Математические методы в экономике

Исследовательская работа  Математические методы в экономике Оглавление 1. Введение …………………………………………………………………..3 2. Свойства модели ………………………………………………………… 4 3. Алгоритмы………………………………………………………………....5 4. Моделирование……………………………………………………………6 5. Особенности математических методов, применяемых к решению  экономических задач……………………………………………………..7 6. Линейное программирование…………………………………………….10 7. Задача оптимизации………………………………………………………11 8. Спрос и предложение……………………………………………………13 9. Эластичность……………………………………………………………...16 10.Теория потребительского поведения……………………………………17 11.Теория фирмы…………………………………………………………….18 12.Макроэкономика………………………………………………………….20 13.Заключение……………………………………………………………….22 14.Список литературы……………………………………………………....23 2 Введение. Актуальность. Математика и экономика – две на первый взгляд далекие друг от друга науки. Взаимосвязь между этими науками, роль математических  методов в анализе экономических процессов, объектов и явлений были  отмечены учеными ещё в XVII веке. В XX веке происходило бурное  проникновение математических методов в самые различные науки, в том  числе и в экономику.                                                                                        Цель исследовательской работы: рассмотреть математические модели в  экономике на примере решения задач адаптированных к  социально­ экономическим реалиям жизни., Гипотеза: Те математические законы и понятия, которыми мы владеем,  используются ли в экономике.  Задачи моей исследовательской работы:     показать взаимосвязь математики и экономики на примере задач.  Научиться применять в экономике математический аппарат  Познакомиться с основными понятиями экономики и закономерностями экономических процессов  сформировать представление об идеях и методах экономики, об  организации деятельности в сфере Экономики и банковского дела;  вооружить конкретными экономическими знаниями, необходимыми  для изучения других школьных предметов, для применения в  практической деятельности, для выбора будущей профессии и  продолжения образования;  Показать широту применения в экономике математических методов  3 (реальные задачи из разных сфер жизнедеятельности человека) Математические модели и методы моделирования экономических  объектов являются необходимыми для управления экономическими  объектами. Объект исследования: математические понятия и законы, экономические  модели и явления Предметом являются математические модели экономических объектов. Методы исследования: теоретическое изучение материала, образцы решения  экономических задач, составление и решение своей задачи  Будущую профессию я хочу связать с экономикой, поэтому мне нужно  изучить экономические модели и явления. 1.Свойства модели Математические модели в экономике представляют формализованное  описание управляемого экономического процесса, включающее известные  параметры, неизвестные величины, объединенные между собой связями в  виде математических зависимостей, формул. Важнее указать те свойства модели, которые определили такое широкое и  разнообразное ее использование. Можно назвать  следующие особенности:   ­Универсальность и гибкость. Структура модели допускает разнообразные  формы ее применения. Это позволяет описывать с ее помощью весьма  различные реальные ситуации из самых разнообразных областей хозяйства и  на разных уровнях управления. Можно рассматривать последовательности  моделей, в которых необходимые ограничения и условия вводятся  постепенно, пока не будет достигнута требуемая точность описания. В более  сложных случаях, когда гипотезы линейности существенно противоречат  специфике задачи и требуется учесть нелинейность доходов и затрат,  неделимость решений или неопределённость информации, линейная модель  оказывается хорошим "элементарным блоком" и основой обобщений.  ­Простота и доступность. Несмотря на универсальность и хорошую точность,  модель линейного программирования использует весьма элементарный  инструментарий линейной алгебры и понимание и овладение ею доступно  людям с очень скромной математической подготовкой. В данном случае это  очень важно для творческого, а не шаблонного использования предлагаемых  моделью средств анализа.  4 ­Эффективная расчетная разрешимость. С помощью современных машин и  нынешних разновидностей этих методов в короткие сроки решаются задачи с  сотнями и тысячами ограничений, с десятками и сотнями тысяч переменных.  ­Качественный анализ, показатели. Наряду с оптимальным плановым  решением, анализ модели дает ценные средства качественного анализа  конкретной задачи и проблемы в целом. Эти характеристики указывают  объективный путь расчета цен и других экономических показателей, а также  анализа их структуры.  Трудности моделирования и создания необходимой информации могут быть  преодолены обогащением арсенала используемых средств, в результате новых  оригинальных исследований в экономике, дальнейшего развития  математического аппарата, техники, а также сочетания этих средств с  интуицией и опытом человеческого разума. Свидетельством возможности  преодоления таких трудностей является опыт естественных и технических  наук.  2. Алгоритмы Все более интенсивным становится поток исследований по развитию новых  методов и алгоритмов. Появились принципиально новые теоретические  подходы и постановки задач, работы по конкретному анализу некоторых  общих или отраслевых проблем. Выросла целая армия талантливых молодых  исследователей. Значительный прогресс имеется в развитии и  распространении вычислительной техники и методов программирования.  Улучшилось взаимопонимание между экономистами­математиками,  экономистами и практическими работниками.  Для преодоления трудностей реализации немаловажным фактором является  накопление опыта, широкое ознакомление всех специалистов с новыми  методами, а также привлечение к работе кадров, воспитанных на новых  методах.  Большое значение для развития новых направлений имеют также важые  решения о необходимости совершенствования управления хозяйством с  широким использованием математических методов и вычислительной  техники, которые в последние годы приняты нашими руководящими  органами.  Алгоритмизация предполагает создание алгоритмов ­ единых методов для решения   целого   ряда   задач.   При   этом   метод   решения   заключается   в совершении какой­то последовательности заранее определённых действий. 5 При   этом   создание   алгоритма   уже   предполагает   универсальность.   Одно время даже пытались создать единый алгоритм для решения любых задач. Универсальность   алгоритмов   имеет   определённые   ограничения.   Во­ первых,   это   их   дискретность,   т.е.   разбивка   на   шаги,   которые   нельзя пропускать; во­вторых, для ряда задач вообще нет алгоритма решения. То  есть  следует  заметить, что  математика   универсальна  не  абсолютно. При применении математических методов в различных науках наблюдается определенная специфика. 3. Моделирование При   изучении   сложных   процессов   и   явлений,   когда   проведение   опытов требует   значительных   затрат   либо   совсем   нереально,   применяется моделирование. Модель — это специально создаваемый объект, на котором воспроизводятся вполне   определяемые   характеристики   исследуемого   объекта   с   целью   его изучения,   а   моделирование   способ   отражения   рассматриваемых характеристик изучаемого объекта. Модели   могут   быть   реализованы   с   помощью   некоторых   физических (например, аэродинамическая труба для изучения обтекания воздухом крыла самолета или тренажеры для летчиков, водителей) и абстрактных объектов, описанных   выражениями   искусственного   языка   (например,   математические выражения различных физических законов). Математическое моделирование является наиболее совершенным и наиболее эффективным   методом   моделирования.   результаты исследования такой модели имеют практический интерес, если модель вполне соответствует   (адекватна)   рассматриваемому   явлению.   Для   более   полного описания   действительности   приходится   строить   более   сложные   и   точные математические модели. Экономическая   наука   давно   использует   модели.   Одна   из   первых экономических моделей  — модель воспроизводства Ф. Кене — относится к 6   Естественно, 1758   г.  Совершенствование  экономико­математических   моделей  привело   к дальнейшему   развитию   моделирования   в   экономике.   И   сейчас   ни   одна экономическая   теория   не   обходится   без   математического   описания современных экономических процессов. Одним   из   наиболее   практически   важных   вопросов   экономики   является построение хозяйственного плана на разных уровнях экономической системы — от цеха до всего хозяйства страны. Вопросы нахождения наилучшего в определенном смысле, или, как говорят, оптимального, плана играют особую роль   в   жизни   общества:   одни   и   те   же   затраты   могут   давать   различный экономический эффект в зависимости от принимаемых экономических  4.