Материалы к изучению темы " Решение линейных уравнений с параметром"

Задачи  к изучению темы «Решение  линейных уравнений  с параметрами» МБОУ   СОШ  № 10 Г. Новороссийск Учитель математики Волкова О.А. 1 Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных  задач курса элементарной математики. Их решение по существу  представляет собой исследование функций, входящих в условие  задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с  числовыми коэффициентами. Решение задач с параметрами – это  очень трудный материал, требующий большого количества времени;   кроме того, на мой взгляд,  прежде чем приступать к решению задач с  параметрами учащиеся должны овладеть общим курсом математики. При изучении данной темы использована блок­ схема для более  наглядного представления анализа данных входящих в линейное  уравнение с параметрами. Предложенный материал может быть использован учителем для  проведения традиционного урока при изучении данной темы или с  использованием показа слайда при разборе решения или проверке  решения, при медленной скорости показа решение и показ можно  вести параллельно. 2 Рассмотрим уравнение Ах=В. Значение параметра А может быть не  равным нулю, тогда уравнение имеет единственное решение  . В А х  Если же параметр А=0, возникают два вопроса о значениях параметра В:  1) если В=0, то уравнение примет вид  , значит х может быть любым  0 х 0 действительным числом; 2) если В≠0. то уравнение примет вид  корней. , значит уравнение не имеет  Вх 0     Ах=В да нет (А≠0)   А=0 х  В А В=0 нет (В≠0)  0∙х=В Решений нет х  В А 0∙х=В 0∙х=0 Х – любое  действительное  число Ответ: 1) при А=0 и В=0, х – любое действительное число             2) при А=0 и В≠0 ­  нет решений 3 3) при А≠0 – единственное решение  . А х  В А Применим рассмотренный алгоритм к следующим уравнениям. Задача №1. m(mx­1)=3(mx­1) 1) Приведем уравнение к виду Ах=В, для этого раскроем скобки и члены  содержащие х перенесем в левую часть 1) Приведем уравнение к виду Ах=В, для этого раскроем скобки и члены  содержащие х перенесем в левую часть m2x­3mx=m­3 (m2­3m)x=m­3 m(m­3)x=m­3 2) При m(m­3)≠0, т.е.при m≠0  и m≠3 в уравнении единственное решение x   m  mm 3 3  x 1 m 3) если m=0, получим уравнение 0∙х= ­ 3, в котором нет решений 4) если m=3, получим 0∙х=0 В уравнении бесконечное множество решений Ответ: при m≠0  и m≠3 единственное решение  x 1 m             при m=0 нет корней 4 при m=3 бесконечное множество решений. Задача № 2. (2а­1)х=3а+(а+2)х Члены содержащие х перенесем в левую часть (2а­1)х­(а+2)=3а (2а­1­а­2)х=3а (a­3)x=3a 1) при а≠3 единственное решение  х  3 а  а 3 2) при а=3, получим 0∙х=9 нет корней 3) при а=0, получим ­3х=0 х=0 – единственное решение. Ответ:  при а≠3 единственное решение               при  а=3 – нет корней. х  3 а  а 3 Задача № 3.  (ab+2)x+a=2b+(b+2a)x Перенесем члены, содержащие х влево, а не содержащие вправо (ab+2)x­(b+2a)x=2b­a (ab+2­b­2a)x=2b­a Разложим на множители выражение в правой части уравнения 5 (ab­b+2­2a)x=2b­a (­b(1­a)+2(1­a))x=2b­a (1­a)(2­b)x=2b­a (a­1)(b­2)x=2b­a 1) при а≠1 и b≠2 – единственное решение  х   ab 2    b 1  a 2 2) при а=1 0∙х=2b­1, если при этом а) 2b­1=0, т.е.  , получим 1b 2               0∙х=0               х – любое число , получим б) при  1b 2     0∙х=2b­1     нет корней 3) при b=2     получим  0∙х=4­а а) 4­а=0     а=4, получим   0∙х=0,   х – любое число б) а≠4, получим    0∙х=4­а,   нет решений 4) а=1, b=2, получим  0∙х=3  нет решений Ответ:  1) при а≠1 и b≠2 – единственное решение  х – любое число 2) при   1  b ,1 2   ,4 b 2     а a х   ab 2    1 b  a 2 6 нет решений         3) при   1  ,1 b 2   ,4 2 b  b ,1 2 а a a        1  ,1 b 2   ,4 2 b  b ,1 2 а a a        Задача № 4. а2х­2а2+3=х+а Перенесем члены, содержащие х в левую часть уравнения а2х­х=2а2+а­3 и разложим на множители (а2­1)х=2(а­1)(а+1,5) 1) при а≠1 и а≠­1   5,1 1   а 1  1 а  ­ единственное решение х  2  а  а   х  2 а а  3  1 2) при а=1, получим 0∙х=0 х – любое число при а=­1, получим 0∙х=­4∙0,5 нет корней Ответ: при а≠1 и а≠­1, единственное решение  х  2 а а  3  1             при а=1, х – любое число             при а=­1 – нет решений Задача № 5.   ax  b 3 x ab  2 3  1 2 Умножим уравнение на 6, получим 6 ах  6 b   32 x  2 ab   3  4 6 ах  6 b 6 ах  6 х  x 6  b 63  и приведем его к виду Ах=В ab   3 4 ab 7 b 63  x a  1   6 1) при а­1≠0  4 ab             а≠1 единственное решение  x  ab  63 b  a 6   4 1 2) при а=1, получим 0∙х=3­6b+4b 0∙х=3­2b a) при 3­2b≠0               нет решений б) при 3­2b=0                   х – любое число 3b 2 3b 2 Ответ:  1) при а≠1 единственное решение  x  ab  63 b  6 a   4 1 2) при а=1 и  3) при а=1 и  3b 2 3b 2   нет решений   х – любое число Задача № 6.   2 а  1 х  а  3  х  1 7 а Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю  2  1 а х  а   2 а  3  х  0  1 7 а  7  0 х   1 а  1 х   3 а 1) при а=0 уравнение не имеет корней 2) при а≠0  8 а  0 х  х а    1  1  3  7 2 2ах+2х­3ах­3а­7=0 2х­ах=7+3а (2­а)х=7+3а а) при а≠2  х   37 а  2 а б) при а=2 получим    0∙х= 13, в уравнении нет корней Ответ:  при а=0 или  а=2 – нет корней              при а≠0 и а≠2    х   37 а  2 а  единственное решение Задача № 7.  mx  x 3 m  7 m    2 x 8 m Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю 2 xm  3 mx  2 7 m  28 mx  0  m  0 2 1) при m=0 нет корней 2) при m≠0 получим    2 mx 3 m xm 28 7   2 2 mx 3 2 x m xm m 7      2 2 3 m 2 mx m 7 m        m m m 1 3 mx 1 а) при m≠1, m≠­3 x       mx  8 8 8   m m      8 3  1 m  m 1  ­ единственное решение x  m m   8 3 б) при m=1 получим 0∙х=0 – х любое число в) при m=­3 0∙х=­4.5 нет решений Ответ:  1) при m≠0, m≠1, m≠­3 9 Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю единственное решение  8 3 2) при m=0 или m=­3 нет корней 3) при m=1 х­ любое число m m  x   Задача № 8.    