"Логикалық есептердің кейбір түрлері және оларды шығару жолдары".

Талдықорған қаласының №16 орта мектеп гимназиясының математика пәнінің мұғалімі Сапарғалиев Марат Тілеуліұлы. Тақырыбы: Логикалық есептердің кейбір түрлері және оларды шығару жолдары. Адамның ерекше қасиеттерінің бірі   – есепті дұрыс шеше білу. Менің мақсатым – әр түрлі   қиындықтағы есептерді дұрыс шығара білуге үйрену. Біздің заманымыз ғылым мен техниканың қарқынды дамуымен ерекшеленеді. Сондықтан     әрбір     мектеп   оқушысының   алдында   тұрған   міндеті   –   қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін түсіне білу, логикалық есептерді шеше   білу.   Математикалық   логиканы   білмейінше,   оны   ойдағыдай   меңгеру қиын.   Өйткені   бүгінгі   күні   ғылым   мен   техниканың   қарыштап   дамуы   ол адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылуда.  Арнайы   формуланы   қолдануға   келмейтін,   белгілі   бір   алгоритмді қолданып шығаруға болмайтын, әрқайсысына өзінше талдау жасауды қажет ететін есептерді стандарттық емес логикалық есептер дейміз. Логикалық   есептердің   саны   да,   шығару   да   тәсілдері   де   алуан   түрлі. Математика ғылымында логикалық есептер бірнеше түрге бөлінеді,  соларға жеке­жеке   тоқталайын.   Стандартты   емес   логикалық   есептерді   жекелей тақырыптар бойынша топтап қарастырайық.  1) Граф әдісі. (Сәйкес нұсқаны табу есептері) Мұндай   есептерде   оқушыдан   әр   затқа   сәйкес   затты,   бұйымды   тауып беру талап етіледі. Есепті шешуді бағандар әдісімен немесе кесте көмегімен орындаған оңай. Кесте әдісін қолданғанда бір жиынның элементтерін бағандар етіп,  екінші   жиын   элементтерін   жолдар   етіп  орналастырамыз.  Содан   кейін есеп шарты бойынша әр жеке баған мен әр жолдың сәйкес не сәйкес еместігін «+» және «­» таңбаларымен белгілеуді орындаймыз. 1­Есеп:  Төрт спортшы:  Әлия, Ғалия, Мадина,  Динара  гимнастикадан ­өткен жарыста алдыңғы 4 орынды алды, бірақ олардың кез келген екеуі бұл орынды бөліскен жоқ.  Кім нешінші орын алды?­ деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді.  а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ б) Мадина – ІІ, Динара – ІV.  Жанкүйерлердің   әрқайсысы   бір   рет   қателескенін   ескеріп,   әр спортшының қандай орын алғанын табу керек.  Шешуі: Аты Әлия Мадина Динара Ғалия І­орын ІІ­орын ІІІ­орын ІV­орын + ­ ­ ­ ­ + ­ ­ ­ ­ + ­ ­ ­ ­ +                                                      Жауабы: Әлия – І­орын                                                                    Мадина – ІІ­орын                                                                     Динара – ІІІ­орын                                                                     Ғалия – ІV­орын 2­Есеп:  Үш адам сөйесіп тұр: Ақбаев, Қарабаев, Сарыбаев. Олардың қара шаштысы Ақбаевқа айтады. «Біреуіміздің шашымыз ақ, екіншінің шашы қара,   үшіншісінің   шашы   сары,   бірақ   ешкімнің   шашының   түсі   фамилиясына сәйкес келмейді». Олардың әрқайсысының шаштарының түстері қандай?  Шешуі:  1­тәсіл (логикалық пайымдау арқылы) Қара шашты адам Ақбаевпен сөйлескендіктен, Ақбаев қара шашты да болмайды, ақ шашты да болмайды  (себебі шашының түсі фамилясына сәйкес келмеу керек). Олай болса Ақбаев – сары шашты. Онда Қарабаев – ақ шашты, ал Сарыбаев – қара шашты болады.  