Особенности математических методов, применяемых к решению  экономических задач В   экономических   исследованиях   издавна   применялись   простейшие математические   методы.   В   хозяйственной   жизни   широко   используются геометрические   формулы.  Так,  площадь   участка   поля   определяется   путем перемножения   длины   на   ширину   или   объем   силосной   траншеи   ­ перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин. Не стоит и говорить о применении арифметики, алгебры в экономических исследованиях, это уже вопрос о культуре исследования, каждый уважающий себя   экономист   владеет   такими   навыками.   Особняком   здесь   стоят   так называемые   методы   оптимизации,   чаще   называемые   как   экономико­ математические методы. Целью  математического  моделирования  экономических  систем  является использование методов математики для наиболее   эффективного   решения задач,   возникающих   в     сфере   экономики,   с   использование,   как     правило, современной вычислительной техники.              Процесс   решения   экономических   задач   осуществляется   в несколько 7 этапов:        Содержательная (экономическая)  постановка  задачи.  Вначале  нужно осознать задачу,  четко  сформулировать  ее.  При  этом  определяются  также объекты, которые относятся к решаемой  задаче,  а  также  ситуация,   которую нужно реализовать  в  результате  ее  решения.  Это  ­  этап   содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было  описать   количественно и использовать при  ее  решении  вычислительную  технику,   нужно  произвести качественный и количественный анализ объектов  и   ситуаций,  имеющих  к  ней отношение. При  этом  сложные  объекты,   разбиваются  на  части  (элементы), определяются  связи  этих   элементов,    их   свойства,   количественные   и качественные  значения  свойств,   количественные  и  логические  соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений,  неравенств  и  т.п.  Это  ­  этап системного  анализа  задачи,  в   результате  которого   объект   оказывается представленным в виде  системы.   Следующим  этапом  является  математическая постановка   задачи,   в   процессе   которой   осуществляется    построение математической модели объекта и определение методов  (алгоритмов)   получения решения задачи. Это ­ этап системного  синтеза  (математической  постановки)  задачи. Следует заметить, что на  этом  этапе  может  оказаться,  что  ранее проведенный системный анализ привел к такому  набору   элементов,  свойств  и соотношений,  для  которого  нет  приемлемого  метода решения   задачи,   в результате приходится возвращаться к этапу системного  анализа. Как  правило, решаемые в экономической практике задачи  стандартизованы,  системный  анализ производится в расчете на известную   математическую  модель  и  алгоритм  ее решения, проблема состоит лишь в  выборе подходящего метода.       Следующим этапом является разработка программы решения задачи на   ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих  из  большого  числа  элементов,   обладающих большим числом  свойств,  может  потребоваться  составление   базы  данных  и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных   для  расчетов.  Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего  пакета прикладных программ и системы управления базами  данных.       На заключительном этапе производится эксплуатация модели  и   получение результатов.       Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:       1. Содержательная постановка задачи.       2. Системный анализ.       3. Системный синтез (математическая постановка задачи)       4. Разработка или выбор програмного обеспечения.       5. Решение задачи. 8 Последовательное использование  методов  исследования  операций  и  их реализация на  современной  информационно­вычислительной  технике   позволяет преодолеть  субъективизм,  исключить   так   называемые   волевые   решения, основанные не на строгом и точном  учете  объективных   обстоятельств,  а  на случайных  эмоциях  и  личной  заинтересованности   руководителей   различных уровней, которые к тому же не могут согласовать  эти свои волевые решения.       Системный анализ позволяет учесть  и  использовать  в  управлении  всю имеющуюся  информацию  об  управляемом  объекте,   согласовать    принимаемые решения  с  точки  зрения  объективного,  а   не субъективного,   критерия эффективности. Экономить на вычислениях при  управлении  то  же  самое,  что экономить на прицеливании при выстрелах.  