Материал для подготовки к ЕГЭ по математике профильного задания №19

Задание №19 Числа и их свойства 1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88? в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр? 2. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  ─  0,5 очка, за про игрыш  ─  0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды. а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2. б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10. в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки? 3. Наибольшее целое число, не превосходящее число x, равно   Найдите все такие значе­ ния x. 4. Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из по­ лученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полу­ ченных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 5. Найдите   все   тройки   натуральных   чисел k,   m и n,   удовлетворяющие   уравне­ нию  6. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 2m − 3n = 1. 7. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1. 8. Найдите все пары   целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:     9. Найдите все пары   целых чисел, удовлетворяющие системе:   10. Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наимень­ шее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий де­ литель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом ни­ какого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.   11. Перед каждым из чисел 5, 6, ..., 10 и 12, 13, ..., 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 12. Решите в натуральных числах уравнение  Примечание. Для натурального   символом   обозначается произведение  13. Решите в натуральных числах уравнение Примечание.  символом  Для натурального  14. Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях?  обозначается произведение  15. Решите в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2, где n! = 1∙2∙...∙n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. 16. Решите в натуральных числах уравнение  17. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.  где  а) Может ли выполняться равенство  б) Может ли дробь   быть в 11 раз меньше, чем сумма  в) Какое наименьшее значение может принимать дробь   если  18. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные числа.  и  а) Может ли выполняться равенство  б) Может ли дробь   быть в 11 раз меньше, чем сумма  в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  19. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900? в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235. 20. Даны n различных   натуральных   чисел,   составляющих   арифметическую   прогрес­  если   и  сию  а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500? в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57. 21. Пусть q —   наименьшее   общее   кратное,   а d —   наибольший   общий   делитель   натуральных чиселx и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29. а) Может ли   быть равным 170? б) Может ли   быть равным 2? в) Найдите наименьшее значение  22. а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с . одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одина­ ковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырех различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. 23. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа. а) Может ли выполняться равенство  б) Может ли дробь   быть в 11 раз меньше, чем сумма  в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  24. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.  если   и  а) Может ли выполняться равенство  б) Может ли дробь   быть в 11 раз меньше, чем сумма  в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  25. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.  если   и  а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016? в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счаст­ ливого четырёхзначного числа. 26. а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99? б)   Конечная   арифметическая   прогрессия   состоит   из   шести   натуральных   чисел.   Сумма наибольшего   и   наименьшего   членов   этой   прогрессии   равна   9.   Найдите   все   числа,   из   которых состоит эта прогрессия. в)   Среднее   арифметическое   членов   конечной   арифметической   прогрессии,   состоящая   из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии? 27. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d. а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2 − b2 + с2 − d2 = 27. б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2 − b2 + с2 − d2 = 19? в)   Пусть a   +   b   +   с   +   d = 1000   и a2 − b2 + с2 − d2 = 1000.   Найдите   количество   возможных значений числа a. 28. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d. а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2 − b2 + с2 − d2 = 19. б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a2 − b2 + с2 − d2 = 23? в)   Пусть a   +   b   +   с   +   d = 1200   и a2 − b2 + с2 − d2 = 1200.   Найдите   количество   возможных значений числа a. 29. Четыре натуральных числа   таковы, что     а) Могут ли все числа быть попарно различны? б) Может ли одно из этих чисел равняться 9? в) Найдите все возможные наборы чисел, среди которых ровно два числа равны. 30. Про   три   различных   натуральных   числа   известно,   что   они   являются   длинами   сторон некоторого тупоугольного треугольника. а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25? 31. По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1? б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны? в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться? 32. Коля   множил   некоторое   натуральное   число   на   соседнее   натуральное   число,   и   получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное на­ туральное число и получил произведение, равное n. а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6? б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13? в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n? 33. На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность больше­ го и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k? 34. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По ста­ рой   системе   оценивания   рейтинг   кинофильма   —   это   среднее   арифметическое   всех   оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: от­ брасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое остав­ шихся оценок. а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равнять­ ся  б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания рав­ няться  в)   Найдите  наибольшее   возможное   значение   разности   рейтингов,   вычисленных   по  старой   и новой системам оценивания. 35. На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по ито­ гам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно. а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38? б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы? в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не измени­ лось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно? 36. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел  знаменатель которой меньше   В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью,  Найдите наименьшее возможное значение  . 37. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого одно­ значного натурального числа   В результате получается рациональное число. Найдите это число. 38. Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел   и  . 39. Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число а, что дробь   можно сократить на b. 40. Длины сторон прямоугольника  ― что   длина   одной   стороны   прямоугольника   равна n%   от   длины   другой   стороны,   где n  натуральное число.  натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно,   также ― а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100. 41. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа. 42. а)   Чему   равно   число   способов   записать   число   1292   в  где   числа   — виде  целые,    виде  целые,    б)   Существуют   ли   10   различных   чисел   таких,   что   их   можно   представить   в  где   числа   — ровно 130 способами? в)   Сколько   существует   чисел   N   таких,   что   их   можно   представить   в виде  целые,   где   числа   — ровно 130 способами? 43. Несколько   экспертов   оценивают   несколько   кинофильмов.   Каждый   из   них   выставляет оценку   каждому   кинофильму — целое   число   баллов   от   1   до   10   включительно.   Известно,   что каждому   кинофильму   все   эксперты   выставили   различные   оценки.   Рейтинг   кинофильма   —   это среднее   геометрическое   оценок   всех   экспертов.   Среднее   геометрическое   чисел    равно  Оказалолсь, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа. а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов? б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма? в)  При  каком  наибольшем  количестве  экспертов  описанная  ситуация   возможна  для одного кинофильма? 44. а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одина­ ковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти раз­ личных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. 45. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 46. Среди   обыкновенных   дробей   с   положительными   знаменателями,   расположенных   между числами   и   найдите такую, знаменатель которой минимален. 47. Найдите все такие пары натуральных чисел  приписать справа десятичную запись числа  и  на   и  , что если к десятичной записи числа  , то получится число, большее произведения чисел    48. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из кото­ рых использованы все цифры от 0 до 9? 49. Произведение всех делителей натурального числа   оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число  ? 50. Ученик   должен   перемножить   два   трехзначных   числа   и   разделить   их   произведение   на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа. 51. Найдите несократимую дробь  52. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятич­ ной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.  такую, что  . а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём. б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111? в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа. 53. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одина­ ковой суммой чисел. а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим? б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим? в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}? 54. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одина­ ковой суммой чисел. а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим? б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим? в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? 55. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:  а) 99; б) 101; в) 100.  56. Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1,b2, ..., bn, ... состоят из нату­ ральных чисел. а) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел   и   ­ различные нату­ ральные числа? б) Существуют ли такие прогрессии, для которых среди чисел   и   ­ различные нату­ ральные числа? в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  различные натуральные числа? , если известно, что   и   ­ 57. Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в)   Даны   12   различных   чисел   (необязательно   натуральных).   Какое   наибольшее   количество отличных троек могло оказаться среди них? 58. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5). а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске окажется числом 19. б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200? в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? 59. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа,   сумма   которых   меньше   35   и   отлична   от   каждой   из   сумм   троек   чисел,   стёртых   на предыдущих ходах. а) Приведите пример последовательных 5 ходов. б) Можно ли сделать 10 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать? 60. Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр. а) Приведите пример числа, для которого это частное равно  б) Может ли это частное равняться  в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27? 61. По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное. а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных. б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных. 62. Решите в целых числах уравнение  63. Три   различных   натуральных   числа   являются   длинами   сторон   некоторого   тупоугольного треугольника. а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно  в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18? 64. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа. б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа? в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа. 65. Шесть  различных  натуральных   чисел  таковы,  что никакие  два из  них  не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39? б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34? в) Какова их минимальная сумма? 66. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140. а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016? в)   Найдите   наименьшее   нечётное   число,   для   которого   не   существует   кратного   ему   очень счастливого четырёхзначного числа. 67. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одина­ ковым произведением чисел. а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим? б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим? в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}? 68. Дано   квадратное   уравнение   где a, b и c —   натуральные   числа,   не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2. а) Может ли такое уравнение иметь корень –7? б) Может ли такое уравнение иметь корень –53? в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение? 69. Дано   квадратное   уравнение   где a, b, c —   натуральные   числа,   не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2. а) Может ли такое уравнение иметь корень 9? б) Может ли такое уравнение иметь корень 135? в) Какой наибольший целый корень может иметь такое уравнение? 70. Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1. а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15. б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M? в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника? 71. Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен: А) 1989? Б) 2012? В) 2016? Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.