Логарифмические уравнения

Вычислить: log 3 log 12  6 6 log 48 log 6  2 2  log 36  6 2  log 8  2 3 log 7 4 4  log 49 7 7 2   14

Вычислить: log 25  5 2 1 5 1 5 log 5 log 1 5  ­1  1 log 5  5 log 1  5 1 0 log 25  1 5 ­2

Решить уравнения: log 3 2 x  x  x 1 log 7 lg1000 х = 9 х = 7 х = 3

1.Уравнения, решаемые по определению loglogaab=c, b=c, loglogaab=c, b=c, =b, a>0, aacc =b, a>0, aacc =b, a>0, =b, a>0, aa≠≠1, b>0 1, b>0 aa≠≠1, b>0 1, b>0

Пример: log3(2-x)=2 ОДЗ: 2- x>0 2-x=32 2-x=9 -x=6 x=-6 Ответ: x=-6 x<2

2.Уравнения, решаемые с использованием основных свойств loga(bc) =logab+logac loga(bc) =logab+logac loga(b/c)=logab- logac loga(b/c)=logab- logac logabp=plogab logabp=plogab

Пример: Пример: (x+2)=1 ОДЗ:ОДЗ: x+1>0 x>- x+1>0 x>- хх>>-1-1 loglog22(x+1)+log (x+1)+log22(x+2)=1 11 loglog22(x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2 (x+1)(x+2)=1 x+2>0 x>-2 (x+1)(x+2)=211 (x+1)(x+2)=2 xx22+3x=0 +3x=0 x(x+3)=0 x(x+3)=0 xx11=0 x Ответ: x=0x=0 Ответ: =0 x22=-3(=-3(не уд. ОДЗ не уд. ОДЗ))

3.3.Метод потенцирования Метод потенцирования f(x)>0                                                           f(x)>0 f(x)>0                                                           f(x)>0 loglogaaf(x)=log f(x)=logaag(x) g(x) f(x)=logaag(x) loglogaaf(x)=log g(x) g(x)>0 g(x)>0 g(x)>0 g(x)>0 f(x)=g(x) f(x)=g(x) f(x)=g(x) f(x)=g(x)

Пример: Пример: lg(x-4)+lg(x-6)=lg8 ОДЗ: x-4>0 x>4 x>6 lg(x-4)(x-6)=lg8 x-6>0 x>6 (x-4)(x-6)=8 x2-10x+16=0 x1=8 x2=2 (не уд. ОДЗ) Ответ: x=8

4.4.Метод подстановки Метод подстановки а)Уравнения, сводящиеся к квадратным а)Уравнения, сводящиеся к квадратным Пример11:: Пример ОДЗОДЗ:: x>0 lgx=t, tєєR R x>0 x-3lgx+2=0=0 lglg22x-3lgx+2 пусть lgx=t, t пусть tt22-3t+2=0 -3t+2=0 tt11=1 t =1 t22=2 =2 еслиесли t t11=1=1,, то то если lgx=1 lgx=2 lgx=1 lgx=2 x=10 x=100 x=10 x=100 Ответ: xx11=10, x Ответ: если tt22=2=2, , тото =10, x22=100=100

Пример2: Пример2: lglg22(10x)=5-lgx (10x)=5-lgx ОДЗОДЗ: : x>0x>0 (lg10+lgx)22=5-lgx =5-lgx (lg10+lgx) 1+2lgx+lg22x-5+lgx=0 x-5+lgx=0 1+2lgx+lg lglg22x+3lgx-4=0 x+3lgx-4=0 пусть lgx=t lgx=t пусть tt22+3t-4=0 +3t-4=0 tt11=1=1;; t t22= - 4= - 4 если tt11=1=1, , тото если если tt22= - 4= - 4,то,то если lgx=-4 lgx=1 lgx=-4 lgx=1 x=10 x=0,0001 x=10 x=0,0001 Ответ: x x11=10, Ответ: =10, xx22=0,0001 =0,0001

б)Использование формулы б)Использование формулы loglogaab=b=11/log/logbb loglogaab=b=11/log/logbb aa aa

Пример: Пример: x=4 ОДЗ:ОДЗ: x>0 x>0 x=4 xx≠≠11 9+logxxxx22)log)log2233x=4 3+2)log2233x=4x=4 x+2)log2233x=4 x=4 x=t (2/t+2)t22=4=4 loglogxx(9x(9x22)log)log2233x=4 (log(logxx9+log (2logxx3+2)log (2log (2/log33x+2)log (2/log пусть loglog33x=t (2/t+2)t пусть 2t2t22+2t-4=0 +2t-4=0 tt11=1=1;; t если tt11=1, =1, тото если loglog33x=1x=1;; x x11=3=3; ; xx22=1/9=1/9.. Ответ: xx11=3, x=3, x22=1/9=1/9 Ответ: если t22=-2 =-2 если tt22==-2, -2, то то loglog33x=-2x=-2..

