Методическая разработка : Изучение темы "Комбинаторика" на уроках математики в старших классах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка урока

математики

 

«Размещения»

для учащихся 11-го класса

 

Урок получения новых знаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор разработки:

учитель математики

Длугоборская Елена Владимировна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2018 год

 

Анкета

 

1. 1.Фамилия, имя, отчество : Длугоборская Елена Владимировна,
2. Место работы и занимаемая должность: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей 226 Фрунзенского  района

 Санкт-Петербурга, учитель математики.

3. Комплектация работы:

            Работа состоит из:

1.      Данный файл.

2.      Презентация «Размещения».

3.      Приложение1: набор задач по теме.

 

Аннотация:

Данный урок является третьим уроком в теме «Комбинаторика» и рассчитан на учащихся 11 класса («Алгебра и начала математического анализа 10 - 11», Ш.А.Алимов и др.М.Просвещение, 2011). На уроке использован проблемный метод введения нового понятия - Размещения, вводится формула для подсчета числа возможных размещений, для групповой работы предложен набор задач для первичного закрепления понятия и формулы. В качестве гуманитарной составляющей урока предложена историческая справка по теме.

 

Пояснительная записка

Согласно планированию на изучение этой темы отводится всего 1 час. К моменту проведения урока учащиеся уже знакомы с основными понятиями комбинаторики, они знают правила сложения и умножения. На предыдущем уроке было введено понятие Перестановки, формула подсчета числа перестановок, факториал.  В качестве домашнего задания учащиеся решали задачи на применение формулы подсчета перестановок, составляли таблицу значений факториалов от 1! до 10!.  По желанию было предложено подготовить сообщение на тему «Интересное о факториале».

  На последующих уроках вводится понятие Сочетания и формула подсчета количества возможных сочетаний.

Цели урока:

Образовательные

• Ввести понятие Размещения
• Сформулировать отличительные признаки размещения
• Вывести формулу  подсчета количества возможных размещений
• Формирование умения решения задач по теме

 

Развивающие

• Развитие умения анализировать, обобщать и систематизировать знания.
• Формирование у учащихся самостоятельности мышления.

 

Воспитательные

·         Воспитание чувства ответственности за общий результат при работе в группах

·         Воспитание взаимопомощи и взаимовыручки.

Сценарий учебного занятия

1. Организационный момент.

Слайд1: афоризм о жизни Конфунций, китай.

2. Актуализация знаний:

Тема урока : Комбинаторика изучает основные комбинации элементов конечного множества. На прошлом уроке узнали комбинацию, которая называется Перестановки, формулу подсчета  числа возможных перестановок. Задача на урок: познакомиться еще с одним видом комбинации, сформулировать отличительные  характеристики  этой комбинации, ввести формулу подсчета возможных вариантов и научиться ей пользоваться.

·         Опрос у доски:

1.      Упростить форму записи выражения:

     9!10                     (а-2)!(а-1)а(а+1)

2.      Найти значение выражения:

6!4!/8!                         9!10! / 8!11!

3.      Решить уравнение:

Р_n : Р_n-2 = 30

·         Фронтальная работа:

А)Историческая справка:

 (Слайд2)

В)Решение задач предложенных на слайде :

1.      В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить? (Слайд3) – правило умножения

2.      В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 различных стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти  6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений? (Слайд4) – перестановки, пояснения дают учащиеся

С)Понятие Перестановки  (Слайд5) и формула подсчета  (Слайд6,7)

3. Введение нового понятия

Учащимся предлагается для решения следующая задача:

А)В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, культорга и физорга.

Сколькими способами это можно сделать? (Слайд8)

·         Какое правило используется для подсчета возможных вариантов?

·         Как подсчитать количество вариантов?

·         Возможно ли использовать формулу для перестановок? Почему? Чем отличается данная комбинация от перестановок?

·         Вводится определение Размещения, формула для подсчета количества возможных размещений А_mⁿ, формулируются отличительные признаки рассматриваемой комбинации.