2­тәсіл. (кестенің көмегімен )  алдымен есептің шарты бойынша,  кестені салайық  Тегі Ақбаев Сары + Қара ­ Ақ ­ Сарыбаев Қарабаев ­ ­ + ­ ­ +                                         Жауабы: Ақбаев – сары шашты                                                       Қарабаев – ақ шашты                                                       Сарыбаев – қара шашты 3­Есеп:  Бір аулада төрт дос тұрады. Нұрлан және жүргізуші Саяттан үлкен; Асан мен құрылысшы бокспен шұғылданады; электрик – достардың ең кішісі; әр кеште Ринат пен заңгер екеуі Саят пен электрикке қарсы домино ойнайды. Әр достың мамандығын анықтаңдар. Шешуі: (кестенің көмегімен) Нұрлан Саят Асан Ринат Жүргізуші Құрылысшы Электрик Заңгер ­ ­ ­ + ­ + ­ ­ ­ ­ + ­ + ­ ­ ­                                            Жауабы: Нұрлан – жүргізуші                                                          Саят – құрылысшы                                                          Асан – электрик                                                          Ринат – заңгер.    4­Есеп: Бөтелкеде, стаканда, құмырада, банкада сүт, лимонад, квас, су бар. Су мен сүт бөтелкеде емес.  Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас құйылған ыдыстың арасында. Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан банка мен сүт құйылған ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа құйылған. Шешуі: Бөтелке Стакан Құмыра Банка Сүт Лимонад Квас ­ ­ + ­ + ­ ­ ­ ­ ­ ­ + Су ­ + ­ ­ Жауабы: Сүт құмыраға,  лимонад бөтелкеге, квас банкаға, су стаканға құйылған. 2) Серілер мен өтірікшілер туралы есептер «Серілер   мен   өтірікшілерге»   берілетін   есептер   өте   көп   кездесетін қызықты есептердің түріне жатады. Сері тек қана ақиқат, яғни шын сөйлейтін адам, ал өтірікші ұдайы тек қана жалған, яғни өтірік сөйлейтін адам. Мұндай есептерді   шешу   кезінде   есеп   шартында   берілетін   адамдар   арасындағы диалогтан кімнің сері, кімнің өтірікші екендігін анықтау талап етіледі. 5­Есеп: Аралда тұратын үш тұрғын бақ ішінде өзара сөйлесіп тұрыпты: (А, В және С). Жандарынан өтіп бара жатқан бөгде жерлік адам А­дан: "Сіз өтірікшісіз бе, әлде серісіз бе?"­деп сұрапты. Ол естілер­естілмес міңгірлеп анықтап   жауабын   бермепті   де,   бөгде   жерлік   адам   оның   жауабын   түсіне алмапты.  Сонда   бөгде   жерлік   адам   В­дан::  "А   не   деп  жауап  берді?"  –деп сұрапты. В оған: "A мен өтірікшімін ", ­ деп айтты депті. Сол кезде аралдың үшінші тұрғыны С сөзге араласып: "В­ға сенбеңіз! Ол өтірік айтып тұр!"­депті. Арал тұрғындары В мен С­ның қайсысы сері, қайсысы өтірікші? Шешуі:   Сері   де,   өтірікші   де   "Мен   өтірікшімін"   деп   айта   алмайды (мұндай сөзді сері айтса, ол алдаған болар еді, ал өтірікші шын сөйлеген болар еді). Сондықтан да, А кім болса да өзі туралы «мен өтірікшімін» дей алмас еді. Яғни, В  "A мен өтірікшімін ", ­ деді деп өтірік айтып тұр. Бұдан В­ның өтірікші екендігін білеміз. Ал, С болса "В­ға сенбеңіз! Ол өтірік айтып тұр!"­ дей отырып шындықты айтып тұрғандықтан ол – сері. Сонымен, В – өтірікші, С – сері. (Біз А­ның кім екендігін айта алмаймыз, өйткені оның сөздерін ести алмады.)                                                  Жауабы: В – өтірікші, С – сері. 6­Есеп:  Дөңгелек столда тек өтірікшілер мен серілер отыр. Олардың әрбірі мынадай екі сөзді айтқан: 1. «Менің оң жағымда өтірікші отыр». 