Однако  ЭВМ  не   только  позволяет учесть  всю  информацию,  но  и  избавляет  управленца   от  ненужной   ему информации, а всю нужную пускает в обход человека,   представляя  ему  только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию.   Системный  подход  в  экономике эффективен и сам по себе, без  использования  ЭВМ,  как  метод  исследования, при этом он не изменяет   ранее  открытых  экономических  законов,  а  только учит, как их лучше  использовать. 5.Линейное программирование  Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума  заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в  виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам  линейного программирования.  Линейное программирование ­ наиболее разработанный и широко  применяемый раздел математического программирования. Это объясняется  следующим:   математические модели очень большого числа экономических задач  линейны относительно искомых переменных; эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;   9  для них разработаны специальные конечные методы, с помощью  которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные  программы для их решения на ЭВМ;   многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;   некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не  являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и  допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой  форме, что их можно решать методами линейного программирования.  Итак, Линейное программирование – это направление математического  программирования, изучающее методы решения экстремальных задач,  которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и  линейным критерием.  Необходимым условием постановки задачи линейного программирования  являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса,  производственную мощность предприятия и другие производственные  факторы.  Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек  наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при  определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих  систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество  решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции  F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым  планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или  минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи.  Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции  F, называется оптимальным планом задачи.  6.Задача оптимизации По своей сущности задача оптимизации – это математическая модель  определённого процесса производства продукции, его распределении,  хранении, переработки, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это  обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая  имеет множество возможных решений.  Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества вариантов наилучшего, оптимального. Задача №1 С растворобетонного узла ООО «Центральное» привозят бетон для  строительства свинокомплекса КАМАЗами – миксерами вместительностью  по 5 и 10 кубов. За один час комплекс может принять не более 10 КАМАЗов,  10 при этом не более 8 КАМАЗов по 5 кубов и не более 6 КАМАЗов по 10 кубов. Сколько КАМАЗов по 5 и 10 кубов нужно отправлять с РБУ на  свинокомплекс за 1 час, чтобы перевозить наибольшее количество бетона? Пусть за один час отправляется x КАМАЗов по 5 кубов и y КАМАЗов по 10  кубов. По условию задачи получим систему неравенств:                      x≥0,                      y≥0,                      x≤8,                      y≤6,  x+y≤10. Всего за один час перевозится 5x +10y кубов бетона. Задача свелась к  нахождению наибольшего значения линейной функции: S(x ; y) = 5x + 10y в области, заданной системой неравенств.Множеством решений данной  системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. Среди всех точек многоугольника F функция S(x ; y) = 5x + 10y принимает  наибольшее значение в вершине многоугольника (4;6). Это значение равно  S(4;6) = 5∙4 + 10∙6 = 80. Ответ: 4 КАМАЗа по 5 кубов и 6 КАМАЗов по 10 кубов бетона.   Задача №2 С полей ОАО «Голицыно» и ООО «АгроНик» на склады ОАО «Сахарный  завод «Никифоровский» нужно привести сахарную свёклу. ОАО «Голицыно»  всю свёклу может погрузить на 80 машин, а ООО «АгроНик»  на 100 машин.  Склады ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» должны принять: склад №1  – 50 машин, склад №2 – 70 машин, склад №3 – 60 машин. Количество бензина  (в литрах), которое расходует одна машина на пробег с полей до склада,  задаётся таблицей 1.   