изменяются на противоположные). Это неравенство удобно записать так:  2х<6 , тогда  х<3  (делим обе части  неравенства почленно на положительное число 2 – смысл знака неравенства при этом не  меняется). Получили, что областью определения данной функции являются числа, меньше  3. Все эти числа входят в числовой промежуток  Ответ:  (3;∞) . (3;∞) . 2. Найдите самостоятельно область определения функций: а)  у=log3(2х−6)                б)  у=log0.5(5+х)      Карточка­инструкция по теме: «Область определения логарифмической функции». 1. Найти область определения функции   у=log7(х+7)+log1 7 (7−х) Решение:  Чтобы найти область определения, надо найти решение системы неравенств: {х+7>0 7−х>0 .  Объясните: а) почему каждое из выражений (х+7) и (7­х) должно быть положительным?                     б) почему для нахождения области определения данной функции необходимо  находить решение системы, состоящей из этих двух неравенств? Решите эту систему и дайте геометрическую иллюстрацию ее решения. Запишите ответ двумя способами: в виде двойного неравенства и в виде числового  промежутка. 2. Найдите самостоятельно область определения функций  у=log7х−log3(2х−5) Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции: На оценку «3» 1. 3. 5. 7. log3(12−x) log4(x−22) log1,2(2x+4) log4,4(x−3) На оценку «4» 1. 3. 5. 7. log0,3(x2+x−6) lg(x2+x−2) log7(x2−8x+16) log0,3(2x−x2+3) 9. 11.   (2x2+9x) (x2−7x) На оценку «5» 1. 3. 5. 7. lg2x+1 x−1  n 3x+4 5−x   x−1 8x+1 3x+1 x−4 2. 4. 6. 8. 2. 4. 6. 8. lg❑(x2−4) log0,8(25−x2) log4(x2−1) log6(81−x2) lg(x2−5x+6) lg(x2−4x+3) log5(x2−4x+6) log6,7(4x3−x) 10. 12. (4x2+11x)   (x2−8x) 2. 4. 6. 8. lg2x−3 x+7   32−8x x+1   5−4x 12x+1 3x+1 1−3x 9.   x+1 2x−1 10.   4−5x x−3 Метод основан на определении логарифма. Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение  log5√5x=0 log1 5 Решение. Используя определение логарифма, имеем log5√5x=(1 5)0 , т.е   log5√5x=1 , откуда  √5x=51 .  Следовательно,  5x=25,   x=5 .  Выполни проверку решения этого уравнения log55=log1 5 log5√5∙5=log1 5 log1 5 1=0 Ответ: 5. 2. Решите самостоятельно уравнение  log7(4x−3)=2                                            б)  а)  Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение  log3(3x−8)=2−x Решение. Используем определение логарифма получаем 3x−8=32−x ,  т.е.  3x−8= 9 3x . Делая замену  y=3x ,  y > 0 получим     y−8= 9 ⇔y²−8y−9=0 .  y Решив  квадратное уравнение получим корни  y1=−1  и  y2=9 . Приходим к совокупности уравнений.  Первое   3x=−1  не имеет решений Второе  3x=9 , =2. Делаем проверку получаем: log3(9−8)=2−2  и, так как  log31=0 , то 0=0. Ответ: 2 2. Решите самостоятельно: log4(5x+6)=0                                                 б)  а)   log1 5(7x+ 1 25)=2 Метод, использующий монотонность логарифмической функции Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение:  log4(х−1)=log4(5−х) Решение: Область определения  определяется системой неравенств: {х−1>0, 5−х>0;           {х>1, х<5;               1<х<5                            1                                    5                 х Из уравнения   log4(х−1)=log4(5−х)   следует, что   х−1=5−х ; 2х = 6; х = 3 входит в область определения . Ответ: 3. 2. Решите самостоятельно уравнение  log3(2x−1)=log3(x+3) Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение  log3(x2−6x+17)=2 Указание. 1) Найдите область определения. Для этого надо решить неравенство   x2−6x+17>0 .                   2) Замените  2=log39 .                   3) Решите уравнение  log3(x2−6x+17)=log39                    4) Проверьте, все ли получившиеся значения переменной входят в область  определения.                     