2. «Менің сол жағымда өтірікші отыр». Столда 2003 адам отырған болуы мүмкін бе?  Шешуі:   Столда   отырғандардың   барлығы   да   өздерінің   екі   жағындағы көршілерінің өтірікшілер екендіктерін айтқан. Онда әрбір серінің екі жағында шынымен   де   екі   өтірікші   отыр.   Ал,   өтірікшілер   жалған   айтып   отыр, шындығында әрбір өтірікшінің екі жағында серілер отыр. Яғни олар столды мына түрде отыр: (С – сері, Ө – өтірікші):   ……… С Ө С Ө С Ө Ө С Бұдан біз столда отырғандар саны жұп деп айта аламыз. Өйткені егер тақ санды   адамдар   отырған   болса,   онда   2   сері   қатарынан   немесе   2   өтірікші қатарынан отырған болып шығар еді. Ал, бұл мүмкін емес.                                                                  Жауабы: мүмкін емес. 7­Есеп:  Мұхиттағы   аралда   серілер   мен   өтірікшілер   ғана   тұрады. Аралдың үш тұрғыны Ах, Ох және Ух үшеуі жолығыпты. Ах басқа екеуіне «Біздің барлығымыз өтірікшілерміз» депті. Ох оған: «Біздің біреуіміз сері» деп   жауап   беріпті.   Ух   үндемепті.   Кімнің   сері,   кімнің   өтірікші   екендігін анықтаңдар.   Шешуі: Ах­тың «Біздің барлығымыз өтірікшілерміз» деген сөзінен біз оның сері еместігін біле аламыз. Өйткені егер ол сері десек, онда ол өтірік айтқан болар еді. Сондықтан Ах – өтірікші. Яғни оның «Біздің барлығымыз өтірікшілерміз» деген сөзі жалған. Олардың арасында сері бар. Егер Ох та жалған айтты десек, онда Ух қана сері болғаны. Бірақ та онда Ох шын айтқан болар еді. Қарама­қайшылыққа келеді екенбіз Сондықтан да Ох шын айтқан, яғни ол – сері. Ал, ол сері болса, онда оның «Біздің біреуіміз сері» деген сөзі шындық. Бұдан Ух та өтірікші деген қорытынды жасай аламыз.                                               Жауабы: Ах – өтірікші, Ох – сері, Ух – өтірікші.            8­Есеп:  Мұхиттағы   аралда   серілер   мен   өтірікшілер   ғана   тұрады. Олардың үшеуі екі­екі сөйлемнен айтқан: Біріншісі: «Аралда үштен кем емес адам тұрады»                 «Аралдың барлық тұрғындары ­ өтірікшілер» Екіншісі: «Аралда төрттен кем емес адам тұрады»                 «Аралдың барлық тұрғындары өтірікшілер емес» Үшіншісі: «Аралда бес адам тұрады»                 «Аралда үштен кем емес өтірікші тұрады» Аралда неше адам тұрады және олардың нешеуі өтірікшілер? Шешуі: Жору жасайық. Бірінші тұрғын сері делік. Онда ол шын айтып тұр. Аралда тек өтірікшілер ғана тұрады деген сөз. Бұл есеп шартына қайшы. Яғни бірінші тұрғын – өтірікші. Оның айтқанына қарап біз аралда үштен көп тұрғын тұратынын айта аламыз. Яғни тұрғындар саны дәл төртке тең. Бұдан біз үшінші тұрғынның өтірікші екендігін айта аламыз. Оның сөзінен аралда үштен кем өтірікші тұратындығын анықтаймыз, яғни өтірікшілер саны ­2..                       Жауабы: аралда 4 адам тұрады, олардың екеуі өтірікшілер. 3) Жасқа берілетін есептер. Атасы мен немересі, әкесі мен баласының жасының анықтау есептері де өте қызықты. 9­Есеп. Әкесі мен баласының жастарын қоссақ 58 шығады. Төрт жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасынан 3 есе үлкен болады. Қазіргі күні әкесі неше жаста? Шешуі: Мейлі х (жас)­ әкесінің қазірдегі жасы болсын. Онда:              58­х    баласының қазіргі жасы болады. Төрт жылдан кейін әкесінің жасы­ х+4 болады ал баласының жасы    58­х+4=62­х болады. Теңдеу құрсақ:   х+4=3(62­х)   х+4=186­3х   4х=186­4   4х=182  х=45,5                               Жауабы: 45,5 жаста (яғни 45 жас 6 ай болған әкесіне). 