Математическая грамотность и решение задач по математической грамотности

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АО НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ «ӨРЛЕУ» ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ПО АЛМАТИНСКОЙ ОБЛАСТИ

 

 

 

 

ШАМОЕВА Л.И.

 

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГРАМОТНОСТЬ

И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ»

(авторская программа)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алмты, 2022г.

БОЖ 533

 

КБЖ 58.300

 

III 730

 

 

 

 

 

 

Решением заседания ученого совета ИПР по Алматинской области, филиала АО НЦПК «Өрлеу», рекомендовано к печати. (13 мая 2022 года протокол №1)

 

Рецензент: старший преподаватель кафедры «Методология и педагогическая инновация» ИПР по Алматинской области, тренер Таджибаева Г.Т.

 

Шамоева Лейла Исмаиловна, учитель математики средней школы имени Карасай батыра, Карасайского район, Алматинской области.

 

"Математическая грамотность и решение задач по математической грамотности" Авторская программа Алматы, 2022 г. -27 стр.

 

* Шамоева Л.И.

 

ISBN 978-601-233-500-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

  В соответствии с требованиями, предъявляемыми современной школой, обучение в ней должно ориентироваться на развитии продуктивного, творческого мышления, которое дает возможность самостоятельно приобретать новые знания, применять их в многообразных условиях окружающей деятельности. Поэтому развития творческого мышления учащихся, в процессе изучения ими математики, является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики. Важным принципом развития творческого мышления является специальное формирование как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности. Как известно, творческое мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и отход от привычных путей мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие. Математическая грамотность- способность человека формулировать, применять и интерпретировать математические явления в различных контекстах. Особенности программы является систематизации знаний с углублением навыков решения нестандартных задач, повышения уровня общей математической подготовки, функциональной грамотности

  Курс предназначен для учащихся 10 классов средней общеобразовательной школы. Данный курс рассчитан на 34 часа. Включенный в программу материал направлен на формирование познавательного интереса у учащихся вследствие своей обобщенности практической направленности, а также ориентирован на развитие у детей способов умственной и исследовательской деятельности средствами специальных задач, содержание которых отражает житейские и математические ситуации. Занятия лучше проводить последовательно 1 раз в неделю. Желательно использовать красочные таблицы, схемы, раздаточный материал, интерактивное оборудование.

Актуальность курса:

Актуальность данной программы объясняется тем, что углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применение высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Содержание данного курса предполагает решение большого количества логических задач –это практическое искусство, научится ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Мышление, как учит психология, начинается там, где нужно решить ту или иную задачу. Каждая задача непременно заканчивается вопросом, на который надо дать ответ. Задача будит мысль учащегося, активизирует его мыслительную деятельность.

Цель курса:

-Образовательная цель: актуальность для учащихся, самоопределение своих интересов в сферах науки, подготовка к осознанному выбору профиля посредствам решения логически задач.

-Развивающая цель: формирование у школьников целостного представления о математике в многообразии её меж предметных связей, позволяющее привести в систему ранее полученные знания о способах решения логических задач, увидеть широкие возможности применения математики в различных отраслях знаний и наоборот, увидеть уникальность, высокую абстрактность, и, вместе с тем, широту применения математических объектов.

-Воспитательная цель: формировать интеллектуально-личностные качества учащихся, создавая творческий потенциал, способный к конкуренции, формирование логической культуры школьника.

 

Задачи курса:

-  способствовать формированию у школьников сферы научных, технических, профессиональных интересов, их самоопределение в выборе профиля;

- показать возможности применения логики для анализа текстов литературных произведений, решения текстовых задач различных отраслей науки, практической направленности

- развивать умение школьников правильно и быстро совершать стандартные логические операции ,принимать продуманное ,взвешенное решение ,правильно говорит о действиях своего и чужого мышления.

-расширить и углубить знания и умения учащихся по математике ;

-развить способности и интересы учащихся ;

-развить математическое мышление ;

-формировать активный познавательный интерес к предмету ;

-познакомить с разделами математики ,не рассматриваемыми в школе ;

-анализ некоторых специфичных приёмов решения математических задач ;

-совершенствовать навыки решения нестандартных задач;

-сформировать умения решать задачи и уравнения с параметрами;

-решать уравнения с параметрами графическим способом ;

-привить учащимся основы математической грамотности ;

-помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательный перспективы.

Ожидаемый результат:

В процессе обучения учащихся решают задачи повешенного уровня сложности ; умеют работать с математической литературой, владеют рациональными приемами работы; имеют развитое образное , ассоциативное , логическое и пространственное мышления.

Инструментарием для оценивания результатов могут быть: пробные тестирования по темам; творческие работы , самостоятельные работы.

Основной высокого уровня математического образования на разных ступенях обучения является математическая грамотность . Поэтому обеспечение математической грамотности школьников является первоочередной задачей в деле обеспечения добротности школьного математического образования .

Понятие математической грамотности начало формироваться в конце XX столетия в исследованиях Международной ассоциации по оценке учебных достижения учащихся IEA.В этих исследованиях под математической грамотностью понимали  «готовность выпускников средней школы справляется с жизненными проблемами , для решения которых нужно использовать некоторые математические знания». Математическая грамотность – является центральным звеном в исследованиях PISA. Оно определяется ‘’как способность человека определять и понимать роль математики в мире , в котором он живет , выражать хорошо обоснованные математические суждения , использовать математику так , чтобы творческому , заинтересованному в мыслящему гражданину ‘’.