В)Сколькими способами из восьми книг фантаста А.Беляева можно выбрать четыре книги?  (Слайд 9)

·           Возможно ли эту комбинацию рассаматривать как размещения?

·           Как подсчитать количество возможных вариантов?

Для небольшого количества выбираемых элементов это удобная формула, однако как быть если осуществляется выборка 100 или 1000 элементов. Вспомним понятие факториал и попробуем записать это же выражение с помощью факториала.

·         Вводится определение Размещения, формула для подсчета количества возможных размещений А_mⁿ, формулируются отличительные признаки рассматриваемой комбинации.  (Слайд10,11)

4.      Историческая справка: (Слайд12)

Ученик Лейбница Якоб Бернулли - швейцарский математик -  один из основателей теории вероятностей и комбинаторики. Он первым занимался изучением размещений и в 1713 г. в своей книге "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) изложил известные к тому времени комбинаторные факты. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы. Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. В этом труде Якоб Бернулли впервые употребил термин «перестановки» (permutation) и термин «размещения» (arrangement) и были изучены свойства основных комбинаций комбинаторики. (Термин  «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году).  Современная символика сочетаний была предложена только в XIX в.

5.      Формирование навыка использования формулы:

·         Для проведения серии футбольных матчей надо создать бригады из трех судей. Сколько бригад можно составить, если имеется шесть судей-кандидатов?

   А₁₀³ = 10*9*8 = 720 (Слайд13) – решается вместе

Для самостоятельного решения с последующей проверкой (работа в группах) (слайд 14,15)

·         Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, 4 без повторений?

·         Из 5 членов команды «Знатоков» нужно выбрать капитана и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

·         Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3 без повторений?

Р₃ = А₃³ = 3! = 6

·         В соревнованиях участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (I, II, III) мест?

·         В 9 классе учатся 7 учеников, в 10 – 9, а в 11 – 8 учеников. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учеников из 9 класса, трех – из 10 класса и одного – из 11 класса. Сколько существует способов выбора учеников для работы  на пришкольном участке?

·         Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом,   (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение задачи:

(а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующее произведение: P2P6 =2 6! = 1440.

(б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них ‑ 26! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! ‑ 26!.

Ответ: 1440; . 7! ‑ 26!

 

6. Дополнительный материал:

  Перестановки с повторениями (с возвращением) 

·         Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова перестановка? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а?

Решение задачи:

В слове перестановка 12 букв, из них повторяются 2 буквы е и две буквы а. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы P12. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы е или а меняются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями:  = .

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву п и оканчивающихся на букву а, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буква е. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

 = .

Ответ: , .

Домашнее задание:

Решить задачи:

1.       Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять:

(а) из восьми букв,   (б) из семи букв,       (в) из трех букв?

2. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разного цвета, если имеются материи из 8 тканей?

3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

4. В классе 10 различных учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в день?

 

 

Самоанализ урока

Этот урок относится к уроку получения новых знаний. Учащиеся на первых уроках комбинаторики знакомятся с правилом сложения и умножения. Основываясь на свои знания учащимся предлагается выделить существенные признаки понатия размещения, обобщить способ решения задач на подсчет колличества возможных комбинаций, вывести формулу. При такой подстановки задачи урока получается поддерживать интерес учащихся к предмету математика, каждый из них делает маленькое открытие. Организация усвоения знаний в форме решения задач в малых группах с последующей проверкой обеспечивает более комфортную обстановку для учащихся,  возможность работы в удобном для каждого темпе. Систематическая организация работы в группах на уроках позволяет формировать такие качества личности, как терпимость к одноклассникам, коммутативность, формирует навыки работы в микроколлективе.

 

Список литературы

1.        Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика, http://www.kodges.ru/34052-kombinatorika.html

2.        Андерсон Д Дискретная математика и комбинаторика, http://www.4tivo.com/education/6066-diskretnaja-matematika-i-kombinatorika.html

3.        Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Элементы теории вероятностей и статистики, Ростов-на-Дону, Легион-М, 2011