Материалы к уроку геометрии в 8 классе "Дополнительные свойства параллелограмма"

«Не знающий геометрию
да не войдет
в Академию»

Платон

«Ни тридцать лет, ни тридцать столетий
не оказывают никакого влияния на ясность и красоту геометрических
истин»

AB || DC;
AD || BC => ABCD - параллелограмм

Определение. Параллелограмм -

четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Параллелограмм –
«параллелос» - идет рядом;
«грамм» - линия, черта (по Евклиду)

Свойства параллелограмма

1) Противоположные стороны параллелограмма равны

2) Противоположные углы параллелограмма равны

3) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения
пополам

ABCD - параллелограмм

Распечатка, задача 1

Распечатка, задача 9

Найдите углы параллелограмма.
Расскажите все о данном параллелограмме.

Распечатка, задача 1

Распечатка, задача 9

Найдите углы параллелограмма.
Расскажите все о данном параллелограмме.

Свойство параллелограмма

Свойство параллелограмма

Диагональ параллелограмма делит его
на два равных треугольника

Свойство параллелограмма
(докажем позже)

Диагонали параллелограмма
делят его
на четыре равновеликих треугольника

Назовите на чертеже параллелограммы и найдите их углы

Дополнительные свойства
углов параллелограмма

1). Сумма углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов

2). Сумма всех углов параллелограмма
равна 360 градусов

Распечатка, задача 9

Дополнительное свойство параллелограмма

А) Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону СD в точке L. Найдите периметр этого параллелограмма, если СL = 30 см, LD=12 см.
Б) Биссектриса угла В параллелограмма АВСD пересекает сторону СD в точке L, а прямую АD в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если СL = 30 см, АК=36 см.
В) Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма, равную
30 см в отношении 1 : 2.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него или его продолжения равнобедренный треугольник

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

В параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

Дано:ABCD - параллелограмм;AE и DF - биссектрисы

Доказательство:

В параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны

1) Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник =>

=> ADF – равнобедренный треугольник с основанием DF

2) AO – биссектриса, медиана и высота к основанию в равнобедренном треугольнике =>

О

В параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны

Доказательство:

О

Будут ли пересекаться биссектрисы, проведенные из противоположных углов параллелограмма?

В параллелограмме биссектрисы противоположных углов параллельны

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

(или совпадают)

Дано: АВСD - параллелограммAE и CF – биссектрисы

Доказать: AE || FC (AE совпадает с FC )

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

A

B

C

D

F

E

1

2

5

3

4

Доказательство:

Доказать: AE || FC

Дано:ABCD параллелограмм;AE и CF - биссектрисы

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

Биссектрисы углов, проведенные из всех вершин параллелограмма, пересекаясь, образуют
параллелограмм (прямоугольник)

A

B

C

D

Е

F

Свойство биссектрис углов
параллелограмма

Дано: АВСD – параллелограмм
EF//АВ
АВ=4м, АЕ=2м

Найти: РАВFE-?

М

К

Дополнительное свойство параллелограмма

М

К

Дополнительное свойство параллелограмма

Найдите тупой угол параллелограмма, если его
градусная мера в 8 раз больше градусной меры
угла между высотами, проведенными из вершины
этого угла.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма

Дополнительное свойство параллелограмма

Дано: ABCD параллелограмм;AE и AF - высоты

Доказать, что <1 = <2

3) Имеем: <2 = 180о – α,<1 =180о – α. Значит, <1 = <2, ч.т.д.

2) Т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180о, тогда <2 + <2 = 180о – α.

α

Дополнительное свойство параллелограмма

В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам

Дополнительное свойство параллелограмма

Свойства параллелограмма

3)Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника

1) Противоположные стороны параллелограмма равны

2) Противоположные углы параллелограмма равны

4) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения
пополам

5) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной
стороне, равна 180 градусов

6) Сумма всех углов параллелограмма
равна 360 градусов

10) Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих
к одной стороне, перпендикулярны

Свойства параллелограмма

7) Прямая, пересекающая противоположные стороны параллелограмма и параллельная другим его сторонам,
отсекает от него параллелограмм

8) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него или
его продолжения равнобедренный треугольник

9) Биссектрисы противоположных углов параллелограмма
параллельны или совпадают

11) В параллелограмме биссектрисы всех углов высекают
параллелограмм (прямоугольник)

Свойства параллелограмма

12-1) Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

14) Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делят его
на четыре равновеликих треугольника

13) В параллелограмме отрезок с концами на
противоположных сторонах, проходящий через точку
пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам

12-2) Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

15) Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме
Квадратов его сторон

Домашнее задание.
Повторить с «карандашом в руке» дополнительные свойства параллелограмма.
2) Все свойства уметь доказывать.
3) Решить задачи, используя основные и дополнительные свойства параллелограмма