В исследованиях PISA понятие математической грамотности уточняется следующим образом .Под математической грамотностью понимается  способность учащихся :

-распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности и которые можно решить средствами математики;

-формулировать эти проблемы на языке математики;

-анализировать использованные методы решения;

-интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;

-формулировать и записывать результаты решения.

Из вышесказанного рождается термин функциональная математическая грамотность, которая предполагает способность учащегося использовать математические знания, приобретенные им за время обучение в школе, для решения разнообразных  задач межпредметного и практикоориентированного содержания, для дальнейшего обучения и успешной  социализации в обществе.

Ученик должен обладать такими умениями:

-умением выполнять математические расчеты для решения повседневных задач;

-умением рассуждать, делать выводы на основе информации, представленной в различных формах (в таблицах, диаграммах, на графиках),  широко  используемых в средствах массовой информации.

Итогом тщательного использования PISA является выделения конкретных приемов деятельности, владение которыми , характеризуют достижения учащимся определенного уровня компетентности. Первый уровень  включает воспроизведение математических фактов, методов, выполнение стандартных процедур, алгоритмов, работу с формулами, вычисления. Для проверки достижения первого уровня применялись несложные задания, с которыми учащиеся имели возможность познакомиться в рамках школьного курса математики  предусматривает установление связей, интеграцию  материала, ориентирование в нестандартных ситуациях, интерпретацию.

Этот уровень требует, кроме математических рассуждений, обобщения, больше творчества и самостоятельности. Для проверки  достижения третьего уровня были задействованы более сложные задания, решение которых предусматривает выделение и формулировку проблемы, построение математической модели, обобщения, интерпретацию.

Как видим, для определения уровня математической компетентности исследовалось владение учащимися определенными приемами деятельности, входящими в состав такого обобщенного приема  деятельности как математическое моделирование.

Приведенное выше описание математической грамотности международных исследованиях и уровней ее овладения (уровней компетентности) дает возможность придти к главному выводу о том, что приоритетным направлением усовершенствования математического образования является обеспечение математической грамотности высокого уровня компетентности.

Повышение математической грамотности

Для повышения уровня математической грамотности учащихся в нашей школе учителями математики, физики  регулярно проводятся дополнительные занятия, на уроках применяются задания  PISA.

Анализируя результат решения тестовых заданий, и решения задач более сложного уровня, выявлено, что все учащиеся успешно достигли первого уровня. С учащимися проводились беседы и обсуждение более сложных задач, некоторые учащиеся имеют затруднения решения задач второго и третьего уровня.

Как развивать математическую грамотность учащихся на уроках математики?

Перед учеником нужно поставить компетентностно-ориентированные задачи. Для составления данных задач необходимо учителю изучить аспекты ключевых компетентностей. Аспекты ключевых компетентностей  деятельности,

- это универсальные по отношению к объекту воздействия способы деятельности

входящие в состав компетентностей. А способам деятельности учащихся нужно обязательно обучать.

При решений  компетентностно-ориентированных заданий учащиеся должны осуществлять такие виды деятельности: учение (как основа для взаимообучение, совместное изучение,совместное обсуждение, исследования (в том числе совместные), обмен опытом, проектирование, программирование индивидуальных  образовательных программ.

Особенности разработки и использования в учебном процессе компентностно-ориентированных заданий таковы:

Модель - схема компетентностно-орнентированного задания

- Название задания

- Аспекты формируемых ключевых компетенций

- Стимул (если ..., то ...)

- Личностно-значимый познавательный вопрос (задачная формулировка)

- Источник информации по данному вопросу (текст, таблица, график, статистические данные, т.п.)

- Задания (вопросы) по работе по данной информации

- Бланк для выполнения задания (если оно подразумевает структурированный ответ)

-Модельный ответ

- Инструмент проверки (оценочный бланк, ключ)

Стимул мотивирует ученика на выполнение задания, включает описание ситуации или другие условия задачи, которые играют  роль источника информации.

- мотивирует учащегося на выполнение задания;

- моделирует практическую, жизненную ситуацию;

- при необходимости может нести функцию источника информации.

Стимул должен:

- быть кратким (не более трех предложений)

- не отвлекать учащегося от содержания задания.

Задачная формулировка понимается однозначно, четко соотносится с модельным ответом (шкалой), соответствует возрасту учащегося, интересна учащемуся. (Мы не можем проверять то, что не требовали в задачной формулировке. Мы обязаны проверять то, что предписывали в задачной формулировке).

Источник информации содержит информацию, необходимую для успешной деятельности учащегося по выполнению задания. (Необходим и достаточен для выполнения заданной деятельности, интересен, соответствует возрасту учащихся). На одном источнике (наборе источников) может строиться несколько заданий. Учащийся не должен быть знаком с источником до выполнения задания.

Бланк задает структуру предъявления учащимся результата своей деятельности по выполнению задания.

Инструмент проверки определяет количество баллов за каждый этап деятельности и общий итог в зависимости от сложности учебного материала, дополнительных видов деятельности.

Инструментом проверки может быть:

- Ключи для тестовых заданий закрытого типа.

-Модельный ответ обычно используется для открытых тестовых заданий с кратким ответом.

Аналитическая шкала используется для открытых тестовых заданий с развернутым ответом.

Бланк наблюдений за групповой работой используется для оценки вклада

каждого участника в групповой продукт и эффективности деятельности всей группы в целом.

Ключевые компетенции являются способностями трансдисциплинарного характера,

определяющими готовность учащихся к интеграции  познавательных и практических умений и навыков для принятия успешных решений, не противоречащих нравственным и этическим нормам.