5) Запишите ответ. Решить это уравнение можно иначе: Решается уравнение  x2−6x+17=9 , а затем  делается проверка полученных корней этого уравнения. Если при подстановке переменной   ее значения получаются истинное равенство, то это значение  является корнем данного  уравнения. 2. Решите самостоятельно  lg(x2−8x+13)=0 Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение: log4(х+3)−log4(х−1)=2−log48 . Указания:1) Найдите область определения данного уравнения, решив систему неравенств: {х+3>0. х−1>0.                   2) Замените  2=log416  (Действительно,  42=16 ).  По формуле logau−logav=loga u v , заменим   log4(х+3)−log4(х−1) log416 ­ log48 .   и  Получим  следующее уравнение:  log4 логарифмического уравнения к уравнению    16 8  . Перейдите от  х+3 х−1=log4 х+3 х−1=16 8                    3) Решите получившееся уравнение и проверьте, входят ли его корни в область  определения.                     4) Запишите ответ. 2. Решите уравнение lg (х +4) + lg (2х + 3) = lg (1­ 2х). Указания. 1) Найдите область определения данного уравнения, решив систему неравенств: { х+4>0, 1−2х>0;      ⟺       { х>−4, 2х>−3, −2х>−1; 2х+3>0, ⟺      { х>−4, х>−1,5 х<0,5 ,       −1,5<х<0,5.              ­4                  ­1,5                           0,5                   х                   2). Преобразуйте уравнение к виду lg ((х +4) (2х + 3)) = lg (1­ 2х).  Используя   формулу  logau+logav=loga(uv) .                    3). Перейдите от логарифмического уравнения к уравнению (х+4)(2х+3)=(1­2х)   решите получившееся уравнение и проверьте, входят ли его корни в область определения.                     4) Запишите ответ. 2. Решите самостоятельно:  lg(2x)+lg(x+3)=lg(12x−4) Применение основного логарифмического тождества. Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение  log2(9−2x)=10lg(3−x) Решение. Находим ОДЗ, решив систему: {9−2x>0 3−x>0  ⇔  {2x>9 x<3  ⇔ {x0 , получаем 9−y=8 y  ⇔ {y²−9y+8=0 y≠0 , откуда   y1=1  и  y2=8 .  Следовательно,  2x=1 , тогда =0  или  2x=8 , тогда =3. Но =3 – посторонний  корень, так как не входит в ОДЗ. Ответ: 0. 2. Решение самостоятельно:  log2(9−2x)=2log2 (3−x) Применение логарифмирования. Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение:  x1−lgx=0,01 Решение. ОДЗ переменной >0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях  уравнения положительны. Поэтому возможно логарифмирование, причем наиболее  удобное основание 10. Получаем, lg(x1−lgx)=lg0,01   ⇔   (1−lgx)lgx=−2 . Предположим    y=lgx , получим квадратное уравнение   y²−y−2=0 , решаем его и  получаем корни  y1=−1  и  y2=2 . Если  y1=−1 . Тогда  lgx=−1 .  ⟹   x1=10−1 , то  x1=0,1 . Если  y2=2.  Тогда  lgx=2⇒   x2=102 ,  то  x2=100 . Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 0,1; 100. 2. Решите  самостоятельно: xlog3x2+log 3²x−10= 1 x2 Введение нового неизвестного. Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение:  2log2²x+5log2x−3=0 Указания: Найдите область определения  данного уравнения, решив неравенство x>0 log2²x=y²  ,  log2x=y , тогда  Решение.  Введем новую переменную ­обозначьте   уравнение приводится к виду 2y²+5y−3=0 .  Решить  квадратное уравнение (используя формулы для нахождения дискриминанта и  корней уравнения) Получаем следующие корни   y1=1 2  и  y2=−3 . Если    y1=1 2 ,  тогда  log2x=1 2 ,   откуда  x=√x Если   y2=−3 ., тогда   log2x=−3 ,  откуда  x=2−3   или   x=1 8 . Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ. 2. Решите самостоятельно: log3²x−3log3x+2=0 Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение:  lg²x−3lgx=lg(x2)−4 Решение. Находим ОДЗ.  x>0 . Тогда  lg(x2)=2lgx , уравнение принимает вид  lg²x−5lgx+4=0 .  Вводим переменную  y=lgx , получаем уравнение  y2−5y+4=0 .  Решим уравнение получим корни  y1=1   и  y2=4 . Тогда  lgx=1 , т.е.  x1=101   ⇒   x1=10 или lgx=4 , т.е.  x2=104 ,  ⇒    x2=10000 . Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ. 2. Решите самостоятельно: xlog3x2+log 3²x−10= 1 x2 Указание. 1. Прологарифмируй данное уравнение по основанию 3.       2. Перенеси все части уравнения в левую часть и разложи на множители.       3. Используй условие равносильности, реши полученные уравнения.       4. Выполни проверку и запиши ответ. Переход к логарифму по новому основанию. Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнение:  log2(x2−1)=log1 2 (x−1) . Решение.  Найдите ОДЗ этого уравнения. Имеем систему: {x2−1>0 x−1>0   ⇔ {(x−1)(x+1)>0 x−1>0 ⇔ {x>−1 x>1 ⇔ x>1 Преобразуй выражение правой части уравнения к логарифму по основанию 2. Используй  формулу перехода, получим (x−1)= log1 2 log2(x−1) log2 1 2 = log2(x−1) −1 =−log2(x−1) Получим уравнение  log2(x2−1)=−log2(x−1) . Применив свойства логарифмической функции получим x2−1=(x−1)−1   ⇔    x2−1= 1 x−1 .  Преобразования дают   (x2−1)(x−1)=1    ⇔    x2−x2−x+1=1 ,  т.е.  x(x2−x−1)=0 . Решаем его, получим  x1=0 ,        x2=1+√5 2 ,   x3= 1−√5 2 . Проверьте, входят ли его корни в область определения и запишите ответ. 2. Решите самостоятельно  3+2logx+13=2log3(x+1) Указания.1.Найдите ОДЗ.                  2.Перейдите к логарифмам по основанию 3                  3. Введите новую переменную.                  4. Решите полученное уравнение.                  5. Проверьте, входят ли его корни в ОДЗ                  6. Запишите ответ Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических уравнений». 1. Решите уравнения:       log2 2x−log2x−2 log2x+1 =1 Указание. Уравнение приводиться к квадратному. Не забудьте учесть, что: а) >0;   б)  log2+1≠0 .          2.    lg210x+lgx−19=0 Указание.  lg210x=(lg10x)2=(lg10+lgx)2 Ответ.  10−6  ;  103 . log3log2(3x2−x)=0 . 3. Указание. Найдите  log2(3x2−x)  из равенства  Ответ:  −2 3 (¿¿2(3x2−x))=log31 log log3¿ . Задания для самостоятельного решения. Решите уравнения: На оценку «3» 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 log3(12−5x)=2 log2(2x−1)=3 (5 + 2) = 1 2 lg36+lg2 1 2 log2(3x−2)=3 (4x−2)=5lg2−3 log2(7x−4)=2+log213 log5(x2−11x+43) lgx−2lg3=lg7−lg(16−x) log5(12x+7)=log5(2x+5)+1 lg(x+1)=1+lg(x−5) 2lg²x+3=7lgx 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 (3x−1)=¿−3 log0,5¿ log1 2 (2x−1)−log1 2 16=5 log3(4−2x)−log32=2 log3(2x+1)=log313+1 1 3 log3(2x+1)=1 −log7(5−x)=log72−1 lg(2x−51)−lg(22−x)=0 lg(x+4)−lg(x−5)=1 lg(x−2)+lg(x−3)=1−lg5 lg²x−5lgx+6=0 2log2²x−5log2x+2=0 23 25 27 lg²x−lgx−6=0 log2²x−3log2x+2=0 log5²x−3log5x+2=0 24 26 28 lg²x=4−3lgx log3²x+log3x−2=0 log3(x2−6x+17) 29. log23−log2(2−3x)=2−log2(4−3x) На оценку «4» 1 3 5 7 2 log32−log3(x−1)=1+log35 . lg(x+6)−1 2 lg(2x−3)=2−lg25 log2(x−14)=1+ 1 2 log2(3x−26) lg(x−5)−1 2 lg(3x−20)=1−lg5 2 4 6 8 lg(x−9)+lg√2x−1=1 1 2 3lg3√x=lg(3x−4) 2log3(x+1)−2=log3(x−1) На оценку «5» 1 3 5 log2(x2+8)−log2(x−1)=log0,5 1 8 2log6(2+x)+log6(9−6x+x2)=2 log4(x+3)+log4(x−1)=5+log3 1 27 2 4 6 lg²x−3lgx=lgx2−4 2log3(x+1)−2=log3(x−1) lg(3x2+7)−lg(3x−2)=1 Карточка­инструкция по теме: «Решение логарифмических неравенств». 1. Решите неравенство:  log0,1(x2+1)4,5. { x2+1>0 2х+9>0,                  2) Из неравенства   следует, что  x2+1>2х+9  или   x2−2х−8>0 . log0,1(x2+1)0 . D= b2−4ac  = 4+32 =36; х1,2= −b∓√D 2a  =  2∓√36 2 = 2∓6 2 ,      х1 =­2 или    х2 = 4 (Найти корни можно  более рациональным способом:  х1,2 = 1 ∓√1+8  =1 ∓3 ) Дадим геометрическую иллюстрацию решения.               +      +                           ­2                                               4 Как видно из рисунка, решениями неравенства   x2−2х−8>0    служат промежутки (−∞;−2)и(4;∞) .                  