Матрицы и действия над ними

Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов.

Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.

Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец.

Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка.

Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.

Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.

Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0.

Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера, то есть имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. При сложении матриц соответствующие их элементы складываются.
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами.

Умножение матрицы на число. Для этого необходимо умножить каждый элемент матрицы на данное число.

Пример 2.

Умножение матриц. Для произведения матриц существуют следующие свойства:
Умножать можно матрицы, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
В результате получится матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
Умножение матриц некоммутативно. Это значит, что от перестановки местами матриц в произведении результат меняется. Более того, если можно посчитать произведение A∙B, это совсем не означает, что можно посчитать произведение B∙A.

Умножение матриц: Чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i-ой строки матрицы А умножить на все элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Пример 3.