Ключевые компетенции создают предпосылки для формирования ценностей и мотивов, а также для развития социальных и поведенческих норм жизнедеятельности человека;

служат основанием для  определения ожидаемых результатов по каждой образовательной области.

Обеспечение математической грамотности высокого уровня

компетентности заключается в гармоничном формировании трех приемов деятельности:

1. моделировать с помощью математики объекты окружающего мира и отношения между ними ;

2. оперировать определенным составом математических знаний умений;

3. создавать стратегии решения задач

 

Тематическое планирование  курса

№	Название темы	Количество часов	Дата
1	Задачи на проценты	1
2	Признаки делимости	1
3	Составление уравнений	1
4	Текстовые задачи	1
5	Числовые последовательности, рекуррентная  формула	1
6	Степень. Свойства степени с целым и отрицательным показателями.	1
7	Диаграммы. Решение задач.	1
8	Задачи на логику	1
9	Примеры на закономерность,  числовые ряды	1
10	Задачи на логику счета	1
11	Задачи-головоломки	1
12	Буквенные выражения и нахождение их значений	1
13	Задачи из жизненных ситуаций	1
14	Задачи-головоломки, ребусы.	1
15	Исключение лишнего числа из ряда	1
16	Проценты и диаграммы	1
17	Пропорция, отношение	1
18	Графики, их применение в жизни	1
19	Старинные занимательные  задачи	1
20	Задачи из жизненных ситуаций	1
21	Логика в практике человека	1
22	Прогрессии	1
23	Задачи на концентрацию	1
24	Решение задач на движение, скорость, расстояние	1
25	Геометрические головоломки	1
26	Задачи на составление  формул	1
27	Вычисление площадей  плоских фигур	1
28	Нахождение периметра фигур	1
29	Площадь окружности, сектора	1
30	Объем куба	1
31	Объем параллелепипеда	1
32	Элементы теории вероятности	1
33	Комбинаторика : размещение, перестановка, сочетание	1
34	Итоговое занятие	1

 

1. Задачи на проценты

Задача 1.

Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?

Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 тг.?

Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:

1) 100% - 40% = 60%

Второе снижение происходит от новой цены:

2) 60% . 25% : 100 = 15%

Таким образом, общее снижение цены товара равно:

3) 40% + 15% = 55%

Цена товара после второго снижения стала равной:

4) 100% - 55% = 45%

Найдем 45% от 3000тг.

5) 3000 . 45: 100 = 1350 (тг.)

Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;

1350тг. стал стоить товар.

Задача 2.

Катя ест пирожок с малиновым  вареньем. После каждого откусывания  масса  пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?

Решение:

1) 100% - 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;

2) Второе откусывание происходит от остатка.

80% . 20 : 100 =16% — откусили во второй раз

3) 80% - 16% = 64% - процентное содержание пирожка после второго откусывания;

4) Т.к 64% равны 160 г, имеем

160 . 100 : 64 = 250 (г) - первоначальная масса пирожка Ответ: 250г, нет

Задача 3.

В магазине батон хлеба стоит 10гг., а на лотке цена такого же батона - 9 тт.

Определите:

1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?

2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?

Решение:

1) По условию цена "дешевого" батона сравнивается с ценой "дорогого".

В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.

100% - батон в магазине.

9: 10. 100= 90%

100%-90%=10% - продается дешевле с лотка

2) На этот раз "дорогой" батон сравнивается с "дешевым".

Значит 100% - батон на лотке:

10: 9. 100= 111,1%

111,1% — 100% = 11,1% — продается дороже в магазине

Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.

Задача 4.

На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решение:

Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.

100%-99% = 1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;

100: 100 = 1(кг) - масса сухого вещества.

2) 100%-98% -2% - процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды:

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем

1 . 100 : 2 = 50(кг)

Ответ: 50 кг

Задача 5.

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

Решение:

1) 100%-90% =10% - процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;

17. 10: 100 = 1,7(кг) - масса сухого вещества

100%- 15% =85% - процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;

Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем

167 . 100 : 85 =2(кг) - сушеных грибов

2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.

3,4 . 85 : 100 = 2,89 (кг)

Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем

2,89 . 100 : 10 =28,9 (кг)- свежих грибов надо взять

Ответ: 2 кг, 28,9 кг

Задача 6.

В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

1) Учтем, что масса полученного раствора

400+80 = 480(г)

2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?

80: 480. 100 = 16,7%

Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.

Текстовые задачи

Решение задач - это сложная работа. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи. Сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления. Нахождение способа решения задачи подобно изобретению, а изобретение требует воображения, догадки, фантазии. Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много поработать, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение - как объект конструирования и изобретения.

Обучение решению текстовых задач- это, специально организованное  взаимодействие учителя и учашихся,  целью которого является формирование у  учащихся

увся мя тематике, надо имять задачи Ла того.

устойчивое внимание, развитое воображение,

чтобы наоб вее успешно рчисое воображение, имече скрошую пакоть,

логическое

сообразительность.

мышление,

в результате самостоятельной

упорной работы можно

действительно чему-го научиться, а тем более такому сложному умению, как умение решать математические задачи. Общее умение решать залачи складывается - из знаний о задачах, структуре задач, процессе решения и этапах решения, методах, способах и приемах решения.

Из умений

выполнять каждый из этапов решения любым из приемов, помогающих решению. Чтобы обучать умению решать задачи определенных видов, учащиеся должны знать о видах задач, способах решения задач каждого вида. И выработку умения выделять задачи соответствующих видов, выработать способы решения, применять их к решению конкретных задач.

Любая задача состоит из двух основных частей: условия и требования.