10­Есеп.  Ағайынды   екі   адамның   жастарының   қосындысы   30­ға   тең. 1 Олардың  әрқайсысының  жастарын табу керек, егер біреуінің жастарының   2 ­ 1 і екіншісінің жасының  3  ­ не тең болса.  Шешуі: Белгілеу енгіземіз: 1 І сан ­  2 х 1 ІІ сан  ­  3 х 1 х +  2 х = 30   1 Теңдеу құрсақ:  3 2х + 3х = 180 5х = 180 х = 36  1 І сан ­  2  * 36 = 18 1 ІІ сан ­  3  * 36 = 12                                                     Жауабы:  12 жас, 18 жас 11­Есеп.  Бір үйде атасы, әкесі және баласы тұрады екен. Үйге келген қонақ   олардан   жастарын   сұрапты.   Сонда   атасы   бәрінің   орнына   «біздің барлығымызға   100   жас»   деп   жауап   беріпті.   Сонда   қонақ   түсінбей   әкесіне бұрылып: «Айтыңызшы, сіздің жасыңыз нешеде?» деп сұрапты. Сонда әкесі: «Бізге баламыз екеуімізге 45 жас, ал балам менен 25 жасқа кіші» деп жауап беріпті. Солайша қонақ олардың ешбірінің жастарының нешеде екенін біле алмай қайтыпты. Сіз тауып бере аласыз ба? Шешуі:  Барлығының жастарының қосындысы: (Атасы; Әкесі; Баласы) ­ 100.  Әкесі + баласы =45 100­45=55 (Атасы) Әкесі баласынан 25 жасқа үлкен. Яғни баласы әкесі 25 жаста болғанда өмірге   келген.   45­25=20.   Қалған     20   жылды   әкесі   мен   баласы   бірге   өмір сүрген.   Сондықтан   20­ны   екіге   бөлеміз.   Сонда   баласының   жасы   10   жаста. Әкесінің жасы 25+10=35 жаста. Жауабы: Атасы 55 жаста,  әкесі 35 жаста, баласы 10 жаста. 12­Есеп. Анасы 47 жаста, ал ұлдарына сәйкесінше 10, 12 және 15 жас. Ұлдарының жастарының қосындысы мен анасының жасы қашан теңеседі? Шешуі:  Анасының қазіргі жасы ұлдарының жастарының қосындысынан 47 – (10+12+15)= 47­37 = 10 артық. Әрбір бір жылдан кейін анасына 1 жас қоссақ, балаларына жалпы 3 жас қосып отырамыз. Яғни бұрынғы кемшілікті 2­ ге азайтып отырады. Сонда әр бір жыл сайын қалысты 2­ге азайтып отырса, онда 10:2=5 жылдан кейін теңеседі: 47+5= (15+17+20).                                                                           Жауабы: 5 жылдан кейін. 4) Полимино есептері Біздің көбіміз "домино" ойынымен таныспыз. Бұл ойынды екі шаршыдан тұратын тастармен ойнайды. Әрбір тастың бір шаршысында 0­ден 6­ға дейін нүктелер болады.  1953   жылы   АҚШ   математик­инженері,   Оңтүстік   Калифорния университетінің   профессоры   Соломон   Голомб   математикалық   «полимино» ойынын  ойлап тапқан. Кейін ресей бағдарламалаушысы Алексей  Пажитнов осы ойын негізінде әйгілі «Тетрис» атты компьютерлік  ойынын құраған.  Соломон   Голомб   ойлап   тапқан   полимино   ойынының   мағынасы   мынадай: Полимино – бұл белгілі шаршылар санының бір объектіге бірігуінен құралған геометриялық   фигура.  Полимино   ойынына   негізделген   көптеген   логикалық басқатырғыш есептер бар. Біз полиминоның бірнеше мысалдарын көрсетейік:   Мономино   Домино   Тримино    Тетромино Пентомино   Гексомино                    Мұндағы мономино тек бір ғана шаршы, ал доминоны тек бір ғана түрде құрай аламыз. Тура осылайша троминоны екі түрде құрап бере аламыз:          Енді полимино есептеріне тоқталайық. 