Метод областей. Математика. 9-11 класс

МЕТОД ОБЛАСТЕЙ Метод областей – это аналог метода интервалов решения неравенств с  одной переменной при решении неравенств с двумя переменными.  Рассмотрим подробно все шаги решения методом областей следующей задачи. Пример 1. Изобразите на координатной плоскости множество всех  точек, удовлетворяющих неравенству  ( x   y 3)( y  2 ) 0 x  . Р е ш е н и е .   Обозначим f(х;у)= ( x   y 3)( y  2 ) x . Нам надо изобразить  множество М, заданное неравенством f(х;у) . Сначала отметим все точки,  0 координаты которых удовлетворяют уравнению f(х;у)=0. Получим прямые  у=х+3, у=­2х. они разбивают координатную плоскость на 4 области, в каждой  из которых f(х;у) сохраняет свой знак, поэтому для определения знака f(х;у) в  каждой области достаточно найти знак f(х;у) в какой­нибудь одной  точке.Рассмотрим, например, область  А1. Т.к. (1;1) А1 и f(1;1)=­3<0, то  для любой точки (х;у) А1 f(х;у)<0.  Аналогично определяем знак f(х;у)  для каждой из остальных областей А2, А3, А4, в результате получим, что М=  ­ заданные  U U U , где  A 3 l 2 A 1 l 1 2,l l 1 Рис. 1 Таким образом, метод областей, в некотором смысле, является  уравнениями у=х+3, у=­2х. Искомое  множество М изображено на рисунке  1. обобщением метода интервалов, ведь там мы тоже для решения неравенств  вида f(х) 0 отмечали на координатной прямой точки, в которых f(х)   обращалась в нуль или не существовала, эти точки разбивали координатную  прямую на интервалы, в каждом из которых знак функции сохранялся и  определялся «пробной» точкой. Пример 2. Изобразите на координатной плоскости множество всех  точек, удовлетворяющих неравенству  x 2  2  x y y  3. Р е ш е н и е .   Преобразуем неравенство к виду   Дробь  y x  2 x y  0.  обращается в нуль при у=х (х 0) и не определена при у=2х.   ( ; ) f x y   x y  2 x y Прямые у=х и у=2х разбивают координатную плоскость на 4 области.  С помощью «пробных точек» выясним знак f(х;у) в каждой из этих областей:  f(0;1)=1>0; f(2;3)=­1<0; f(1;0)=0,5>;  f(­2;­3)=­1<0. Искомое множество М  изображено на рисунке 2. (Если  граница области принадлежит М, то  изображаем ее сплошной линией, если нет, то пунктирной линией). Рис. 2 Примечание.  1) жирными линиями изображаем множества точек, в  которых нестрогое неравенство обращается в равенство; 2) пунктирными линиями ­ все остальные линии ( границы областей  существования неравенства, если они не отмечены жирными линиями, в  которых строгое неравенство обращается в равенство и т.д.) Пример 3. Изобразите на координатной плоскости множество всех  точек, удовлетворяющих неравенству  2 ( x  2 y  2 1)( x  2 y   x y  ) 0. Р е ш е н и е .   Пусть f(х;у)= 2 ( x  2 y  2 1)( x  2 y   x y ). f(х;у)=0   2 x x (   2  y 2 0,5) 1,  ( y  2 0,5)  2 ( 2 2) . Эти две окружности разбивают  координатную плоскость на 4 области.  Найдем знак f(х;у) в каждой из этих  областей с помощью «пробных» точек: f(­ 2;0)=36>0; f(­0,5;­0,5)=­0,51,5<0; f(0,5;  0,5)=­0,5(­0,5)>0; f(1;0,5)=0,25(­0,25)<0. Искомое множество М изображено на  рисунке 3 Рис. 3 Пример 4. Изобразите на координатной плоскости множество всех  точек, удовлетворяющих уравнению  y   x y    2 x 4. Р е ш е н и е .   Изобразим сначала прямые, на которых выражения,  находящиеся под знаками модулей, меняют знаки. Это прямые у­х=0 и у­2=0  (рис. 4). Они разбивают всю плоскость на 4 области.  В таблице приведены знаки выражений у­х и у­2 в этих областях: область Знак у­х Знак у­2 А1 + + А2 ­ + А3 ­ ­ А4 + ­ 1) В области А1 уравнение принимает вид у­х­2+х=4, т.е. у=3.  Изображаем на рис. 5 ту часть прямой у=3, которая попадает в область А1. 2) В области А2 уравнение принимает вид х­у+у­2+х=4, т.е. х=3.  Изображаем ту часть прямой х=3, которая попадает в область А2. 3) В области А3 уравнение принимает вид х­у­у+2+х=4, т.е. у=х­1.  Изображаем ту часть прямой у=х­1, которая попадает в область А3. 4) В области А4  уравнение принимает вид ­х+у­у+2+х=4, т.е. 2=4.  Значит, в области А4 уравнение не имеет решения. Искомое множество М изображено на рисунке 5.    Рис. 4                                                      Рис. 5 Пример 5. В координатной плоскости переменных х и р изобразите  множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют  неравенству (р­х2)(р+х­2)<0. (1) Р е ш е н и е .   В подобных ситуациях принято а начале на первом шаге  изображать границы областей, то есть точки М(х;р), для которых левая часть  неравенства (1) равна нулю. Построим границы: (р­х2)(р+х­2)=0  2  p x p x ­ 0,    2 0,  p p  2,   x 2 . x Первое равенство в плоскости (х;р) задает параболу, а второе прямую.  Как прямая, так и парабола разбивают координатную плоскость (х;р) на две  области. Для всех точек каждой области соответствующий множитель левой  части неравенства (1) (р­х2 для параболы и р+х­2 для прямой) имеет  фиксированный знак, который нам и необходимо в дальнейшей определить.   Искомое множество М изображено на рисунке 5. Рис. 6       СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Лурье М.В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. Учебное  пособие. 2­е изд., стер. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2004. 2 Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.  статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев­Мусатов.­ М.: Просвещение,  1980. 3 Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для  учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С.  Ивашев­Мусатов, С.И. Шварцбурд.­5­е изд.­ М.: Просвещение, 1997. 4 Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10­11 класс:  Учебно­методическое пособие/ С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.  Пасиченко. ­ М.: Дрофа, 2001 5 Школа решения нестандартных задач. В.Голубев. г. «Математика» №3,  2005 6 Неравенства. А.Ш.Блох, Т.Л. Трухан. Минск: Народная асвета, 1972 Статью подготовила Утятникова С.А.