Требуется составить план перевозок сахарной свёклы, при котором  общий расход бензина будет наименьшим.  Пусть х – число машин, отправленных с полей ОАО «Голицыно» на склад №1, а у – на склад №2. Тогда план перевозок задаётся  таблицей 2.   находим общий расход бензина:  S(x;y)= 2x+4y+5(80­x­y)+4(50­x)+5(70­y)+3(x+y­20)=890­4x­3y. В таблице 2 все числа должны быть неотрицательными.                      x≥0,                      y≥0,                      80­x­y≥0,                      50­x≥0,                       x+y­20≥10,                      70­y≥0 Задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции     S(x;y)=890­4x­3y в области, заданной системой неравенств. 11 Множество решений данной системы является многоугольник F,  изображённый на рисунке. Наименьшее (и наибольшее) значение функции S(x ; y) принимает в одной из вершин многоугольника F.  Вычисляя её значение в этих вершинах, получаем: S(0;20)=830             S(50;30)=600 S(0;70)=680              S(50;0)=690 S(10;70)= 640           S(20;0)=810 Наименьшее из этих значений, равное 600, функция принимает при x=50,  у=30. Ответ: наименьший расход бензина 600 литров 7. Спрос и предложение  Процессу обмена товаров на рынке присущи свои законы. Одним из  важнейших законов рыночной экономики, управляющих процессом  товарообмена и ценообразования является закон спроса. Покупатель,  12 испытывая потребность, желает приобрести товар, однако для того чтобы это  желание реализовалось, и он осуществил свой спрос на товар, необходимо  выполнение нескольких условий: доступность товара (место продажи),  покупательская способность, определенная воля к покупке и  соответствующая окружающая социальная среда.  Таким образом, на рынке встречаются два встречных потока: покупатели,  испытывающие определенные потребности и намеревающиеся приобрести  конкретный товар, и производители (продавцы), готовые его предоставить по  определенной цене. Далеко не всегда эти встречные потоки вступают в  состояние равновесия. Как это происходит, какие факторы влияют на спрос и  предложение товаров и услуг на рынке и посвящена настоящая глава.  Задача 1  Пусть p – цена (в тыс. руб.), а q – объем продаж (в тыс. шт.). Среди  следующих зависимостей найти функции спроса и предложения. Объяснить. Решение:  Функция спроса является убывающей (при повышении цены количество  сокращается), а предложения – возрастающей (при повышении цены  количество также увеличивается). Кроме того, должны быть положительные  значения цены, при которых объем продаж положителен. Задача 2  Проанализируйте влияние описанных ниже событий на рынок компьютеров. Укажите,   как   изменится   равновесная   цена   и   объем   продаж. Проиллюстрируйте произошедшие изменения с помощью графиков.  1. В результате экономического кризиса сократились доходы населения;  2. Разорилась часть фирм, занимающихся продажей компьютеров;  3. Оба вышеперечисленных события произошли одновременно. Решение: 13 1.   Поскольку   компьютеры   принадлежат   к   числу   нормальных   товаров, сокращение доходов приводит к уменьшению спроса. Уменьшаются цена и объем продаж.  2. Разорение части фирм приводит к сокращению предложения. Уменьшается объем продаж, цена при этом увеличивается.  3. Одновременное сокращение спроса (из­за падения доходов) и предложения (из­за разорения фирм) приводит к существенному  уменьшению объема продаж,  цена   при   этом   может   незначительно   вырасти   или   упасть, однако утверждать что­то однозначно здесь нельзя.  Задача 3  Конкурент понизил цену на свою продукцию. В результате этого цена и объем продаж нашей продукции изменились на 20%. Что произошло с выручкой?  Решение:  Конкурент, понизив цену, привлек часть наших покупателей. Соответственно,  спрос на нашу продукцию сократился. Следовательно, и равновесная цена, и  равновесный объем сократились  Задача 4  Торговая сеть «Атлантида» устраивает  акцию: приобретая в определенные сроки   любой   товар,   покупатель   получает   купоны   на   сумму   30%   от   его стоимости. Этими купонами можно в следующем периоде оплатить до 20% суммы следующих покупок. Каков реальный размер скидки?  Решение:  Приобретая товар на сумму x, покупатель получает купоны на сумму 0,3x.  Купонами можно оплатить одну пятую часть новых покупок, т. е. их  максимальная стоимость составит 5*0,3x = 1,5x. Таким образом, при покупке  товаров на сумму x+1,5x = 2,5x покупатель экономит 0,3x. Размер скидки  равен 0,3x/2,5x = 0,12 = 12%. Задача 5  14 Сколько упаковок  Суточный спрос на чипсы задан функцией будет куплено по цене 30 руб.? По какой цене чипсы перестанут покупать?  