13­Есеп. Тетроминолардың барлық мүмкін 5 түрін табыңдар. Шешуі:  Біз төрт шаршыдан тұратын барлық мүмкін 5 фигураны  көрсетуіміз керек. Есепті шешуді тримино фигурасына бір шаршыны қосу жолымен  шешейік. Тек қана бір фигураны қайталамау керектігін үнемі есте ұстауымыз  керек. Біз тік үштік троминоны алайық және оған бір шаршыны әр түрлі  жолдармен қосайық: Сонымен, әзірше біз әр түрлі 3 тетрамино алдық.  Бұдан басқа жолдармен тік триминоға шаршы қосатын болсақ, онда осы  үшеуінің біреуі қайталанған болып табылады.  Енді бұрыштық триминоны алайық та, оған бір шаршы қосу жолдарын  қарастырайық. Бұл арқылы біз тағы да төрт тетромино  ала алады екенбіз: Бірақ та, бұлардың екіншісі мен төртіншісі бізде алдында табылған екеулерін  қайталап тұр. Сондықтан біз жаңа 2 тетромино алдық деп есептейміз.  Нәтижесінде барлығы бес тетромино тауып көрсете алдық: Жауабы:   14­Есеп.  Суретте   берілген   фигураларды   пентамино   фигураларымен құрап беріңдер. Әр есепте неше шешімнен бар?        Жауабы: 5) Торкөз дәптерде фигураларды кесуге берілетін есептер. Бізге   шаршы   торларға   бөлінген   фигураны   қандай   да   бір   шартпен бөліктерге бөлу сұралады. 15­Есеп. Берілген фигураны торлардың шекаралары бойымен теңдей: а) екі бөлікке; ә) үш бөлікке бөлуді орындаңдар.  Жауабы: а)       ә) 16­Есеп.  Суретте   бейнеленген   фигураны   торлардың   сызықтары бойларымен   теңдей   етіп   екі   бөлікке   бөліңдер.   Бөліктердің   әрбірінде   бір дөңгелектен болатын болсын.                                      Жауабы:  17­Есеп. Ортасы тесік, өлшемі 5×5 шаршыны теңдей екі бөлікке бөлудің екі   әдісін   көрсетіңдер.   Шаршы   тең   екіге   бөліп   кесуді   түрлі   әдістермен орындалды деп санауға болады, егер де шаршыны бір әдіспен кесудегі алынған фигуралар   мен   екінші   кесудегі   алынған   фигуралар   бір­бірінен   формалары бойынша да, бөліктерінің өлшемдері бойынша да ерекшеленетін болса. Жауабы: 6) Санды есептер Санды есептер басқатырғыш ретінде беріледі. Мұндай есептерді шешу асығыстық жасамай, біраз ойлануды қажет етеді. Санды есептер мектептің математика   оқулықтарында   да   беріледі,   бірақ   та   басқа   есептермен   ара салмағы өте аз.  18­Есеп. Қосындысын тап: 5+10+15+20+25+ +100.           Шешуі:  Алдымен,   біз   тізбек   мүшелерінің   жалпы   санының   жұп   не тақтығын   анықтап  аламыз.  Егер  жұп  болса,  онда  Гаусс  әдісін  қолданғанда қосындысының мәні 105 болатын сандардың 10 жұбы пайда болады. 5+10+15+20+...+100= (5+100)+(10+95)+(15+90)+…+(50+55)=105∙10=1050. Жауабы: 1050. Енді тізбек мүшелерінің сандары тақ болатын дәл осындай есепке мысал  қарастырайық: 19­Есеп. Қосындыны табыңдар: 1+2+3+…+2013. Шешуі:  Тізбек   мүшелерінің   жалпы   саны   тақ.  Бұл   жағдайда   егер   біз соңғы санды бөлек қалдыра тұрып, тізбектің қалған мүшелеріне Гаусс әдісін қолдансақ  қосындысының мәні 2013 болатын болатын сандардың 1006 жұбы пайда болады. 1+2+3+...+2013=(1+2012)+(2+2011)+(3+2010)+...(1006+1007)+2013=  2013∙1006+2013=2013∙1007=2027091. 20­Есеп. 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙ ∙∙∙ ∙99∙100 саны неше нөлмен аяқталады? Шешуі: 5 цифрын жұп санға көбейткенде санның соңғы цифры нөлмен аяқталады. Сол үшін көбейтіндідегі бестіктердің санын анықтау керек. Әр бесінші сан 5­ке бөлінетіндіктен 100­ді 5­ке бөлгенде 20 бестік, ал 25, 50, 75, 100 сандарында 2 бестік, барлығы 24 бестік болады. Ол сан 24 нөлмен аяқталады.                                                                                                                  