4) Проверим, входят ли эти промежутки в область определения  (−4,5:∞) . Первый промежуток входит в область определения не полностью. Из него можно только  взять промежуток (­ 4,5; ­2), а второй промежуток входит в область определения . Ответ:   (−4,5;−2)∪(4;∞) . 2. Решите самостоятельно неравенство: log0,8(2x2+2)>log0,8(7х−1) Карточка­инструкция по теме:  «Решение логарифмических неравенств». 1. Решите неравенство  10x+13 log0,8(3x+4) ≥0 Решение. D +¿ (log0,8)=R¿ ; log0,8t>0 , если 0 < t < 1, 0 < 3 + 4 < 1, - 4 < 3 < - 3, -1 1 3 1. 2. Решите самостоятельно: log0,2(4x+5) 21x+26 ≤0 Карточка­инструкция по теме:  «Решение логарифмических неравенств». 1. Решите неравенство: log0,2(x−3) log0,22 >3 . log0,22<0 , то данное неравенство равносильно Решение. Так как неравенству log0,2(x−3)<3log0,22 , которое равносильно системе { x−3>8 11. x−3>0; > Ответ: (11;∞) . 2. Решите самостоятельно неравенства: 1. log9(5−4x) log0,40,064 <0 . 2. log0,60,216log5(5−2)>0 Карточка­инструкция по теме:  «Решение логарифмических неравенств». 1. Решите неравенство:  5x+4 x−2 >1. log1 2 Решение. Данное неравенство равносильно системе { 5x+4 x−2 >0 5x+4 x−2 < 1 2 ; 5x+4 x−2 >0 ;   < - 0,8 или > 2. 1)                                                                            ­1 1 9                         2 ⇔9x+10 x−2 <0 ; −1 1 92 9 −1 2 4 log2(1−2x)<0 log5(3x−1)<2 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 log5(4x+1)>−1 log0,5(2x)>2 log9(4−3x) >0,5 log0,25(3x−5)>−3 log2(1−2x)>0 lgx+0,5lg163log62+2  2 < 2  7 + 1 1 2 lg81−lgx>lg2 log3(5x−6)0 log2(x2+2x)<3 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 2 4 6 8 (2x+3)>−3 log1 5 log4(7−x)<3 26 –  > 32 3 0,5 +  >  5 (2x−1)≥−2 log1 3   (3−2x)<2 2   > 1 log2(2x+1)>4 log0,5(2x+1)>−2 log7(2x−1)<2 log3 3x−2 x2+1 >0 log0,5 5x+4 x−2 >1 log3 8x−7 x−5 <0 lg(x2−8x+13)>0 9 (x2−5x−6)≥−3 log1 2 10 (x2−5x+7)<0 log1 2 На оценку «5» 1 3 5 log0,24 x2−x x2+1 <0 log0,2(4x+5) 21x+26 ≤0 log9(5−4x) log0,40,0064 >0 2 4 6 log12,5 2x 2x−3 >0 log0,2(x−3) log0,22 >3 log0,60,216∙log3(5−2x)>0 Литература. 1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее  образование (базовый уровень)­М.: Издательский центр «Академия», 2009.­304с. 2. Башмаков М.И. Математика.10 класса: Сборник задач: среднее (полное) общее  образование ­М.: Издательский центр «Академия», 2008.­272с. 3. Колмагоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., Шварцбург С.И..  Алгебра и начало анализа: Учебник для 10­11 кл.общеобразоват. учреждений.­11­е  изд.­М.:Просвещение, 2001.­384с. 4. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому  государственному экзамену и централизованному тестированию по математике.  Ростов н/Д: «Феникс», 2003.­352с. 5. Тырымов А.А. Математика для поступающих в вузы (Способы решения основных   типов задач, предполагаемых на письменных экзаменах. Алгебра и тригонометрия)  часть 1­ Издательство «Учитель», 2000.­80с. Содержание. 1. Введение.                                                                                                               3. 2. Основные теоретические сведения       4 3. Карточки­инструкции по теме: «Область определения логарифмической  функции».                                                                                                              6. 4. Задания для самостоятельного решения.                                                           7 5. Карточки­инструкции по теме: «Решение логарифмических уравнений».    8 6. Задания для самостоятельного решения.                                                           15 7. Карточки­инструкции по теме: «Решение логарифмических неравенств».   17 8. Задания для самостоятельного решения.                                                           20 9. Литература.                                                                                                           22