2 mx 9 x 3    2 m 3  x 3  m x   5 3   x x  3 5  2  5  3  0  0 5 3    3   m mx  0  0   mx 3      x 3 3 x    2 m 3 mx  m 2 m 3   x 3 x       3 3 x      3 x 3 x        m 3 x 3 m       3 3 x x  1) упростим уравнение x−3m−2mx+6m−3x+9−mx−3m+5x+15=0 x−2mx−3x−mx+5x=3m−6m−9+3m−15 −3mx+3x=−24 x−mx=−8 mx−x=8 (m−1)x=8 Получим { (m−1)x=8 x≠3;x≠−3 а) при  m=1 имеем 0∙х=8 нет корней б) при m≠1 x= 8 Проверим не равен ли полученный ответ 3 или ­3 m−1  ­  единственное решение. 8 m−1 ≠3    8 m−1 ­3(m­1)≠8 ­3m+3≠8 ­3m≠5 m≠−5 3 3(m­1)≠8 3m­3≠8 3m≠11 m≠11 3 Ответ: 1) при   m≠11 3 ;  m≠−5 Единственное решение   x= 8 m−1 3 ; m≠1 ≠−3 10 2) при  m=11 Нет решений 3 ;  m=−5 3 ; m=1 Задача № 9.  x = 1 2b a−b− 1 a+b a−b+ 1 Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю 2b x − 1 2b(a2−b2)−x(a+b)+x(a−b) a+b=0 x(a−b)(a+b) =0 1) при х≠0, а≠b, а≠­b получим 2) 2b(a2−b2)−x(a+b)+x(a−b)=0 x(a+b)−x(a−b)=2b(a2−b2) x(a+b−a+b)=2b(a2−b2) 2bx=2b(a2−b2) а) b≠0  x= 2b(a2−b2) 2b                        x= a2−b2  ­ единственное решение б) при b=0 получим                      0∙х=0 х – любое число, кроме нуля 2) при а=b и а=­b знаменатель равен нулю и следовательно нет решений Ответ: 1) при а≠b, а≠­b, b≠0 единственное решение х= a2−b2 2) при а=b и а=­b нет корней 3) при b=0 х – любое число, кроме нуля Задача № 10.  Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю (m+2)(x2−9) = 2m+1 (m+2)(x−3) − 5 x+3 3mx−5 3mx−5 (m+2)(x−3)(x+3) − 2m+1 (m+2) (x−3) + 5 x+3=0 3mx−5−(2m+1)(x+3)+5(m+2) (x−3) (m+2)(x−3) (x+3) =0 1)  при m=­2, знаменатель  равен нулю, следовательно – нет корней 2) при m≠­2, получим 11 {3mx−5−(2m+1)(x+3)+5(m+2) (x−3) (x−3)(x+3)≠0 Приведем уравнение к виду Ах=В 3mx−5−2mx−6m−x−3+5mx−15m+10x−30=0 6mx+9x=38+21m (6m+9)x=38+21m , получим систему {(6m+9)x=38+21m (x−3)(x+3)≠0 т. е. х≠3   х≠­3 а) при 6m+9=0             m=­1,5 уравнение имеет вид             0∙х=­6,5 в уравнении нет корней б) при m≠­1,5   х=21m+38 6m+9 3) проверим не равен ли полученный корень 3 или ­3 а)  21m+38≠18m+27 3m≠­11 11 m≠­ 3 21m+38 6m+9 ≠3 ≠−3 21m+38 6m+9 б)  21m+38≠­18m­27 39m≠­65 m≠−65 39 m≠−5 3 11 3 ; m=­1,5 Ответ: 1) при m=­2; m=­ нет решений 2) при m≠­2; m≠­ Единственное решение  х=21m+38 6m+9 11 3 ; m≠­1,5   Задача № 11.  m= 1 m+ m−1 m(x−1) Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю 12 m+ m−1 m− 1 m(x−1) =0 m2(x−1)−x+1−m+1 m(x−1) =0 1) при m=0 в уравнении нет корней 2) при m≠0, получим систему {m2(x−1)−x−m+2=0 x−1≠0 а) приведем уравнения в виду Ах=В m2x−m2−x−m+2 =0 m2x−x=m2+m+2 (m2−1)x=(m−1) (m+2) (m−1)(m+1)x=(m−1)(m+2) Получим систему {(m−1)(m+1)x=(m−1)(m+2) х≠1 б) при  m≠1, m≠­1 х= (m−1) (m+2) (m−1) (m+1) х=m+2 m+1 в) проверим,  не равен ли полученный корень 1 ≠1 (m+2) (m+1) m+2−m−1 m+1 ≠0 1 m+1 ≠0   при любом m г) при m=1, получим 0∙х=0 х – любое число д) при m=­1, получим 0∙х=2  нет корней Ответ: 1) при m≠0, m≠1, m≠­1 Единственное решение  х=m+2 m+1 2) при m=0, m=­1 нет решений 13 3) при m=1 х – любое число, кроме 1. 14