5.Метод приведения к 5.Метод приведения к одному основанию одному основанию b/logccaa b=logссb/log loglogaab=log b=logссb/log b/logccaa loglogaab=log a>0,b>0, c>0 a≠≠1, c 1, c a>0,b>0, c>0 a a>0,b>0, c>0 a≠≠1, c 1, c a>0,b>0, c>0 a ≠≠11 ≠≠11

Пример: Пример: x+log88x=11 x+log44x+log x=11 ОДЗ:ОДЗ:x>0x>0 x+log2222x+log x+log2233x=11 x=11 x+1/2log22x+1/3log x+1/3log22x=11 x=11 loglog22x+log loglog22x+log loglog22x+1/2log 11/6log22x=11 x=11 11/6log loglog22x=6x=6 x=2x=266 x=64 x=64 Ответ: : x=64 x=64 Ответ

6.6.Метод логарифмирования Метод логарифмирования loglogaabbрр==ррloglogaabb loglogaabbрр==ррloglogaabb b>0; a>0; b>0; a>0; b>0; a>0; b>0; a>0; aa≠≠11 aa≠≠11

Пример: Пример: (lgx+5)/3 =10=105+lgx (lgx+5)/3==lg10 5+lgx ОДЗОДЗ::x>0x>0 xx (lgx+5)/3 прологарифмируем уравнение по основанию 10 прологарифмируем уравнение по основанию 10 lgxlgx(lgx+5)/3 lg105+lgx 5+lgx (((lgx+5)/3 (lgx+5)/3))lgx=(5+lgx)lg10 lgx=(5+lgx)lg10 1/3(lgx+5)lgx=5+lgx|*|*33 1/3(lgx+5)lgx=5+lgx (lgx+5)lgx=15+3lgx (lgx+5)lgx=15+3lgx lglg22x+5lgx=15+3lgx x+5lgx=15+3lgx lglg22x+2lgx-15=0 x+2lgx-15=0 пусть lgx=t lgx=t пусть tt22+2t-15=0 +2t-15=0 tt11=-5=-5;; t t22=3=3 если tt11=-5, =-5, то то lgx=-5 если xx22=1000 =0,00001 xx11=0,00001 =1000 0,00001, xx22=1000 Ответ: xx11==0,00001, Ответ: lgx=-5 если если tt22==3, то 3, то lgx=3 lgx=3 =1000

7.7.Использование специальной Использование специальной формулы формулы   a a loglogссb b = b = b loglogссaa   a a loglogссb b = b = b loglogссaa b>0;b≠≠1 a>0; 1 a>0; b>0;b b>0;b≠≠1 a>0; 1 a>0; b>0;b сс>0>0;; с≠1 с≠1 сс>0>0;; с≠1 с≠1 aa≠≠11;; aa≠≠11;;

Пример: Пример: =64 ОДЗОДЗ:: x>0 x>0 33xxloglog5522+2+2loglog55xx=64 3*23*2loglog55xx+2+2loglog55xx=64=64 4*24*2loglog55xx=64 =64 |:4|:4 22loglog55xx=16=16 22loglog55xx=2=244 loglog55x=4x=4 x=5x=544 x=625 x=625 Ответ: x=625 x=625 Ответ:

8.8.Использование свойств монотонности Использование свойств монотонности функции функции ОДЗ: x> -1,2 x> -1,2 (x+1)+log44(5x+6)=3 (5x+6)=3 ОДЗ: (x+1) -- возрастающая функция возрастающая функция (5x+6)- возрастающая функция - возрастающая функция Пример: Пример: loglog33(x+1)+log y= log33(x+1) y= log y= log44(5x+6) y= log 3 - 3 - const const Сумма двух возрастающих функций равна Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции. возрастающей функции. Используем утверждение: если возр. функция : если возр. функция Используем утверждение равна const равна уравнение уравнение находится с находится с помощью метода подбора. помощью метода подбора. Ответ: x=2x=2 Ответ: const или убыв. функции, тогда или убыв. функции, тогда корень, , корень имеет имеет один один который который

(17-||sin0,5 sin0,5ππxx||)=)=√√2x+15-x 2x+15-x22 sin0,5ππxx|| ≥ ≥ 1 1 ,то,то sin0,5ππxx||) ) ≥≥loglog22(17-1)=log 9.9.Использование свойств Использование свойств ограниченности функции ограниченности функции Пример: Пример: loglog22(17- 1)рассмотрим левую часть 1)рассмотрим левую часть т.к. 0≤ |sin0,5 т.к. 0≤ | (17-||sin0,5 loglog22(17- sin0,5ππxx|| ≥ 4≥ 4 0≤ |0≤ |sin0,5 x=1 -- достигается равенство при x=1 достигается равенство при 2)рассмотрим правую часть 2)рассмотрим правую часть √√2x+15-x 2x+15-x22= √16-( √√2x+15-x 2x+15-x22≤≤44 при x=1 – при Ответ: x=1x=1 Ответ: x=1 – достигается равенство достигается равенство (17-1)=log2216=4 16=4 т.е.т.е. = √16-(xx+1) ≤ √ +1) ≤ √16=4=16-(x-1) 16=4=16-(x-1)22