Известные и неизвестные величины, а так же отношения между ними, составляют ее условие. Другими словами, в условии задачи сообщается какая-либо информация о чем-то. В тексте задачи может быть указано несколько неизвестных величин. Указание того, какое именно неизвестное является искомым - это требование задачи. Требование может быть в виде вопроса, и в форме указания что-либо найти, определить, вычислить, доказать и др.

Условие и требование могут быть в разном порядке.

Обозначим условие - У, требование - Т. Тогда структурную схему задачи можно показать так: У - Т, Т - У, У - Т - У. Чтобы правильно определить, где условие, а где требование, необходимо внимательно относиться к каждому слову в тексте и представить ситуацию, о которой говорится в задаче. Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что требуется к задаче, - её ответ. Чтобы решить задачу, надо найти план её решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда. Для решения текстовых задач существует структура решений. Первым признаком, по которому все математические задачи делятся на отдельные виды или классы, является характер требования задачи.

Основные методы: алгебраический, арифметический В основе типологии сюжетных задач лежит структура текста, методы решения, сюжет, уровни знаний учащихся при работе с задачей. Типология по методам решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический и геометрический. Так же существуют эвристические методы решения сюжетных задач (метод подбора и догадки)

полная индукция, а также другие.

Способы

арифметического метода: приведение к единице, отношения, исключение неизвестных, пропорциональное деление, подобие и т.д.

Алгебраический метод предусматривает перевод сюжета на математический язык на основе построения математической  модели сюжета, известных зависимостей между величинами, решение задачи в рамках математической модели, интерпретацию полученного результата в сюжет, формулировку ответа. Математической моделью сюжетной задачи могут быть:

числовое выражение, уравнение, система уравнений,

неравенство, система неравенств, функция, график.

геометрическом методе предусматривается использование

геометрических объектов и их свойств, при решении

задачи в рамках

математической модели (метод сравнения длин отрезков (отрезочные диаграммы), метод подобия, метод площадей (двумерные диаграммы)).

Основным преимуществом геометрического решения является наглядность, так как чертёж помогает глубже понять условие задачи.

Существуют три уровня учебной деятельности - алгоритмический (репродуктивный), продуктивный и творческий. В зависимости от уровня учебной деятельности задачи делятся на три класса:

- алгоритмические (заданный алгоритм);

- поисковые (аналитико-синтетической деятельность);

-эвристические (творческого подход).

Синтетический и аналитический методы решения задач. Необходимым условием решения сложной задачи является умение решать простые задачи, к которым можно свести составную задачу. Решить эти подзадачи, после чего преобразовать исходную задачу, имея в виду полученные результаты решения подзадач. После такого преобразования исходная задача, как правило, становится проще. Возможны два основных пути поиска решения: синтетический и аналитический.

Анализ- есть метод научного исследования путем разложения (фактического или мысленного) предмета на его составные части, а синтез есть метод изучения предмета в его целостности, в единстве и взаимной связи его частей. Анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод решения задач. Анализ и синтез неразрывно связанны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено. Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ даёт знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом. При арифметическом решении текстовых задач роль анализа сводится к составлению плана решения, а задача чаще всего решается синтетическим методом.

Задача 1. Два самолета с реактивными двигателями одновременно вылетели с двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между аэродромами 1870 км. Через сколько часов они встретятся, если один из них за 2/5 часа пролетает 360 км, а скорость второго составляет 8/9 скорости первого ?

Решение: 1. Какова скорость первого самолета ?   360:2/5 =900км/ч

2. Какова скорость второго самолета? 900•8/9 = 800км/ч

3. На сколько самолеты сближаются с течение часа? 900+800 =1700км

Синтетический метод  пользуется популярностью среди школьников и учителей, так как он очень прост, не требует особого  напряжения. При аналитическом методе решения исходят не от условия задачи, а от ее требования, основного вопроса. При решении задач аналитическим методом ставится вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос, нужно знать данные этой задачи и учитывать зависимости, связывающие их с искомой величиной. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой задачи, Он опирается на умение школьника рассуждать и способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи.

Арифметический метод среди распространенных методов решения текстовых задач имеет большое значение. Этот метод развивает логическое мышление, его гибкость и оригинальность, формирует такие умственные действия, как анализ и синтез. Не всегда сразу найдется арифметическое решение задачи. В таких случаях с помощью алгебраического метода можно получить ответ на требование задачи, а потом можно отыскать арифметическое решение.

Приводим несколько замечаний. 1. Не все текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом, решаются арифметически. Например, задачи, при решении которых получаются квадратные уравнения или уравнения высших степеней, невозможно решить арифметическим методом. 2. Задачи, при решении которых алгебраическим методом, сводятся к линейному уравнению или системе линейных уравнений, можно решить и арифметическим методом. 3. Вид линейного уравнения, не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти.

 

Задачи из жизненных ситуаций

«Бабушкины помощники»

1. Провожая внука в школу и встречая его, бабушке необходимо в месяц совершать 40 поездок на наземном транспорте. Помогите рассчитать, что выгоднее: купить месячный проездной билет на 60 поездок за 650 тг или на 20 поездок за 325 тг.

2. Покупая в магазине ткань для штор, продавец предупредил, что после первой стирки материя садится на 5% по длине и 4% по ширине. Сколько метров ткани шириной 5 м нужно купить, чтобы после стирки иметь 114 кв. м?