При какой цене магазин получит максимальную выручку? Будет ли при этом  максимальна прибыль? Что можно посоветовать в этой ситуации  производителю?  Решение:  По цене 30 руб. будет куплено 270 – 6*30 = 90 упаковок.  Чипсы перестанут покупать, когда спрос обратится в ноль 45 руб. Выпишем функцию выручки:  максимизируем ее, найдя вершину параболы:  Прибыль при этом не будет максимальна, поскольку прибыль равна разнице  выручки и издержек, а издержки возрастают с ростом производства.  Производителю можно посоветовать в этой ситуации повысить цены. Задача 6  Пусть p – цена сноуборда (в тыс. руб.), q – объем продаж (в шт.). Июльский  спрос задан соотношением p=8­0,01q. В декабре он утроился. Определить  декабрьский спрос на сноуборды.  Решение:  Необходимо обратить внимание, что утраиваются объемы продаж, а не цены,  поэтому сначала надо переписать функцию спроса q=(8­p)/0,01=800−100p, а  затем умножить ее на 3. Получим декабрьский спрос: q = 2400 – 300p.  =  ,                 15 8.Эластичность Эластичность ­ одна из самых важных категорий экономической науки.  Впервые она была введена в экономическую теорию А. Маршаллом и  представляет собой выраженное в процентах изменение одной переменной в  ответ на выраженное в процентах изменение другой переменной. Понятие  эластичности позволяет выяснить, как происходит адаптация рынка к  изменениям его факторов. Обычно предполагается, что фирма, повышая цену  на свою продукцию, имеет возможность увеличить выручку от ее продажи.  Однако в действительности так бывает не всегда: возможна ситуация, когда  повышение цены приведет не к росту, а наоборот, к снижению выручки в силу  уменьшения спроса и соответствующего сокращения сбыта.  Поэтому понятие эластичности имеет огромное значение для производителей  товаров, т.к. дает ответ на вопрос о том на какую величину изменится  объем спроса и предложения при изменении цены.  Изучение спроса потребителей, а также мотивов, которыми они  руководствуются, совершая покупки, ­ важнейшая задача фирмы в условиях  конкуренции. Обладание как можно более полной информацией о спросе  позволяет фирме обеспечивать сбыт своей продукции, расширять  производство и успешно конкурировать на рынке. Задача 7 Эластичность спроса на «Пепси­колу» по цене «Кока­колы» равна 5. «Кока­ кола» подешевела на 10%. Как изменятся продажи «Пепси­колы»?  Решение:  Перекрестная эластичность равна отношению процентного изменения спроса  к процентному изменению цены другого товара: Таким образом, продажи «Пепси­колы» упадут на 50%. Задача   8  Мировые   цены   на   нефть   за   2007   год   выросли   на   20%.   Как изменилась выручка от продажи нефти, если ценовая эластичность спроса на нефть равна –0,25? Эластичность указана для начальной ситуации.  16 Решение:  Эластичность равна отношению процентного изменения спроса к процентному изменению цены: Выручка равна произведению цены и объема продаж: Таким образом, выручка от продажи нефти  выросла на 14%.               9. Теория потребительского поведения Потребительского поведения теория ­ теория, рассматривающая поведение  потребителей на рынке, раскрывающая механизм взаимодействия  потребностей и спроса. В основе формирования рыночного спроса лежат  решения отдельных потребителей. Эти решения продиктованы желанием  достичь наибольшей выгоды, или отдачи, или полезного эффекта, при  имеющихся затратах или возможностях. Впервые анализ соотношения  потребностей и спроса развернули представители теоретического течения,  получившего название маржинализм (от фр.marginal ­ предельный,  дополнительный). Зародилось оно во второй пол.XIX в. Такие положения и  выводы, как функция полезности, первый и второй законы Госсена, кривые  безразличия, бюджетная линия и др., сейчас встречаются во всех курсах по  экономической теории. Теория потребительского выбора основана на том, что потребитель имеет определённые индивидуальные вкусы и предпочтения, что  он ограничен в удовлетворении своих вкусов и предпочтений бюджетным  ограничением (своими доходами) и что он делает в этих условиях выбор,  обеспечивающий максимально возможную полезность. В экономической  теории рассматриваются два основных подхода к решению этого вопроса: с  т.з. теории предельной полезности (кардиналистская теория ­ от слова  "число") и с т.з. кривых безразличия (ординалистская теория ­ от слова  "порядок"). Задача 9 Школьник Дима получил от родителей 200 руб., которые планирует полностью потратить на мороженое ценой 10 руб., покупку компакт­дисков ценой 80 руб. и выходы в кино ценой 120 руб. Указать все возможные способы распределения имеющихся финансов.  