Жауабы: 24 нөл. 21­Есеп. 1­ден 1000 000 аралығындағы барлық натурал сандардың жазылуында қолданылатын цифрлардың қосындысы нешеге тең? Жауабыңды негізде. Шешуі: 1­ден бастап 999 998 аралығындағы сандарды (1;999 998), (2;999 997), ... , (142 375; 857 624) және т.с.с етіп жұптағанда, әрқайсысында цифрларының қосындысы 54 болатын 499 999 сандар жұбы пайда болады. 999 999 бен 1 000 000­ды есептегенде, нәтижесінде: 500 000∙54 +1=27 000 001 болады.                                                                                                   Жауабы: 27 000 001. 22­Есеп. Көбейтіндіні есепте: (100­12)∙(100­22)∙(100­32)∙ ∙∙∙ ∙(100­252). Шешуі: Көбейткіштердің арасында 100­102 =0 саны болғандықтан, көбейтіндінің мәні 0­ге тең.                                                                                                        Жауабы: 0. 7) Логикалық есептердің математикалық олимпиадаларда берілуі.  23­Есеп. Көбейтіндіні есепте: (102­12) (102­22) (102 ­32) ... (102­252) ? Шешуі: (102­12) (102­22) (102 ­32) ... (102­252) =0 Өткені көбейткіштердің арасында (102­102) мүшесі бар.                                                                                     Жауабы: 0 24­Есеп. Есепте: 1  10 11  1  11 12  1  12  1  13 14  1  14 15  1  15 16 12  1  17  1  18  1  18 19 17 16  1  20 19  1 10  1 11  1 11  1 12  1 12  1 13  1 13  1 14  1 14  1 15  1 15  1 16  1 16  1 17  1 17  1 18  1 18  1 19 ­  1 19  1 20  1 20 1  10 1 20   12 20  1 20 1 Жауабы:  20 8) Құюға берілетін есептер     Мұндай есептердің жалпы ортақ шарттарында көп жағдайларда белгілі бір сыйымдылықтардағы ыдыстар көмегімен белгілі бір айтылатын сұйықтық мөлшерін құйып алу талап етіледі. Есепті шығару барысында біз бір ыдыстан екінші ыдысқа ауыстырып құюлар орындау арқылы нәтижеге жетуіміз керек. «Құюға   берілетін   есептерді»   шешудің   тиімді   жолы   –   қимылдардың дұрыс тізбегін қолдануда жатыр. Көп жағдайда біз мұндай есептерді шешу үшін де кесте толтырсақ ыңғайлы болады. Көп есептерді екі тәсілдің бірімен бастаған дұрыс:                I. құюды үлкен ыдыстан бастау;                II. құюды кіші ыдыстан бастау;. Бұл тәсілдердің қайсысы тиімді екендігі есептің шартынан тәуелді. «Құюға берілетін есептерді» шешуге бірнеше мысалдар қарастырайық. 25­Есеп. Губка Бобқа су құбырынан 6 литр су құйып алу қажет. Бірақ оның тек 5­литрлік және 7­литрлік ыдыстары ғана бар. Ол қалай құйып ала алады? (Ыдыстан суды төгіп тастауға болады).           Шешуі: Кестемен көрсетейік: Қимыл реті 7 л 5 л 1 7 0 2 2 5 3 2 0 4 0 2 5 7 2 6 4 5 7 4 0 8 0 4 9 7 4 10 6 5 26­Есеп.  Үлкен бөшкеде су толып тұр. 9 литрлік және 4 литрлік екі ыдыстың  көмегімен  6 литр  суды  құйып  алыңдар. (Суды  қайтадан   бөшкеге құюға болады).      Шешуі: Кесте салайық: Қимыл реті 9 л 4 л 1 0 0 2 9 0 3 5 4 4 5 0 5 1 4 6 1 0 7 0 1 8 9 1 9 6 4 27­Есеп.  («Пуассон   есебі»).   Біреуде   он   екі   пинттік   ыдыста   алма шырыны бар. Ол оның жартысын біреуге сыйлағысы келеді, бірақ та оның алты пинттік ыдысы жоқ. Оның бос 8 пинттік және 5 пинттік екі ыдысы ғана бар. 8 пинттік ыдысқа қандай жолмен 6 пинт шырынды құйып бере аламыз? Шешуі:  Қимыл реті 12 пинттік 8­ пинттік 5­ пинттік 1 12 0 0 2 4 8 0 3 4 3 5 4 9 3 0 5 9 0 3 6 1 8 3 7 1 6 5 8 6 6 0 9) Салмақ өлшеуге берілетін есептер. «Салмақ   өлшеуге   берілетін   есептер»   таразының   және   гірлердің көмегімен белгілі бір салмақтағы затты өлшеп алуға беріледі. 