Матрицы и определители

Информатика, линейное программирование. Презентация предназначена для изучения теоретического материала в элективном курсе для старшеклассников "Вычислительные методы" . Практику можно реализовать на языке программирования или в приложении Excel. В презентации даются основные понятия: матрицы, определители, свойства определителя, метод триангуляции, обратная матрица и др. необходимые для решения систем линейных уравнений.Презентация Microsoft Office PowerPoint, 671 Кб, 39 слайдов.

Матрицы и определители

Матрицы и определители Теоретический материал для элективного курса «Вычислительные методы»

Матрицы и определители

Теория матриц Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: aij , где i номер строки, jномер столбца.

Матрицы и определители

Теория матриц Например, матрица A размера mxn может быть представлена в виде: A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn = [aij] Где i = 1,…,m ; j = 1,…,n.

Матрицы и определители

Теория матриц Сокращенная запись матрицы: A= [ aij ] Где i = 1,…,m ; j = 1,…,n.

Матрицы и определители

Теория матриц Если в матрице m не равно n ( т.е. число строк не равно числу столбцов), то матрица называется прямоугольной. Если m = n, то матрица называется квадратной.

Матрицы и определители

Теория матриц Если матрица имеет только одну строку, т.е. m =1, то матрица называется матрицейстрокой или векторомстрокой. Например A=[a11,a12,a13,…,a1n] или A=[1,2,3,4]

Матрицы и определители

Теория матриц Если матрица имеет только один столбец, т.е. n =1, то матрица называется матрицейстолбцом или векторомстолбцом. Например: A= a11 a12, a13 a1n … или A= 1 0 4 5

Матрицы и определители

Теория матриц Матрицустолбец или Матрицустроку будем называть вектором и обозначать X=[X1,X2,X3,…,Xn] или Числа X1,X2,X3,…,Xn называются элементами, или координатами вектора. Так как число координат вектора есть, по определению, его размерность, то вектор X является nмерным. X= X1 X2, X3 Xn …

Матрицы и определители

Теория матриц Если в матрице A типа mxn поменять местами строки и столбцы, то получится матрица типа nxm, которая называется транспонированной по отношению к матрице А A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn A′ = a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 … … … … a1n a2n … amn

Матрицы и определители

Теория матриц A′ является транспонированной по отношению к матрице А 1 2 1 3 4 3 A′ = 2 0 2 A= 5 2 4 1 2 3 5 2 0 4 3 1 2 3 4 Типа 3х4 Типа 4х3 Транспонирование матрицыстолбца даёт матрицустроку и наоборот.

Матрицы и определители

Теория матриц Квадратную матрицу A размера m=n можно записать в виде: A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann Для квадратной матрицы общее число строк или столбцов называется порядком матрицы.

Матрицы и определители

Теория матриц Главной диагональю квадратной матрицы A называется диагональ, проходящая через верхний левый и нижний правый угол, т.е. совокупность элементов вида aii, где i =1,2,3,…n A= a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

Матрицы и определители

Теория матриц Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. A= a11 0 0 0 0 0 0 0 a22 0 0 … 0 ann 0 0

Матрицы и определители

Теория матриц Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называется единичной. En= 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 … 0 1 0 0 Единичная матрица обозначается символом En. Индекс n указывает на порядок единичной матрицы. В матричном исчислении единичная матрица играет роль единицы.

Матрицы и определители

Теория матриц Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. Omxn= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0

Матрицы и определители

Теория матриц Квадратная матрица, в которой все элементы расположены симметрично относительно главной диагонали, называется симметричной. Для симметричной матрицы имеет место aij=aji. A = 1 2 4 2 3 5 4 5 6

Матрицы и определители

Теория матриц Две матрицы A=[aij] и B=[bij] называются равными, если 1) они одного и того же типа (т.е. число строк матрицы А равно числу строк матрицы В, и число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В) 2)Соответствующие элементы этих матриц равны между собой. a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn b11 b12 … b1n b21 b22 … b2n … … … … bm1 bm2 … bmn B = То есть, если aij =bij (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n), то А=В. A=

Матрицы и определители

С квадратной матрицей связан определитель (детерминант) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ A= [ aij ] a12 … a1n a11 a22 … a2n a21 … … … … an1 an2 … ann detA = |A| = Порядок определителя соответствует порядку матрицы. Определитель матрицы есть число, вычисляемое по некоторым правилам.