Решение:  Возможными являются следующие 5 вариантов:  1. Кино (120) + CD (80).  2. Кино (120) + 8*мороженое (10).  3. 2*CD (80) + 4*мороженое (10).  4. CD (80) + 12*мороженое (10).  17 5. 20*мороженое (10).  10.Теория фирмы ТЕОРИЯ ФИРМЫ— теория поведения фирмы в различных условиях  (принципы и мотивы принятия решений о ценах, о выпуске продукции и  ценных бумаг, инвестициях, организационной структуре, приобретении  других фирм и слиянии с ними и т. д.). Она также включает рассмотрение  таких вопросов, как выбор технологии производства, рекламная  деятельность, обновление продукции, инвестиции и дивидендная политика.  Традиционные теории основываются на предположении о максимизации  прибыли и дают возможность выработки различных прогнозов цен и объемов  производства в зависимости от уровня конкуренции на том рынке, на  котором работает фирма. Современные теории фирмы делают акцент на  исторически сложившемся разделении собственности и контроля. Такое  разделение при условии несовершенства товарных рынков и рынка капитала  позволяет менеджерам фирм преследовать и иные цели, отличные от  максимизации прибыли.  Задача10. 9 бригад рабочих за 9 дней отремонтировали 9 км дороги. Сколько километров дороги 6 бригад отремонтируют за 6 дней? Ответ пояснить.  Решение:  В новой ситуации число рабочих сокращается в 1,5 раза (6 бригад вместо  9). Также в 1,5 раза (с 9 дней до 6) сокращается время работ.  Следовательно, 6 бригад за 6 дней отремонтируют 9/1,5/1,5 = 4 км  дороги. Задача11.  При   увеличении   объемов   производства   на   100%   суммарные издержки   фирмы   увеличились   на   50%.   Как   изменилась   себестоимость единицы продукции?  Решение:  18 Себестоимость единицы продукции равняется отношению суммарных  издержек к объему производства. Суммарные издержки выросли в 1,5 раза, а объем производства в 2 раза. Следовательно, себестоимость составила  1,5/ 2=0,75= 75% от прежнего уровня, т. е. сократилась на 25%. Задача12. Средняя зарплата в малой фирме, где работало 4 человека, составляла 30 тыс. руб. Как она изменилась, если фирма наняла еще одного человека с зарплатой 20 тыс. руб.  Решение:  Суммарные затраты на оплату труда в новой ситуации равны 4*30+20=140  тыс. руб. В среднем на одного человека это составляет 140/5=28 тыс. руб.  Ответ. Средняя зарплата снизилась с 30 до 28 тыс. руб. Задача13  Типография   печатает   600   альбомов   с   видами   Байкала   в   месяц. Предлагается издавать на этих же производственных мощностях глянцевый журнал.   Альтернативные   издержки   производства   альбома   равны   двум журналам.  1. Определить максимально возможный тираж журнала.  2. Если тираж журнала составляет 750 экземпляров, сколько при этом можно дополнительно напечатать альбомов?  Решение:  1. Максимально возможный тираж журнала 600*2 = 1200 экземпляров.  2.  Если   тираж   журнала  750  экземпляров,  то   производственных   мощностей остается на 1200–750 = 450 экземпляров, что соответствует 450/2 =  225 альбомам.  Задача 14 Фермер выращивает на имеющихся у него площадях 150 т огурцов и 50 т помидоров.   Альтернативные   издержки   выращивания   тонны   огурцов составляют 0,5 т помидоров. Какое максимальное количество огурцов сможет на   имеющихся   площадях   выращивать   фермер,   если   пожелает   увеличить производство помидоров до 80 т?  Решение:  Поскольку альтернативные издержки выращивания тонны огурцов  составляют 0,5 т помидоров, то альтернативные издержки выращивания  тонны помидоров составляют 1/0,5=2 т огурцов. Увеличение производства  помидоров на 80­50=30 т приведет к сокращению производства огурцов на  30*2=60 т. Следовательно, их выпуск составит 150­60=90 т. 19 11.Макроэкономика Макроэкономика – отрасль экономической науки, изучающая поведение  экономики, как единого целого с точки зрения обеспечения условий  устойчивого экономического роста, полной занятости ресурсов и  минимизации уровня инфляции. Конечно, следует признать, что сегодня строгого разграничения на макро­ и микроэкономику   уже   не   существует   —   мы   наблюдаем   их   своеобразную «диффузию».   