28­Есеп.  Екі   табақшалы   таразы   мен   екі   гір   берілген:   10   және   2 килограммдық. Олардың көмегімен 3 кг өрікті қалай өлшеп алуға болады? Жауабы: Алдымен 2 кг өрікті өлшейміз. Содан кейін осы 2 кг өрікті таразының екі табақшасына бөліп салып теңестіріп, біз 1 кг өрікті аламыз. Бізде  1  кг   өрік   өлшенген   және   2  кг   гір   бар.   Енді   біз   кез   келген   қажетті салмақтағы өрікті өлшеп ала аламыз. Соның ішінде 3 кг өрікті де. Яғни 10 кг гір тіпті қолданылмайды да. 29­Есеп.  Салмақтары   әр   түрлі  68  монета   берілген. 100  мәрте   өлшеу арқылы ең жеңіл және ең ауыр монетаны қалай таба аламыз? Жауабы:   Әр   екі   монетаны   салыстырып   өлшеуді   орындаймыз. Жеңілдерін бір  бөлек, ауырларын бір бөлек жинаймыз. Сонда бізде 34 өлшеу орындалған   болады.   Ауыр   монеталар   жиынына   мүлде   енді   тиіспейміз. Жеңілдері жиналған 34 монетадан екеуін салыстырып өлшейміз де, жеңілін келесімен өлшеп салыстырамыз. Яғни әр екеудің жеңілін келесі монетамен өлшеп салыстырамыз. Осылайштак 33 рет өлшеу орындаймыз  да ең жеңіл монетаны анықтаймыз. Енді ауырлар жиынынан ауыр монетаны да осылайша анықтай   аламыз.   Яғни   тағы   да   33   рет   өлшеу   орындаймыз.   Сонда   барлық өлшеулер саны 34+33+33=100. 30­Есеп.  Бірдей   8   тиын   берілген.   Олардың   біреуі   жалған   және   ол басқаларынан   жеңіл.   Бізде   тек   зертханалық   таразы   ғана,   яғни   тек   қай жағының ауыр­жеңілдігін  ғана анықтауға болатын таразы бар. Тек екі рет өлшеу арқылы жалған тиынды қалай таба аламыз? Жауабы:   Тиындарды   төрт­төрттен   екіге   бөлеміз.   Әрбір   бөліктен   үш­ үштен тиындар алып, оларды таразының екі жағына салып өлшейміз. Егер олардың   салмақтары   тең   болып   шықса,   онда   екі   жақта   қалған   бір­бір тиындарды таразыға салып өлшейміз де жалғанын анықтаймыз (жеңілін). Ал, егер де бір жағы жеңіл болып шықса, онда сол жеңіл жақтағы үш тиынды бөлек аламыз. Содан кейін олардың ішінен екеуін таразыға салып салыстырып өлшейміз. Қай жағындағы жеңіл – сол жалған тиын болады. Ал, егер олар да тең болып шықса, онда жалғыз өлшенбей қалған біреуі – жалған деген сөз. 10) Қазақ халқының тарихи логикалық есептері. Тоғыз   тарау   иірімдерінің   бүге­шігесін   меңгеріп,   зерде   тезіне   салып, керегенің   көгіндей   атқаратын   қызметін   түсіну,   көген   түймесін   табу­есепті шешудің   алтын   балдағы.   Оны   көп,   із   кессең   табасың.     Міне   ,бұл   қазақ халқының   ауыз   екі   тараған   есебінің   артықшылығы.   Қазақ   халқының математикалық білімінің тамыры терең. Ол қазіргі тілмен алғанда санаудың әртүрлі   жүйесін,   мәселен   үштік,   ондық,   тоғыздық   пайдаланған.   Тоғыздық жүйе ешбір халықта кездеспейді. Қазақтың мұра есебі – Симплекс әдісіне келсе, мүшел есебі, зекет есебі, бітір есебі, тоғыз құмалақ есебі ­ өз алдына бір төбе. Қазақтың  қара  есебі өмір  қажеттілігінен  туындаған.  Қазақ  халқының тәрбиесінің математикалық астары да түрліше.    