Однородные уравнения II II 10.10.Однородные уравнения степени степени +bxy+cy22=0=0|:|:yy22 axax22+bxy+cy +bxy+cy22=0=0|:|:yy22 axax22+bxy+cy ≠≠00 ≠≠00 a(x/y)22+b(x/y) +b(x/y) a(x/y) a(x/y)22+b(x/y) +b(x/y) a(x/y) +c=0+c=0 +c=0+c=0 atat22+bt+c=0 +bt+c=0 atat22+bt+c=0 +bt+c=0

(2x+1) (x+1)/log22(2x+1)) (2x+1))2-2- (x+1)/log2222(2x+1)+1=0 (2x+1)log22(x+1)/log (2x+1)+1=0 Пример: Пример: 3log3log2222(x+1)-4log Делим на loglog2222(2x+1) Делим на 3(log22(x+1)/log 3(log 4log4log22(2x+1)log t t 3t3t22-4t+1=0 -4t+1=0 tt11=1 t=1 t22=1/3=1/3 если если tt11=1 =1 то,то, если (2x+1)=1 loglog22(x+1)/log (2x+1)=1/3/3 loglog22(x+1)/log loglog22(x+1)=log (2x+1) 3 x+1=2x+1 x+1=2x+1 x=0 x(x22+3x+1)=0 +3x+1)=0 x=0 x(x xx11=0 x=0 x22=(-3+=(-3+√√5)/2 x Ответ: xx11=0, x=0, x22= =(-3+ не уд. не уд. Ответ: (x+1)/log22(2x+1)=1 (x+1)/log22(2x+1)=1 (x+1)=log22(2x+1) loglog22(x+1) 3loglog22(x+1) если tt22=1/3 =1/3 то,то, = =(-3+√√5)/2 5)/2 (x+1)-4log22(2x+1)log (2x+1)log22(x+1)+log (x+1)+log2222(2x+1)=0 (2x+1)=0 ОДЗ:ОДЗ: x> x>1/2 1/2 (x+1)==loglog22(2x+1) (2x+1) (x+1)33=2x+1 =2x+1 5)/2 x33=(-3-=(-3-√√5)/25)/2

ОДЗ: x>0, x>0, x ОДЗ: x≠ ≠ 11 =logxx √√xxxx x =logxx ((xx0,50,5))xx 11.11.Уравнения, содержащие Уравнения, содержащие неизвестное в основании и неизвестное в основании и показателе степени показателе степени Пример: Пример: xx√√xx==√√xxx loglogxx x x√√xx =log loglogxx x xxx0,50,5 =log √√xlogxlogxx x x=0,5=0,5loglogxxxx √√x=0,5x x=0,5x √√x(1-0,5 x(1-0,5√√x)=0x)=0 √√x=0 ( x=0 (не уд.ОДЗ √x=x=22 √ не уд.ОДЗ) (1-0,5 ) (1-0,5√√x)=0x)=0 x=4x=4 Ответ: x=4x=4 Ответ:

12.Функционально - графический метод (х – 1) = loglog22xx Строим графики функций у = (х – 1) и Строим графики функций у = у = loglog22xx.. Ответ: х = 1, х=2. у 0 1 2 1 х

1.Решите уравнение. 1.Решите уравнение. а) б) log  x log5 4( 2 ) 5(  x ) log2 3 5 5 2. Преобразуйте логарифмическое выражение. а) б) log  x 1) 2( log 6 ( х )4 2 1 4 2. Преобразуйте логарифмическое выражение. а) log б) log 27 log 3  5 5 10 1 10 а) б) log log 216  12 5,1 12 42 log22 7 3. Водолазный колокол, содержащий в начальный   момент времени моля воздуха объемом л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж),где -постоянная, а - температура воздуха.. Какой объем в литрах станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

1. а) -21 б) -4 1.а) 4 б) 20 2. а) -0,5 б) 3 2. а) 6 б) 2 3. 2

Решить самостоятельно • lq(х²-2х)=lg30-1; • lg(x²+2x-3)=lg(6X-2); • log3X*lоg2х =4 log32; •log3X+log9X+log27X=1/12; •log5(X-l0)-log5(X+2)=-1; •3+ 2logX+13=2log3(X+1).