Тем   не   менее   можно   перечислить   проблемы,   которые традиционно относятся к макроэкономическим: 1) проблема занятости;                                                                                             2) величина производимого национального дохода;                                                3) динамика делового цикла;                                                                                     4) природа инфляции;                                                                                                 5) мировое хозяйство;                                                                                                 6) экономический рост.  Задача 15 20 Инфляция за 2007 год составила 15%. По прогнозам правительства, в 2008 году она составит 12,5%, а в 2009 году – 12%. На сколько процентов, по прогнозам, вырастут цены за 3 года?  Решение:  Цены за 3 года вырастут в 1,15*1,125*1,12 = 1,449 раза, т. е. на 44,9%. Задача 16  Указать, что из перечисленного войдет в состав ВВП России текущего года:  1. На 1 млн. руб. произведен материал для пошива костюмов.  2.   Перед   новым   годом   фирма   сшила   100   костюмов,   которые   собирается продать в следующем году.  3.   Фирма   купила   на   2000   руб.   российских   конфет   для   подарков   своим сотрудникам.  4. Российские специалисты строят атомную электростанцию в Индии.  5. «Альфа­банк» приобрел контрольный пакет акций «Бета­банка».  Решение:  1. Не войдет, т. к. материал не является готовой продукцией.  2. Войдет, т. к. продукция входит в ВВП по году производства.  3.  Войдет, т. к. продана конечная продукция, произведенная на территории России.  4. Не войдет, т. к. работы проводятся за пределами России.  5. Не войдет, т. к. любые финансовые сделки не входят в состав ВВП.  Задача 17 Банк выплачивает 10% годовых. По итогам двух лет клиент получил в виде процентов   8400   руб.   прибыли.   Какую   сумму   он   для   этого   должен   был положить на счет?  Решение:  Банк, выплачивая 10% годовых, увеличивает за 2 года сумму, положенную на  счет в  1,12 =1,21 раза, т. е. на 21%, что и составляет 8400 руб. 0,21x=8400, x = 40 000 руб. Задача 18 Минимальная потребительская корзина в Испании стоит 300 евро. Сколько стоит   эквивалентная   корзина   в   России,   если   номинальный   обменный   курс равен 40 руб./евро, а реальный обменный курс (величина, показывающая, во сколько раз цены в рассматриваемой стране меньше, чем в США) для Испании равен 1,5, а для России равен 1,8?  Решение:  Эквивалентная потребительская корзина в США будет стоить 300*1,5 = 450  евро, а в России 450/1,8 = 250 евро. Переведем сумму по курсу и получим  250*40 = 10 000 руб.  21 Заключение Как   можно   было   заключить   из   вышеизложенного,   математические   методы имеют   большую   степень   универсальности.   Основой   этой   универсальности является   язык   математики.   Если   исследователи   различных   специальностей часто говорят об одной и той же проблеме совершенно по­разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать уже практически  готовое решение, полученное ранее где­то в другой отрасли   знаний   и   для   других   целей.   То   есть   предпосылкой   использования математики   является  формализация   количественных   и   качественных сторон проблемы. 22 В результате рассмотренных задач я увидела математические методы такие  как  проценты  убывающая и возрастающая функции  обыкновенные дроби  десятичные дроби  пропорции  линейная и квадратичная функции  прямая и обратная пропорциональности  В заключение, хотелось бы высказать уверенность, что применение  математических методов в экономике, оправдает те надежды, которые на него возлагаются, внесет существенный вклад в экономическую теорию и  хозяйственную практику.  Несмотря на указанные трудности, я смотрю оптимистически на возможность  широкого распространения математических методов в экономике, в  особенности оптимизационных методов в управлении экономикой на всех  уровнях. Нет сомнения в возможности значительного повышения качества  экономической работы, достижения лучшего использования ресурсов,  повышения роста национального дохода и жизненного уровня за счет этого.  Список литературы 1. Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием:  пособие /. — Минск : Новое знание, 2008.—264 с.  23 2.Куликов Л. М. Основы экономических знаний: Учеб. пособие. ­ М.: Финансы и статистика, 1999. ­ 272 с.: ил.  3.Симонов А.С. Экономика на уроках математики. ­ М.: Школа­Пресс, 1999. 4. Филатов А. Ю. Задачи иркутских олимпиад по математической экономике  2007–2009 годов с решениями: сб. задач. – Иркутск: Изд­во Иркут. гос. ун­та,  2009. – 32 с.  5. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в  управлении. М.: Дело, 2000. ­ 640 с. 6. Математика, приложение к газете «1 сентября» 2007год, № 21­ 49с. 24