Олар: 1. Жұмбақ есеп               2. Өлең есеп               3. Ертегі есеп Ғасырлар   бойы   даналығымен,   өміршеңдігімен   дәлелденген   халықтық есептер  үлгілері­ тәрбиенің қайнар көзі болып табылады. Қанша уақыт өтсе де   маңызын   жоймаған   халықтың   ұлттық   мұрасын   тәлім­тәрбиенің   түп қазығына айналдыру – біздің де асыл борышымыз. Сондықтан халқымыздың ауыз әдебиетінде, ертегілерде, шешендік тапқыр сөздерінде, салт­дәстүрінде оқушылардың   ақыл­ой   зердесін   тәрбиелеуде   ұлттық   мазмұнды   есептер шығарудың маңызы зор.  31­Есеп. Қыңырдың жасы.     Есепке құмар бір кісі қыңырдан:  ­  Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол: ­ Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы  жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені  шегеріңіз.  Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде? Шешуі:  Қыңырдың қазіргі жасын ­х десек, есеп шарты бойынша:                         3(х+3) – 3(х­3) = 3х+9 – 3х + 9 =18           Тексеруі:                                  18+3=21;                                  18 – 3=15;                                  21 х 3 – 3 х 15 = 63 – 45 =18.                                                                           Жауабы: Қыңырдың жасы 18­де.                                           32­Есеп. Ұрылар мен кемпір Ертеде   байлардың   естігінде   жүріп   күн   кешкен,   панасы   жоқ   жалғыз кемпір болыпты. Жаз шығып, ел жайлауға  көшкенде, сүйенері  жоқ кемпір жалғыз қалады. Түн ішінде кемпірдің жалғыз сиырын ұрламақ болып ұрылар келеді. Кемпір : «Ә, бұлар менің жалғыз сиырымды нысанаға алған екен, мен де   бұларды   алайын»,­   деп   ойлайды.   Сөйтіп,   жалма­жан   бір   шелек   суды сапырып отырып, мынадай өлең айтыпты :                                 «Сапырып – сапырып Сарманға бер,                                  Құйып – құйып Құрманға бер,                                  Есіктегі екеуге бер,                                     Төрдегі төртеуге бер,                                     Өзің іш те маған бар» ­ деген екен. Мұны естіген ұрылар: ­ «Қой мұнымыз бекер болар. Бұл үй толы кісі, әрі бізден екі есе артық екен, кетейік», ­ деп, кетіп қалыпты.Кемпір тапқырлығымен ұрыларды осылай қорқытыпты. Сонда үйдегі адам нешеу , ұры нешеу?       Шешуі : 1+1+2+4+1+1=10 адам.                      10 : 2= 5 ұры.                                                                                        Жауабы: 10 адам, 5 ұры. 11) Жануарлардың бастары мен аяқтарының санына берілетін логикалық есептер. Мұндай   есептерді   стандарттық   емес   есептерге   жатқыза   алмаймыз. Өйткені   бұл   есептерді   белгілі   бір   алгоритмді   қолдана   отырып   шығаруға болады. Бірақ та мұндай есептерді шығаруда көп оқушылар қиналып қалады. Мұндай есептердің шешімін теңдеулер жүйесі арқылы табуға болады.  33­Есеп.  Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар. Аулада неше тауық және лақ бар?  Шешуі: Белгілеулер енгіземіз: Бастары: тауық – х Аяқтары:   тауық – 2х      лақ – у                                       лақ – 4у Теңдеулер жүйесін құрамыз  х  2   у 19  4 х у х  192 46 4  у      19  у у  38 – 2у + 4у =46 2у=46 – 38 2у=8 46 у=4                   х = 19 – 4 =15                    х = 15 Шешімдерін зерттеу: тауық – 15 лақ – 4 бастарының саны: 15 + 4 = 19 аяқтарының саны: 2  15 44 =46                                               Жауабы: 15 – тауық, 4 – лақ.