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ detA = |A| = a12 … a1n a11 a22 … a2n a21 … … … … an1 an2 … ann Главная диагональ определителя состоит из элементов aii, i=1,2,…n Побочная диагональ проходит перпендикулярно главной из верхнего правого угла определителя в нижний левый.

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА detA = detA = a11 a12 a21 a22 1 4 2 5 = a11* a22 – a21* a12 = 5 – 8 = 3

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА a12 a22 a13 a11 a23 a21 a31 a32 a33 detA = = a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a13 + a12 * a23 * a31 a31 * a22 * a13 – a21 * a12 * a33 a11 * a32 * a23 Перемножаются три элемента по одному из каждой строки и каждого столбца, произведения берутся с определёнными знаками:

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА a12 a22 a13 a11 a23 a21 a31 a32 a33 detA = = a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a13 + a12 * a23 * a31 a31 * a22 * a13 – a21 * a12 * a33 a11 * a32 * a23 Со знаком + берутся произведение элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА a12 a22 a13 a11 a23 a21 a31 a32 a33 detA = = a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a13 + a12 * a23 * a31 a31 * a22 * a13 – a21 * a12 * a33 a11 * a32 * a23 Со знаком берутся произведение элементов побочной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Матрицы и определители

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1 4 2 2 5 1 3 1 2 detA = = 1*5*2 + (4)*1*3 +2*(1)*2 2*5*3 (4)*2*2 1*(1)*1 =10 12 4 30 + 16 + 1= 19

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 1. При транспонировании определитель не меняется.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 2. Если одна из строк или один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 3. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца равен нулю.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя умножить на число K ≠ 0, то сам определитель умножится на это число.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, равен нулю.

Матрицы и определители

7. Если все элементы iй строки определителя nго порядка представлены в виде aij =bij + cij (j=1,2, …,n), то данный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки кроме iй , такие же, как и в заданном определителе, а iя строка в одном определителе состоит из элементов bij, а в другом из элементов cij .

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 8. Если одна из строк определителя представляет сумму других строк или сумму произведений других строк определителя на число K, то определитель равен нулю.

Матрицы и определители

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ (ПРОВЕРИТЬ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ) 9. Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк (или столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Матрицы и определители

Обратная матрица Матрица называется обратной, по отношению к данной, если её умножение, как справа, так и слева на данную матрицу, даёт единичную матрицу. Для матрицы A обратная матрица обозначается A1 Согласно определению AA1 = A1A=Е Нахождение обратной матрицы называется обращением матрицы.

Матрицы и определители

Неособенная матрица Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если её определитель не равен нулю Если же определитель матрицы равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной. Всякая неособенная матрица имеет обратную. Нахождение обратной матрицы имеет исключительно важное значение значение для решения систем линейных уравнений.

Матрицы и определители

Нахождение обратной матрицы Для нахождения обратной матрицы используется пошаговый алгоритм: I шаг: вычисляют определитель матрицы.

Матрицы и определители

Нахождение обратной матрицы II шаг: вычисляют алгебраические дополнения к элементам матрицы А и составляют матрицу, союзную по отношению к данной. Если из алгебраических дополнений всех элементов матрицы А составить новую матрицу, то полученная матрица называется союзной по отношению к данной матрице и обозначается ~ А

Матрицы и определители

Вычисление обратной матрицы III шаг: вычисляют обратную матрицу по формуле: А1= 1/|А |∙ ~ А Если порядок матрицы А слишком большой, то этот метод обращение матрицы требует сложной вычислительной работы.

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

19.01.2017