3. На изготовление 20 порций первого блюда расходуется 0,5 кг мяса и 1 кг риса, а на изготовление одной порции второго блюда расходуется 100 г мяса и 150 г риса. Требуется изготовить вторых блюд в полтора раза больше, чем первых, при этом израсходовать не менее 11,1 кг мяса и не более 17,7 кг риса. Сколько было изготовлено блюд?

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предложения, что общая длительность телефонного разговора составляет 800 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить в месяц, если общая длительность разговора в этом месяце действительно будет равна 800 мин? Ответ дайте в рублях.

2. В результате расширения компании сотовой связи и одновременно удешевления тарифов на 50% ежемесячный объем продаж ее услуг вырос в 3 раза. Через сколько месяцев дополнительная прибыль, полученная компанией, компенсирует затраты на расширение, если они составили половину прежнего годового дохода компании?

3. Отправляясь в командировку на поезде, предприниматель взял с собой полностью заряженный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или на 210 часов ожидания. По прибытии на место телефон разрядился .  Сколько времени  он ехал на поезде, если известно, что   предприниматель говорил по телефону ровно половину поездки?

2. Две семьи выехали из Москвы в Анапу. Расстояние между городами составляет 1500 км. В первой семье дисциплинированный  водитель  ехал 3 пути со скоростью 90 км/ч, остальную часть пути - со скоростью 60 км/ч, 2 часа семья затратила на отдых. Во второй семье, нарушая правила, водитель ехал 10 пути со скоростью 120 км/ч и поэтому затратил 2 ч 55 мин на беседы с сотрудниками ГИБДД. Половину всего пути он ехал со скоростью 90 км/ч, а остальную часть - со скоростью 60 км/ч. Как и первая семья, вторая отдыхала 2 ч. Найдите среднюю скорость автомобилей каждой семьи на протяжении всего пути. Ответ округлите до целых.

3. Семья состоит из двух человек: муж и жена. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 45%. На сколько процентов вырос бы общий доход семьи, если бы вдвое увеличилась зарплата мужа?

«Активный «user»»

1.      Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных план

Плата за трафик

Абонентская плата

Тарифный 2,5 р. за 1Mb.

плят

1. План «0»

Het.

600 р. за 700 Mb трафика в

2 р. за 1 М сверх 700

2. План «700»

Mb.

месяц.

. План «1000»

820 р. За 1000 Mb трафика в

1,5 р. за 1 Mb сверх 1000 Mb.месяц.

Пользователь планирует, что его трафик составит 830 МЬ и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 830 МЬ?

2. Студентке требуется для учебы ноутбук. Для покупки компьютера родителям девушки пришлось брать в банке кредит 24 тыс. тг под 10% годовых сроком на один год. Чтобы быстрее выплатить кредит, они

чем положено. Определите, какую сумму родители должны заплатить при закрытии счета.

3. Установлено, что на диске число файлов, зараженных вирусом, находится в пределах от 3,89% до 4,44% от общего числа файлов на диске. Чему равно минимально возможное число незараженных файлов на этом диске?

Методические приемы и стратегии современного урока математики

Активные методы обучения - это методы, которые побуждают учащихся к активной мыслительной и практической деятельности в процессе овладения учебным материалом. Активное обучение предполагает использование такой системы методов, которая направлена главным образом не на изложение преподавателем готовых знаний, их запоминание и воспроизведение, а на самостоятельное овладение учащимися знаниями и умениями в процессе активной мыслительной и практической деятельности.

Прием "Лови ошибку"

Время выполнения: 5-6 минут

Описание приема.

Учитель заранее подготавливает текст, содержащий ошибочную информацию, и предлагает учащимся выявить допущенные ошибки.

Важно, чтобы задание содержало в себе ошибки 2 уровней: личного опыта и знаний;

А - явные, которые достаточно легко выявляются учащимися, исходя из их

Б - скрытые, которые можно установить, только изучив новый материал

 

Учащиеся анализируют предложенный текст, пытаются выявить ошибки, аргументируют свои выводы.

Существует множество способов графической организации материала. рассмотреть несколько табличных форм. Это таблица ЗХУ, концептуальная сводная таблица. Можно рассматривать данные приемы, как приемы стадии рефлексии, но в большей степени - это стратегии ведения

урока в целом.

Учитель предлагает изучить новый материал, после чего вернуться к тексту задания и исправить те ошибки, которые не удалось выявить в начале урока.

«З-Х-У» («Знаю - Хочу знать - Узнал» )

Один из способов графической организации логико-смыслового структурирования материала. Форма удобна, так как предусматривает

комплексный подход к содержанию темы.

1 шаг: До знакомства с текстом учащиеся самостоятельно или в группе заполняют первый и второй столбики «Знаю», «Хочу узнать».

2 шаг: По ходу знакомства с текстом или же в процессе обсуждения прочитанного, учащиеся заполняют графу «Узнали».

3 шаг: Подведение итогов, сопоставление содержания граф.

Дополнительно можно предложить детям еще 2 графы - «источники информации», «что осталось не раскрыто».

"Концептуальная таблица"

используется, когда необходимо провести сравнение нескольких объектов

по нескольким вопросам.

Таблица строится так: по горизонтали располагается то, что подлежит сравнению, а по вертикали различные черты и свойства, по которым это сравнение происходит. В зависимости от цели, поставленной на уроке, таблица может заполняться учащимися на уроке или дома, постепенно или вся целиком как результат обобщения.

Затем проводим обсуждение правильности заполненного материала, уточнение, дополнение, исправление; сравнение сил. В дальнейшем учащиеся при составлении таблиц могут сами выбирать объекты сравнения или линии сравнения.

«Сводная таблица»

помогает систематизировать информацию, проводить параллели между явлениями, событиями или фактами. Выглядит эта таблица просто: Средняя колонка называется "линией сравнения". В ней перечислены те категории, по которым мы предполагаем сравнивать какие-то явления, события, факты.

В колонки, расположенные по обе стороны от "линии сравнения", заносится информация, которую и предстоит сравнить. Сводная таблица позволяет более качественно подготовить домашнее задание, так как является уже готовой памяткой, сделанной на уроке. При использовании приема

На этапе рефлексии необходимо произвести обсуждение озвучиванием таблицы, т.е. усвоенное знание проговаривается.

Прием "Кубик"

Данный прием используется на этапе осмысления.

Положительные стороны приема "Кубик":

- позволяет ученикам реализовать различные фокусы рассмотрения

-создает на уроке целостное (многогранное) представление об изучаемом проблемы, темы, задания; материале;

- создает информацию для конструктивной интерпретации полученных данных

Суть данного приема. Из плотной бумаги склеивается кубик. На каждой стороне пишется одно из следующих заданий:

1. Опиши это... (Опиши цвет, форму, размеры или другие характеристики)

2. Сравни это... (На что это похоже? Чем отличается?)

3. Проассоциируй это... (Что это напоминает?)

4. Проанализируй это... (Как это сделано? Из чего состоит?)

5. Примени это... (Что с этим можно делать? Как это применяется?)

6. Приведи "за" и "против" (Поддержи или опровергни это)

Ученики делятся на группы. Учитель бросает кубик над каждым столом и таким образом определяется, в каком ракурсе будет группа осмыслять ту или иную тему занятия. Учащиеся могут писать письменные эссе на свою тему, могут выступить с групповым сообщением и т.п.

Прием «Составление кластера»

Кластер - прием систематизации материала в виде схемы (рисунка), когда выделяются смысловые единицы текста. Правила построения кластера очень простые. Рисуем модель Солнечной системы: звезду, планеты и их спутники. В центре располагается звезда - это наша тема. Вокруг нее планеты - крупные смысловые единицы. Соединяем их прямой линией со звездой. У каждой планеты свои спутники, у спутников свои. Система кластеров охватывает большое количество информации.

Прием "Кластеры" использую как на стадии вызова, так и на стадий рефлексии, т.е. может быть способом мотивации к размышлению до изучения темы или формой систематизирования информации при подведении итогов.

В зависимости от цели организую индивидуальную самостоятельную работу учащихся или коллективную - в виде общего совместного обсуждения.

Например задание:

составьте кластер  к слову «Треугольник».

Сначала данную работу они выполняют самостоятельно, основываясь на тех которые они имеют на начало урока. Затем читают параграф учебника «Треугольник» и продолжают работу по составлению кластера, это позволит сделать кластер более полным.

Этот прием развивает умение строить прогнозы и обосновывать их, учит искусству проводить аналогии, устанавливать связи, развивает навык одновременного рассмотрения нескольких вариантов, столь необходимый при решении жизненных проблем. Способствует развитию системного мышления.

Приём «Сниквейн»

ЭТО стихотворение, представляющее собой синтез информации в лаконичной форме,

ЧТО позволяет описывать суть понятия или, осуществлять рефлексию на основе полученных знаний» Слово происходит от французского "5". Это стихотворение из 5 строк, которое строится по правилам:

1 строка - тема или предмет (одно существительное);

2 строка - описание предмета (два прилагательных);

3 строка - описание действия (три глагола);

4 строка - фраза из четырех слов, выражающая отношение к предмету;

5 строка - синоним, обобщающий или расширяющий смысл темы или предмета (одно слово).

Синквейн дает возможность подвести итог полученной информации, изложить сложные идеи, чувства и представления в нескольких словах.

Синквейн может выступать качестве средства творческого самовыражения.

На первых этапах синквейн можно составлять в группах, потом в паре и затем индивидуально. Смысл синквейна можно изобразить рисунком.

Учащиеся могут составлять синквейн на уроке или дома.Данная форма работы дает возможность усвоить важные моменты, предметы, понятия, события изученного материала; творчески переработать важные понятия темы, создает условия для раскрытия творческих способностей учащихся. Каждому этапу присущи собственные методические приемы и техники, направленные на выполнение задач этапа. Комбинируя их, учитель может планировать уроки в соответствии с уровнем зрелости учеников, целями урока и объемом учебного материала.

Возможность  комбинирования техник имеет немаловажное значение и для самого педагога - он может свободно чувствовать себя, работая по данной технологии, адаптируя ее в соответствии со своими предпочтениями, целями и задачами. Комбинирование приемов помогает достичь и конечную цель применения технологии КМ - научить детей применять эту технологию самостоятельно, чтобы они могли стать грамотными мыслителями и с удовольствием учились в течение всей жизни.

независимыми и

Игра - творчество, игра - труд. В процессе вырабатывается навык сосредоточиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Увлёкшись, дети не замечают, что учатся: узнают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Даже самые пассивные из детей включаются в игру с огромным желанием, прилагая все усилия, чтобы не подвести товарищей по игре. Включение в урок дидактических игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создаёт у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала.

Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету.

Дидактическая игра - не самоцель на уроке, а средство обучения и воспитания. Игру не нужно путать с забавой, не следует рассматривать её как деятельность, доставляющую удовольствие ради удовольствия. На дидактическую игру нужно смотреть как на вид преобразующей творческой деятельности в тесной связи с другими видами учебной работы. В отличие от игр вообще дидактическая игра обладает существенным признаком - наличием чётко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью.

Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры дети в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания, активно помогают друг другу в этом. Математическая сторона содержания игры всегда должна отчётливо выдвигаться на первый план. Только тогда игра будет выполнять свою роль в математическом развитии детей и воспитании интереса их к математике. Целесообразность использования дидактических игр на различных этапах урока различна. Например, при усвоении новых знаний возможности дидактических игр значительно уступают более традиционным формам обучения. Поэтому игровые формы занятий чаще применяют при проверке результатов обучения, выработке навыков, формировании умений.

Многие дидактические игры как будто не вносят ничего нового в знания школьников, но они приносят большую пользу тем, что учат учащихся применять знания в новых условиях или ставят умственную задачу, решение которой требует проявления разнообразных форм умственной деятельности. Во время игры активизируются разнообразные умственные процессы, поэтому дидактическая игра является средством умственного развития. Чтобы понять замысел, усвоить игровые действия и правила,

нужно активно выслушать и осмыслить объяснение учителя. Решения задач, поставленных играми, требуют сосредоточенного внимания, активной мыслительной деятельности, выполнения сравнения и обобщения. Приведу примеры дидактических игр, которые я использую на своих уроках.

Викторина

Викторина - это игра, во время которой учащиеся отвечают на вопросы.

Выигрывает тот, кто даст больше правильных ответов. При отработке навыков устных вычислений, викторина проводится в начале урока, при проверке знаний и умений учащихся - в конце урока. Викторина способствует активизации умственной деятельности школьников на уроке. Класс делится на три команды по числу рядов. Баллы, заработанные во время викторины, записываются на доске.«Стоимость каждого вопроса» может быть различна (Но это не обязательно), ее заранее я сообщаю ученикам.

Математический турнир

Математический турнир можно проводить по-разному. Если его проводить в неурочное время, то он требует тщательной подготовки как учеников, так и учителя. Время проведения должно быть определено заранее, ученики получают определенное задание начала турнира; учителю необходимо продумать до мелочей все задания турнира, все игры, которые будут на нём разыгрываться. Я опишу математические турниры, которые обычно провожу на уроках в 10-11 классах. Турнир проводится в конце урока, когда ученики немного устали. Класс делится на две команды.

Каждая команда получает задание: 2-3 задачи или 5-6 примеров. Члены команды могут консультироваться друг с другом. Через 8-10 минут начинаем турнир. Капитаны команд вызывают по одному участнику команды соперников. Эти два ученика обмениваются заданиями, идут к доске и начинают решение, затем вызывается другая пара учеников и так далее.

Побеждает та команда, которая правильно решит и объяснит наибольшее количество заданий другой команды. За ответами следят все учащиеся. Я выступаю в роли арбитра. Участникам турнира выставляются оценки в журнал, подводятся итоги.

Обычно на такие турниры я отвожу 15-20 минут.

Количество заданий определяется многими факторами: целью турнира, наличием времени, содержанием заданий, составом играющих. Очевидно одно: если бы эти задания были предложены просто в виде самостоятельной работы в конце урока, то вряд ли бы все ученики решили предложенные им 5 примеров и прослушали бы внимательно решение ещё пяти аналогичных.

Эстафета

Каждый ряд получает таблицу с «форточками». Таблицу кладут на одну парту, и по команде ученик заполняет первую пустую клетку. Закрыв

первую «форточку», он передает соседу и так далее.

Аукцион можно проводить разными способами,  вот один из них. После изучения очередной темы я объявляю, со тайна проведём игру по типу чайнворда. Задание состоит в том, чтобы составить цепочку геометрических (алгебраических) терминов по такому принципу: каждый следующий термин начинается с той буквы, какой оканчивается предыдущий. Буква  «ь» во внимание не берётся. Основное условие: принимаются только те термины, которые имеют прямое отношение к изученному материалу. Если на одну букву будет предложено несколько терминов, то в чайнворд. записывается тот термин, который назвали последним. Если на последнюю букву названного термина не находится предложений, то берется предыдущая буква в этом слове и т.д.

Соревнование заканчивается, когда на доске записано цепочка терминов и следующих предложений нет. В процессе записи терминов над каждым из них ставят номер соответствующей команды. Побеждает та команда, у которой набралось наибольшее число терминов. После изучения темы «Четырехугольники» в 8 классе я выставляю на аукцион параллелограмм, трапецию, прямоугольник, ромб, квадрат. Задача команд: «купить» фигуру, указав какое-нибудь ее свойство. Фигура достается той команде, которая сообщила последней ее свойство. у Затем С выставляется другая фигура...Побеждает команда «купившая» наибольшее число фигур.

Молчанка

В 9 и 10 классах очень помогают мне в работе сигнальные карточки. Они дисциплинируют детей и позволяют получить информацию об усвоении материала. Обычно красная карточка соответствует утверждению «нет», а зеленая - «да». Но значение карточек можно в любой момент заменить. С помощью сигнальных карточек можно провести очень много устных упражнений. Ребята с увлечением пишут графические диктанты.

«Да» изображается отрезком, а «нет» - уголком. В результате ответов на вопросы получается «график», по которому легко определить, верно ответил ученик или нет. После сдачи работ вопросы обсуждаются. Ученики сразу видят результат своего труда. Диктанты позволяют проверить способность учащихся рассуждать, логически мыслить, делать правильные  выводы

Кто быстрее

Это - наиболее часто применяемая мною игра. Обычно ее я использую при устном счёте, при проведении самостоятельных работ, иногда раздаю карточки для отдельных ребят.Внешнее оформление работ может быть различным, задание - тоже, но главная задача учащихся - выполнить его как можно быстрее. Если нужно отработать какой-нибудь алгоритм решения, я так же использую эту игру. Задания при этом вроде ничем не отличаются от многих заданий из учебника, но ребята более активно включаются в работу, «рвутся» к доске, стараются выполнить его как можно быстрее и правильнее.

Эту игру я использую в 8-9 классах.

Деловые игры

Деловая игра представляет собой последовательность учебных действий в процессе решения поставленной задачи. Это - модель взаимодействия людей в процессе достижения экономических, производственных или политических целей. Деловая игра позволяет создавать такие ситуации, в ходе которых играющему необходимо найти правильную линию поведения, оптимальное решение проблемы. В процессе игры вырабатывается умение мыслить системно, продуктивно, пробуждается стремление к поиску новых идей. Таким образом, дело не сводится  лишь механическому использованию программного материала, ребята подходят к проблеме творчески.

В отличие от соревнований деловые игры, в большинстве случаев, занимают весь урок. Этапы этого урока: знакомство с профессией;

постановка главной задачи бригадам, выяснение их роли в производстве; создание игровой проблемной ситуации; овладение необходимым теоретическим материалом; решение производственной задачи; проверка результатов;анализ итогов работы, оценка результатов.

Основная идея деловых игр состоит в том, чтобы создать производственную ситуацию, в которой учащиеся, поставив себя на место человека той или иной специальности, могут увидеть и оценить значение математики в производстве, самостоятельно овладеть необходимым теоретическим материалом, применить полученные знания на практике.

2. УРОКИ ФАНТАЗИИ

Уроки-сказки я обычно провожу после изучения темы для отработки навыков решения, для закрепления изучаемого материала. Игра проводится на основе сказки. Класс разбивается на 2-3 команды. Начинаю рассказ, ставлю проблему, учащиеся, применяя необходимые знания, решают

ее. Учитывается скорость и правильность решения. В конце подводятся итоги всей игры. Устанавливается команда - победитель, часть учеников получает оценки. Такую форму урока я чаще всего использую в 9 классе. Но иногда она приемлема и в более старших классах.

3. УРОКИ-ПУТЕШЕСТВИЯ

Урок-путешествие - это одна из наиболее часто используемых мною форм проведения уроков в 9-10 классах. Как и все дидактические игры, «путешествие» проводится после изучения темы, для отработки умений и навыков, закрепления и обобщения изученного материала. Класс делится на несколько групп. Мы «путешествуем» по «остановкам» или «станциям», на каждой из которых команды получают задание, а иногда - оценки. В группах выделяются мои помощники, которые заполняют специальные ведомости. В конце «путешествия», учитывая записи в ведомостях, оценивается каждый ученик.

4. УРОКИ ОБЩЕНИЯ

Устный журнал

Устный журнал не требует соревнования. Важно само участие в выпуске журнала. Я стараюсь дать слово как можно большему числу учеников.

Учащиеся заранее читают математическую литературу, находят в ней интересные факты, которые излагают за 1-2 минуты. Ведущие готовят ряд коротких рассказов об истории математики из тех разделов, которые не издаются в школе, но доступны учащимся. Цель ведущих - изложить свои заготовки, увлечь беседой учащихся. Они говорят таинственно, весело, обыгрывают сообщаемый факт, как эстрадную миниатюру.

Диалог

Игра направлена на повышение активности учащихся в процессе усвоения новых знаний. Я формулирую учебную проблему, а учащиеся должны решить ее. Они понимают, что для решения проблемы недостаточно имеющихся знаний. Каждая команда имеет право задать мне минимальное число вопросов с тем, чтобы извлечь из моих ответов максимум информации. В игре я как бы не желаю выдавать информацию, а ученики поставленными вопросами принуждают меня к этому. И если в диалоге при минимальном количестве вопросов у какого-нибудь ученика наступает озарение, то я считаю, что свою задачу по развитию творческого мышления учащихся я выполнила.

 

Заключение

Целенаправленное формирование умений решать задачи вообще, математические в частности, является, безусловно, одним из важнейших путей усовершенствования образования. А это, в свою очередь, связано с формированием навыков анализа условия задачи, поиска путей её решения, осмысления результатов решения.

Формирование определенной системы математических знаний всегда было в центре внимания в математическом образовании. Объем этой системы является слишком большим с общеобразовательных позиций, а качество владения ими - недостаточно высоким. А главное, формирование этой системы знаний и умений не связана органически с формированием умений применять математику и стратегией решения задач. Успешное выполнение контекстных заданий может быть обеспечено только при ориентации учебного процесса решение подобных задач.

Чтобы повысить математическую грамотность учащихся, можно предложить учащимся самим составить задачи и уравнения, ребусы, кроссоворды, разноуровневые задания. В связи с этим давайте все запомним одну математическую формулу, которая позволит сформировать у учащихся в процессе изучения математики и других дисциплин качества мышления, необходимые для полноценного функционирования человека в современном обществе.

 

 

 

 

 

 

 

Используемая литература:

1. Математическая грамотность. Тестовые задания для абитуриентов, 2017г.

2. Базаров Е.М. Математика: Учебник-тест для подготовки к ЕНТ.,

Алматы: ШЫН-Кітап, 2014г.

3. Степанова Т.С. Геометрия. Весь школьный курс в таблицах., Минск, 2015г.

4. Алгебра. Весь школьный курс в таблицах. Минск, 2015г.

5. Рустюмов С.Т., Рустюмова И./І. Пособие для подготовки к ЕНТ,

Алматы, 2012г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru