Методическая разработка по МДК.01.04 Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания. Раздел : Развитие младших школьников в процессе обучения математике

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Иркутской области

«Братский педагогический колледж»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка по МДК.01.04

Теоретические основы начального курса математики с методикой преподавания

Для студентов 2 курса, по разделу:

«Развитие младших школьников в процессе обучения математике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработчик преподаватель

Братского педагогического колледжа:

Белоглазова Л.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Развитие младших школьников в процессе обучения математике

 

 

4.1. Развивающее обучение математике. Способы обоснования истинности суждений

 

Цель: рассмотреть понятие развивающего обучения и примеры обоснования истинности суждений в начальном курсе математике.

План:

1.      Развивающее обучение.

2.      Способы обоснования истинности сужений.

3.      Обоснования истинности сужений в начальной школе.

 

Развивающее обучение. Термин «развивающее обучение» активно используется в пси­хологической, педагогической и методической литературе. Тем не менее, содержание этого понятия остается до сих пор весьма про­блематичным, а ответы на вопрос: «Какое обучение можно назвать развивающим?» довольно противоречивы. Это, с одной стороны, обусловлено многоаспектностью понятия «развивающее обуче­ние», а с другой стороны, некоторой противоречивостью самого термина, т. к. вряд ли можно говорить о «неразвивающем обуче­нии». Бесспорно, любое обучение развивает ребенка.

Однако нельзя не согласиться с тем, что в одном случае обуче­ние как бы надстраивается над развитием, как говорил Л.С.Выготский, «плетется в хвосте» у развития, оказывая на него стихийное влияние, в другом - целенаправленно обеспечивает его (ведет за собой развитие) и активно использует для усвоения зна­ний, умений, навыков. В первом случае мы имеем приоритет ин­формационной функции обучения, во втором - приоритет разви­вающей функции, что кардинально меняет построение процесса обучения.

Как пишет Д.Б. Эльконин - ответ на вопрос, в каком соотноше­нии находятся эти два процесса, «осложнен тем, что сами катего­рии обучения и развития разные.

Эффективность обучения, как правило, измеряется количест­вом и качеством приобретенных знаний, а эффективность разви­тия измеряется уровнем, которого достигают способности учащих­ся, т. е. тем, насколько развиты у учащихся основные формы их психической деятельности, позволяющей быстро, глубоко и пра­вильно ориентироваться в явлениях окружающей действительно­сти.

Давно замечено, что можно много знать, но при этом не прояв­лять никаких творческих способностей, т. е. не уметь самостоя­тельно разобраться в новом явлении, даже из относительно хоро­шо известной сферы науки». (Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды. - М., Педагогика, 1989, с. 251)

Не случайно термин «развивающее обучение» методисты ис­пользуют с большой осторожностью. Сложные динамические связи между процессами обучения и психического развития ребенка не являются предметом исследования методической науки, в которой реальные, практические результаты обучения принято описывать на языке знаний, умений и навыков.

Так как изучением психического развития ребенка занимается психология, то при построении развивающего обучения методика несомненно должна опираться на результаты исследований этой науки. Как пишет В.В.Давыдов, «психическое развитие человека -это, прежде всего, становление его деятельности, сознания и, ко­нечно, всех «обслуживающих» их психических процессов (познавательных процессов, эмоций и т. д.)». (Давыдов ВВ. Проблемы развивающего обучения. - М., Педагогика, 1986, с. 9.) Отсюда следует, что развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, кото­рую они выполняют в процессе обучения.

Из курса дидактики вам известно, что эта деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид деятельности преобла­дает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей.

Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает ее, понимает, запо­минает, затем воспроизводит. Основная цель такой деятельности - формирование у школьника знаний, умений и навыков, развитие внимания и памяти.

Продуктивная деятельность связана с активной работой мыш­ления и находит свое выражение в таких мыслительных операци­ях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими прие­мами мышления или приемами умственных действий.

Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания - одно из важных условий построения развивающего обучения, так как продуктивная (творческая) деятельность оказы­вает положительное влияние на развитие всех психических функ­ций. «... организация развивающего обучения предполагает созда­ние условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими не только обеспечивает новый уро­вень усвоения, но дает существенные сдвиги в умственном разви­тии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально строить свою деятельность по усвоению знаний».

Рассмотрим возможности активного включения в процесс обу­чения математике различных приемов умственных действий.

 

Способы обоснования истинности суждений. Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (дока­зывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичными: в них что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например: «Число 12 - четное; квадрат ABCD не имеет острых углов; уравнение 23-х=30 не имеет решения (в рамках начальных классов) и т. д.».

Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных что-то утверждается или отрицается относи­тельно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества пред­метов. Например: «Уравнение х-7=10 решается на основе взаи­мосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью». В этом суждении речь идет об уравнении частного вида, представляюще­го собой подмножество множества всех уравнений, изучаемых в начальных классах.

В общих суждениях что-то утверждается или отрицается отно­сительно всех предметов данной совокупности. Например: «В прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет о любом, т. е. о всех прямоугольниках. Поэтому суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсут­ствует. Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметиче­ских действий. Это также общее суждение, так как охватывает все­возможные уравнения, встречающиеся в курсе математики на­чальных классов.

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными (например: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»).

Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. «Суть дедуктив­ных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого обще­го суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суж­дение о том же объекте. Общее суждение принято называть об­щей посылкой, первое единичное суждение - частной посылкой, новое единичное суждение - заключением. Пусть, например, тре­буется решить уравнение: 7×x=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».

Это правило (общее суждение) - общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка. Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2».

 

Обоснования истинности сужений в начальной школе. Особен­ность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует за­ключению.

Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктив­ные рассуждения отсутствуют в курсе математики начальных клас­сов.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, свя­занная с развитием математической речи учащихся. - Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом: «Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествую­щее ему число».

Составляя таблицы □+1 и □-1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедук­тивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение: «4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В дан­ном случае общая посылка: если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше; частная посылка: 4 при сче­те называют раньше, чем 5; заключение: 4<5.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе ма­тематики и при вычислении значений выражений. В качестве об­щей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки - конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руково­дствуются правилом порядка выполнения действий.

Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у школьников умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при вы­полнении задания:

▼ Сравни выражения, поставив знак <, > или =, чтобы получилась верная запись:

6+3 ... 6+2

6+4 ... 4+6

учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6+2 < 6+3, потому что 8<9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8<9» чаще всего не обосновывается. Хотя при выпол­нении данного задания они могли бы сравнить слагаемые в сум­мах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибегая при этом к вычислениям. Интересный опыт работы по формированию умения рассуждать отражен в работе В.П.Леховой. (Лехова В. П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов. - Начальная школа, 1988, № 5,с. 28-31). Она предлагала детям два листа, на одном из кото­рых были написаны общие посылки, на другом - частные. Нужно установить, какой общей посылке соответствует каждая частная. Ученикам дается инструкция: «Вы должны выполнить каждое за­дание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь воспользо­вавшись одним из правил, записанных на листе 1».

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться од­ним из способов обоснования истинности суждений в начальном курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суж­дение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним - 6. Устано­вив между кругами первого и второго ряда взаимно-однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в пер­вом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок мо­жет обращаться к предметным действиям и для обоснования ис­тинности полученного результата при сложении, вычитании, умно­жении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснова­ния результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рису­нок:

Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суж­дения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предло­женный способ выполнения задания можно рассматривать как су­ждение, для обоснования которого учащиеся должны использо­вать различные способы доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):

▼ Во сколько раз площадь прямоугольника ABCD больше прямо­угольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.

 

 

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассужде­ний, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.

Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказы­вают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суж­дений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:

▼  Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?

Миша записал решение задачи так:

1)    18:9=2 (км/ч)

2)    27:9=3 (км/ч)

3)   2+3=5 (км/ч) Маша — так:

Маша – так:

1)   18+27=45 (км)

2)   45:9=5 (км/ч)

Кто из них прав: Миша или Маша?

▼  Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины?

Маша решила задачу так:

1) 7×3=21 (к.)

2) 4×7=28 (к.)

3) 21+28=49 (к.)

Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов.

А Миша так решил задачу:

1) 9×4=36 (к.)

2) 8×6=48 (к.)

3) 36+48=84 (к.)

Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов.

Кто из них прав?

Процесс выполнения любого задания должен всегда представ­лять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обосно­вания истинности которых учащиеся используют различные спосо­бы.

Покажем это на примере заданий:

▼         Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

□  : 6 = 27054

□  : 7 = 4083 (ост. 4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение част­ного умножим на делитель, то получим делимое». Частное сужде­ние: «значение частного - 27054, делитель - 6». Заключение: «27054×6».

Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм пись­менного умножения, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.

Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деле­ние «уголком» или воспользовавшись калькулятором.

Аналогично поступают со второй записью.

▼         Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.

Учащиеся высказывают суждение:

6×8=48 (обоснование - вычисления)

56-48=8 (обоснование - вычисления)

8×6=48 (для обоснования суждения можно воспользо­ваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).

48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)

Таким образом, в большинстве случаев для обоснования ис­тинности суждений в начальном курсе математики учащиеся об­ращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок дейст­вия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка дей­ствий, затем выполняют вычисления.

Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического ма­териала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона прямоугольни­ка больше другой» дети могут обосновать измерением.

Задание. Опишите способы обоснований истинности сужде­ний, высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. При изучении каких вопросов курса математики начальных классов целесооб­разно предложить эти задания?

▼  Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9×7+9+5         8×6+8+3

7×9+9+5         8×7+3

9×8+5             7×8+3

▼  Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

12×5                    16×4

(8+4)×5           (8+8)×4

(7+5)×5           (9+7)×4

(10+2)×5         (10+6) ×4

▼  Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи:

(14+8)×3 ... 14×3+8×3

(27+8)×6 ... 27×6+8

(36+4)×18 ... 40×18

▼ Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства:

8×8=8□7□8         8×3=8□4□8

8×6=6□8□0         8×5=8□0□32

▼  Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

8×(4×6)               (9×3)×3

8×24                   2×27

(8×4)×6               9×(3×2)

6×32                    (2×3)×9

 

Вопросы для самоконтроля

- В чем про­блема содержание понятия «развивающее обучение»?,

- Перечислите мыслительные операции, которые развиваются у младших школьников

- Понятия репродуктивной и продуктивной деятельности.

- Виды суждений и их суть.

- Дедуктивные рассуждения и их структура.

- Способы обоснования истинности суждений в начальной школе и их суть.

 

Список литературы

1.      Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М: Издательский центр «Академия», 2008.

2.      Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2008.

 

4.2. Анализ и синтез при обучении математике.

Приемы сравнения, классификации, аналогии и обобщения

 

Цель: Рассмотреть логические прие­мы мышления, выявить их суть и задания, формирующие умственные действия младших школьников на уроках математики.

План:

1.      Анализ и синтез.

2.      Прием сравнения.

3.      Прием классификации.

4.      Прием аналогии.

5.      Прием обобщения.

 

Анализ и синтез. Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез.

Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных эле­ментов, сторон объекта в единое целое.

В мыслительной деятельности человека анализ и синтез до­полняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез - через анализ.

Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции.

Формированию этих умений может способствовать: а) рассмот­рение данного объекта с точки зрения различных понятий; б) по­становка различных заданий к данному математическому объекту.

Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий младшим школьникам при обучении математике обычно предлагаются такие задания:

▼ Прочитай по-разному выражения 16 - 5 (16 уменьшили на 5; раз­ность чисел 16 и 5; из 16 вычесть 5).

▼ Прочитай по-разному равенство 15-5=10(15 уменьшить на 5, получим 10; 15 больше 10 на 5; разность чисел 15 и 5 равна 10; 15 - уменьшаемое, 5 - вычитаемое, 10 - разность; если к разности (10) прибавить вычитаемое (5), то получим уменьшаемое (15); число 5 меньше 15 на 10).

▼ Как по-разному можно назвать квадрат? (Прямоугольник, четырех­угольник, многоугольник.)

▼ Расскажи все, что ты знаешь о числе 325. (Это трехзначное число; оно записано цифрами 3, 2, 5; в нем 325 единиц, 32 десятка, 3 сотни, его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых так: 300+20+5; оно на 1 единицу больше числа 324 и на 1 единицу меньше числа 326; его можно представить в виде суммы двух слагаемых, трех, четырех и т..д.).

Конечно, не следует стремиться к тому, чтобы каждый ученик произносил этот монолог, но, ориентируясь на него, можно предла­гать детям вопросы и задания, при выполнении которых они будут рассматривать данный объект с различных точек зрения.

Чаще всего это задания на классификацию или на выявление различных закономерностей (правил).

Например:

▼ По каким признакам можно разложить пуговицы в две коробки?

 

Рассматривая пуговицы с точки зрения их размеров, мы поло­жим в одну коробку 4 пуговицы, а в другую 3,

- с точки зрения цвета: 1 и 6,

- с точки зрения формы: 4 и 3.

▼ Разгадай правило, по которому составлена таблица, и заполни про­пущенные клетки:

 

4	6	9	3	8	6	5		2
5	7	8	2				4		6

 

Увидев, что в данной таблице две строки, учащиеся пытаются выявить определенное правило в каждой из них, выясняют, на сколько одно число меньше (больше) другого. Для этого они вы­полняют сложение и вычитание. Не обнаружив закономерность ни в верхней, ни в нижней строке, они пытаются анализировать дан­ную таблицу с другой точки зрения, сравнивая каждое число верх­ней строки с соответствующим (стоящим под ним) числом нижней строки. Получают: 4<5 на 1; 6<7 на 1; 9>8 на 1; 3>2 на 1. Если под числом 8 записать число 9, а под числом 6 - число 7, то имеем: 8<9 на 1; 6<7 на 1, значит, 5> на 1,  >4 на 1.

Аналогично можно сравнивать каждое число нижней строки с соответствующим (стоящим над ним) числом верхней строки.

Возможны такие задания с геометрическим материалом.

 

▼ Найди отрезок ВС. Что ты можешь рассказать о нем? (ВС - сторо­на треугольника ВСЕ; ВС - сторона треугольника DBC; ВС меньше, чем DC; ВС меньше, чем АВ; ВС - сторона угла BCD и угла ВСЕ).

▼ Сколько отрезков на данном чертеже? Сколько треугольников? Сколь­ко многоугольников?

М

Рассмотрение математических объектов с точки зрения различ­ных понятий является способом составления вариативных зада­ний. Возьмем, например, такое задание: «Запишем все четные числа от 2 до 20 и все нечетные числа от 1 до 19». Результат его выполнения - запись двух рядов чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Используем теперь эти математические объекты для составле­ния заданий:

▼ Разбей числа каждого ряда на две группы так, чтобы в каждой бы­ли числа, похожие между собой.

▼  По какому правилу записан первый ряд? Продолжи его.

▼ Какие числа нужно вычеркнуть в первом ряду, чтобы каждое сле­дующее было на 4 больше предыдущего?

▼  Можно ли выполнить это задание для второго ряда?

▼ Подбери из первого ряда пары чисел, разность которых равна 10 (2 и 12, 4 и 14, 6 и 16, 8 и 18, 10 и 20).

▼ Подбери из второго ряда пары чисел, разность которых равна 10 (1 и 11,3 и 13, 5 и 15, 7 и 17, 9 и 19).

▼ Какая пара «лишняя»? (10 и 20, в ней два двузначных числа, во всех других парах двузначное число и однозначное).

▼ Найди в первом ряду сумму первого и последнего числа, сумму вторых чисел от начала и от конца ряда, сумму третьих чисел от начала и от конца ряда. Чем похожи эти суммы?

▼ Выполни это же задание для второго ряда. Чем похожи полученные суммы?

 

Прием сравнения. Особую роль в организации продуктивной деятельности млад­ших школьников в процессе обучения математике играет прием сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением кон­кретного содержания. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы:

* выделение признаков или свойств одного объекта;

* установление сходства и различия между признаками двух объектов;

* выявление сходства между признаками трех, четырех и бо­лее объектов.

Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качест­ве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо им знакомых, в которых они мо­гут выделить те или иные признаки, опираясь на имеющиеся у них представления.

Для организации деятельности учащихся, направленной на вы­деление признаков того или иного объекта, можно сначала пред­ложить такой вопрос:

- Что вы можете рассказать о предмете? (Яблоко круглое, большое, красное; тыква - желтая, большая, с полосками, с хво­стиком; круг - большой, зеленый; квадрат - маленький, желтый).

В процессе работы учитель знакомит детей с понятиями «размер», «форма» и предлагает им следующие вопросы:

- Что вы можете сказать о размерах (формах) этих предметов? (Большой, маленький, круглый, как треугольник, как квадрат и т. д.)

Для выявления признаков или свойств какого-то предмета учи­тель обычно обращается к детям с вопросами:

- В чем сходство и различие этих предметов? - Что измени­лось?

Возможно познакомить их с термином «признак» и использовать его при выполнении заданий: «Назови признаки предмета», «Назови сходные и различные признаки предметов».

Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносят на математические объекты.

▼ Назови признаки:

а)   выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак «+»);

б)   выражения 6-1 (числа 6, 1 и знак «-»);

в)   равенства х+5=9 (х - неизвестное число, числа 5, 9, знаки «+» и «=»).

По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут устанавливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эти признаки с точки зрения различных понятий.

Например:

▼ В чем сходство и различие:

а)   выражений: 6+2 и 6 - 2; 9·4 и 9 ·5; 6+(7+3) и (6+7)+3;

б)   чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12
и т. д.;

в)   равенств: 4+5=9 и 5+4=9; 3·8=24 и 8·3=24; 4·(5+3)=32 и 4· 5+4·3=
= 32; 3·(7·10) = 210 и (3·7) ·10 = 210;

г)   текстов задач:

▼ Коля поймал 2 рыбки, Петя - 6. На сколько больше поймал рыбок Петя, чем Коля?

▼ Коля поймал 2 рыбки, Петя - 6. Во сколько раз больше поймал рыбок Петя, чем Коля?

д) геометрических фигур:

е)уравнений: 3 + х = 5 и х+3 = 5; 10-х = 6 и (7+3) — х=. 6; 12-х=4 и (10+2)-х = 3+1;

ж) вычислительных приемов:

9+6=(9+1)+5 и 6+3=(6+2)+1

L             L

1+5          2+1

Прием сравнения можно использовать при знакомстве учеников с новыми понятиями. Например:

▼ Чем похожи между собой все:

а)   числа: 50, 70, 20, 10, 90 (разрядные десятки);

б)   геометрические фигуры (четырехугольники);

в) математические записи: 3+2, 13+7, 12+25 (выражения, которые назы­ваются суммой).

В обучении младших школьников большая роль отводится уп­ражнениям, которые связаны с переводом «предметных действий» на язык математики. В этих упражнениях они обычно соотносят предметные объекты и символические. Например:

а) Какому рисунку соответствуют записи 2·3, 2+3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Какой рисунок соответствует записи 3 • 5? Если такого рисунка нет, то нарисуй его.

 

 

в) Выполни рисунки, соответствующие данным записям: 3•7, 4•2+4•3, 3+7.

Показатель сформированности приема сравнения - умение де­тей самостоятельно использовать его для решения различных за­дач, без указания: «сравни укажи признаки .., в чем сходство и различие...».

Приведем конкретные примеры таких заданий:

а)   Убери лишний предмет ... (При выполнении его школьники ориентируются на сходство и различие признаков.)

б)   Расположи числа в порядке возрастания: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для вы-
полнения этого задания ученики должны выявить признаки различия
данных чисел.)

в)   Сумма чисел в первом столбике равна 74. Как, не выполняя сложения во втором и третьем столбиках, найти суммы чисел:

г) Продолжи ряды чисел: 2, 4, 6, 8, 1, 5, 9, 13, ... (Основа установления закономерности (правила) записи чисел — также операция сравнения.)

 

Прием классификации. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основа приема классификации.

Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются; 3) объединение всех подмножеств составляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию, эти условия необхо­димо учитывать. Так же, как при формировании приема сравнения, дети сначала выполняют задания на классификацию хорошо зна­комых предметов и геометрических фигур. Например:

▼ Учащиеся рассматривают предметы: огурец, помидор, капуста, молоток, лук, свекла, редька. Ориентируясь на понятие «овощ», они могут разбить множество предметов на два класса: овощи - не овощи.

Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете им часто предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить вопросы, начинающиеся со слова «Сколько ...?». Рассмотрим рисунок, к которому можно поставить следующие вопросы:

— Сколько больших кругов? Маленьких? Синих? Красных? Больших красных? Маленьких синих?

 

Упражняясь в счете, учащиеся овладевают логическим прие­мом классификации.

Задания, связанные с приемом классификации, обычно форму­лируются в таком виде: «Разбейте (разложите) все крут на две группы по какому-то признаку».

Большинство детей успешно справляются с этим заданием, ориентируясь на такие признаки, как цвет и размер. По мере изу­чения различных понятий задания на классификацию могут вклю­чать числа, выражения, равенства, уравнения, геометрические фи­гуры. Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 можно предложить такое задание:

▼ Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой оказались похожие числа:

а)   33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую — различными);

б)   91, 81, 82, 95, 87, 94, 85 (основание классификации — число десятков, в одной группе чисел оно равно 8, в другой — 9);

в)   45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34 (основание классификации - сумма «цифр», которыми записаны данные числа, в одной группе она равна 9, в другой - 7).

Если в задании не указано количество групп разбиения, то воз­можны различные варианты. Например: 37, 61, 57, 34, 81, 64, 27 (данные числа можно разбить на три группы, если ориентировать­ся на цифры, записанные в разряде единиц, и на две группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков. Воз­можна и другая группировка).

При изучении сложения и вычитания чисел в пределах 10 воз­можны такие задания на классификацию:

▼ Разбейте данные выражения на группы по какому-то признаку:

а)   3+1, 4-1, 5+1, 6-1, 7+1, 8 - 1. (В этом случае основание для разбиения на две группы дети легко находят, так как признак представлен явно в записи выражения.)

Но можно подобрать и другие выражения:

б)   3+2, 6-3, 4+5, 9-2, 4+1, 7 - 2, 10 - 1, 6+1, 3+4. (Разбивая на группы
данное множество выражений, ученики могут ориентироваться не только на знак арифметического действия, но и на результат.)

Приступая к новым заданиям, дети обычно сначала ориентиру­ются на те признаки, которые имели место при выполнении пред­шествующих заданий. В этом случае полезно указывать количест­во групп разбиения. Например, к выражениям: 3+2, 4+1, 6+1, 3+4, 5+2 можно предложить задание в такой формулировке: «Разбей выражения на три группы по какому-то признаку». Ученики, естест­венно, сначала ориентируются на знак арифметического действия, но тогда разбиения на три группы не получается. Они начинают ориентироваться на результат, но тоже получаются только две группы. В процессе поиска выясняется, что разбить на три группы можно, ориентируясь на значение второго слагаемого (2, 1, 4).

В качестве основания для разбиения выражений на группы мо­жет выступать и вычислительный прием. С этой целью можно ис­пользовать задание такого типа: «По какому признаку можно раз­бить данные выражения на две группы: 57+4, 23+4, 36+2, 75+2, 68+4,52+7,76+7,44+3, 88+6, 82+6?»

Если учащиеся не могут увидеть нужное основание для клас­сификации, то учитель помогает им следующим образом: «В одну группу я запишу такое выражение: 57+4,- говорит он,- в другую: 23+4. В какую группу вы запишете выражение 36+9?». Если и в этом случае дети затрудняются, то учитель может подсказать им основание: «Каким вычислительным приемом вы пользуетесь для нахождения значения каждого выражения?».

Задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве учащихся с новыми понятиями. Например, для опре­деления понятия «прямоугольник» к множеству геометрических фигур, расположенных на фланелеграфе, можно предложить та­кую последовательность заданий и вопросов:

▼ Убери «лишнюю» фигуру. (Дети убирают треугольник и фактиче­ски разбивают множество фигур на две группы, ориентируясь на количе­ство сторон и углов в каждой фигуре.)

▼ Чем похожи все остальные фигуры? (У них 4 угла и 4 стороны.)

▼ Как можно назвать все эти фигуры? (Четырехугольники.)

▼ Покажи четырехугольники с одним прямым углом (6 и 5). (Для проверки своего предположения ученики используют модель пря­мого угла, соответствующим образом прикладывая его к указанной фигуре.)

▼  Покажи четырехугольники: а) с двумя прямыми углами (3 и 10); б) с тремя прямыми углами (таких нет); в) с четырьмя прямыми углами (2, 4, 7, 8, 9).

▼  Разбей четырехугольники на группы по количеству прямых углов (1-я группа - 5 и 6, 2-я группа - 3 и 10, 3-я   группа - 2, 4, 7, 8, 9).

Четырехугольники соответствующим образом раскладываются на фланелеграфе. В третью группу входят четырехугольники, у которых все углы прямые. Это прямоугольники.

Таким образом, при обучении математике можно использовать задания на классификацию различных видов:

1. Подготовительные задания. К ним относятся: «Убери (назови) "лишний" предмет», «Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов». Сюда же можно отнести задания на развитие внимания и наблюдательности: «Какой предмет убрали?» и «Что изменилось?».

2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель.

3. Задания, при выполнении которых дети сами выделяют осно­вание классификации.

 

Прием аналогии. Понятие «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «соответственный», понятие аналогия - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий.

В процессе обучения математике учитель довольно часто гово­рит детям: «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное зада­ние». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий (операций). Например, после рассмотрения свойств умножения суммы на число предлагаются различные выражения: (3+5)•2, (5+7)•3, (9+2)•4 и т. д., с которыми выполняются дейст­вия, аналогичные данному образцу.

Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, уче­ники находят новые способы деятельности и проверяют свою до­гадку. В этом случае они сами должны увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т. е. сделать заключение по аналогии. Но для того, чтобы учащиеся смогли высказать «догадку», необходимо определенным образом организовать их деятельность. Например, ученики усвоили алгоритм письменного сложения двузначных чисел. Переходя к письменному сложению трехзначных чисел, учитель предлагает им найти значения выра­жений: 74+35, 68+13, 54+29 и т. д. После этого спрашивает: «Кто догадается, как выполнить сложение таких чисел: 254+129?». Вы­ясняется, что в рассмотренных случаях складывали два числа, то же самое предлагается в новом случае. При сложении двузначных чисел их записывали одно под другим, ориентируясь на их разряд­ный состав, и складывали поразрядно. Возникает догадка - веро­ятно, так же можно складывать и трехзначные числа. Заключение о правильности догадки может дать учитель или предложить де­тям сравнить выполненные действия с образцом.

Умозаключение по аналогии возможно также применять при переходе к письменному сложению и вычитанию многозначных чисел, сравнивая его со сложением и вычитанием трехзначных.

Умозаключение по аналогии можно использовать при изучении свойств арифметических действий. В частности, переместительного свойства умножения. Для этой цели учащимся сначала предла­гается найти значения выражений:

6+3            7+4                  8+4

3+6            4+7                  4+8

-   Каким свойством вы воспользовались при выполнении зада­ния? (Переместительным свойством сложения).

-   Подумайте: как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения?

Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и нахо­дят значение каждого, заменяя произведение суммой.

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо вы­делить существенные признаки объектов, в противном случае вы­вод может оказаться неверным. Например, некоторые учащиеся пытаются применить способ умножения числа на сумму при умно­жении числа на произведение. Это говорит о том, что существен­ное свойство данного выражения - умножение на сумму, оказа­лось вне их поля зрения.

Формируя у младших школьников умение выполнять умозаклю­чения по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

♦  Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними.

♦  Для использования аналогии необходимо иметь два объекта один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда, применение приема аналогии способст­вует повторению изученного и систематизации знаний и умений.

♦  Для ориентации школьников на использование аналогии не­обходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый спо­соб действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализи­ровав известный способ действий и данное новое задание.

♦  Для правильных действий по аналогии сравниваются призна­ки объектов, существенные в данной ситуации. В противном слу­чае вывод может быть неверным.

 

Прием обобщения. Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение.

Следует различать результат и процесс обобщения. Резуль­тат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения - теоретическом и эмпири­ческом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является ре­зультатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

В переводе на русский язык «индукция» означает «наведение», поэтому, используя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических объектов и последова­тельность вопросов для целенаправленного наблюдения и срав­нения;

2)   рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых
повторяется та закономерность, которую ученики должны увидеть;

3) варьировать виды частных объектов, т. е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формули­ровки, которые они предлагают.

Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать приведенные рекомендации. Для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такие задания:

▼ Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме.

Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3•4=12;4•3=12.

Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. вы­явить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.

▼ Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты. В результате получают 9•3=27; 3•9=27 и словесно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами.

 

 

 

 

▼  Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением:

3•2      4•2    3•6     4•5     5•3      8•4

2•3      2•4       6•3      5•4       3•5     4•8

Выясняется, чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбике. Ответы могут быть такими: «Множители одинаковые, они переставлены», «Произведения одинаковые» или «Множители одинаковые, они переставлены, произведения одинаковые».

Учитель помогает сформулировать свойство с помощью наво­дящего вопроса: «Если множители переставить, то что можно ска­зать о произведении?»

Вывод: «Если множители переставить, то произведение не из­менится» или «От перестановки множителей значение произведе­ния не изменится».

Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдае­мые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения.

Рассмотрим несколько таких примеров:

▼  Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:

2+3 ...2•3         4+5 ... 4•5

3+4... 3•4           5+6... 5•6

Сравнив данные выражения и отметив закономерности: слева записана сумма, справа произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения, большинство детей делают вывод: «сумма двух последовательных чисел всегда меньше произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи:

0+1 ... 0•1

1+2 ... 1 •2

Можно попытаться сделать правильное обобщение, в котором будут учтены определенные условия: «сумма двух последова­тельных чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения этих же чисел».

▼ Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай соответст­вующий вывод.

Слагаемое	1	2	3	4	5	6
Слагаемое	4	4	4	4	4	4
Сумма

На основе анализа рассмотренных частных случаев учащиеся приходят к выводу, что: «сумма всегда больше каждого из слагае­мых». Но его можно опровергнуть, так как: 1+0=1, 2+0=2. В этих случаях сумма равна одному из слагаемых.

▼ Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай вывод.

(2+4):2=3 (4+4):2=4

(6+2):2=4

(6+8):2=7 (8+10):2=9

Анализируя предложенные частные случаи, дети могут прийти к заключению, что: «если сумма чисел делится на 2, то каждое сла­гаемое этой суммы делится на 2». Но этот вывод ошибочный, так как его можно опровергнуть: (1+3):2. Здесь сумма делится на 2, каждое слагаемое не делится.

Большинство психологов, педагогов и методистов считают, что эмпирическое обобщение, в основе которого лежит действие срав­нения, для младших школьников наиболее доступно. Этим, собст­венно, и обусловлено построение курса математики в начальных классах.

Сравнивая математические объекты или способы действий, ре­бенок выделяет их внешние общие свойства, которые могут стать содержанием понятия. Тем не менее, ориентир на внешние, дос­тупные для восприятия свойства сравниваемых математических объектов не всегда позволяет раскрыть сущность изучаемого понятия или усвоить общий способ действий. При эмпирическом обобщении учащиеся часто сосредотачиваются на несуществен­ных свойствах объектов и на конкретных ситуациях. Это отрица­тельно сказывается на формировании понятий и общих способов действий. Например, формируя понятие «больше на», учитель обычно предлагает серию конкретных ситуаций, отличающихся друг от друга лишь числовыми характеристиками. На практике это выглядит так: детям предлагается положить в ряд три красных кружка, под ними положить столько же синих, затем выясняется -как сделать так, чтобы в нижнем ряду кружков стало больше на 2 (добавить 2 кружка). Затем учитель предлагает положить в первый ряд 5 (4,6,7 ...) кружков, во второй ряд на 3 (2,5,4 ...) больше. Предполагается, что в результате выполнения таких заданий у ре­бенка сформируется понятие «больше на», которое найдет свое выражение в способе действий: «взять столько же и еще ...». Но, как показывает практика, в центре внимания учащихся в этом слу­чае прежде всего остаются различные числовые характеристики, а не сам общий способ действия. Действительно, выполнив первое задание, ученик может сделать вывод только о том, как «сделать больше на 2», выполнив следующие задания - «как сделать больше на 3 (на 4, на 5)» и т. д. В итоге, обобщенная словесная формулировка способа действия: «нужно взять столько же и еще» дается учителем, и большинство детей усваивают понятие «больше на» только в результате выполнения однообразных тре­нировочных упражнений. Поэтому они способны выполнять те или иные рассуждения только в рамках данной конкретной ситуации и на ограниченной области чисел.

В отличие от эмпирического, теоретическое обобщение осу­ществляется путем анализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних свя­зей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (теоретически - с помощью слова, знаков, схем) и становятся той основой, на кото­рой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия.

Необходимое условие формирования у младших школьников способности к теоретическому обобщению - направленность обу­чения на формирование общих способов деятельности. Для вы­полнения этого условия нужно продумать такие действия с мате­матическими объектами, в результате которых дети смогут сами «открывать» существенные свойства изучаемых понятий и общих способов действий с ними.

Разработка данного вопроса на методическом уровне пред­ставляет определенную сложность. В настоящее время - это одна из самых актуальных проблем начального обучения, решение ко­торой связано как с изменением содержания, так и с изменением организации учебной деятельности младших школьников, направ­ленной на его усвоение.

В курс начальной математики (В.В. Давыдов), целью которого является развитие у детей способности к теоретическому обобще­нию, внесены существенные изменения. Они касаются и его со­держания, и способов организации деятельности. Основу теорети­ческих обобщений в этом курсе составляют предметные действия с величинами (длина, объем), а также различные приемы модели­рования этих действий с помощью геометрических фигур и симво­лов. Это создает определенные условия для выполнения теорети­ческих обобщений. Рассмотрим конкретную ситуацию, которая связана с формированием понятия «больше на». Учащимся пред­лагаются две банки. В одну (первую) налита вода, другая (вторая) - пустая. Учитель предлагает найти способ решения следующей проблемы: как сделать так, чтобы во второй банке воды было бы вот на этот стаканчик (показывает стаканчик с водой) больше, чем в первой? В результате обсуждения различных предложений де­лается вывод: нужно перелить воду из первой банки во вторую, т. е. налить во вторую столько же воды, сколько ее налито в пер­вую банку, и затем вылить во вторую еще стаканчик воды. Создан­ная ситуация позволяет детям самим найти необходимый способ действия, а учителю сосредоточить внимание на существенном признаке понятия «больше на», т. е. нацелить учеников на овла­дение общим способом действия: «столько же и еще».

Использование величин для формирования у школьников обобщенных способов действий - один из возможных вариантов построения начального курса математики. Но эту же задачу можно решать, выполняя различные действия и с множествами предме­тов. Примеры таких ситуаций нашли отражение в статьях Г. Г. Микулиной.

Она советует для формирования понятия «больше на» исполь­зовать ситуацию с множествами предметов: детям предлагается пачка красных карточек. Нужно сложить пачку из зеленых карточек так, чтобы в ней было вот на столько (показывается пачка синих карточек) больше, чем в пачке красных. Условие: карточки пере­считывать нельзя.

Пользуясь способом установления взаимно-однозначного соот­ветствия, учащиеся выкладывают в зеленой пачке столько же кар­точек, сколько их в красной, и добавляют к ней еще третью пачку (из синих карточек).

Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщениями в курсе математики имеют место обобщения-соглашения. Примерами та­ких обобщений являются правила умножения на 1 и на 0, справед­ливые для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями: «в математике договорились...», «в математике принято считать ...».

 

Вопросы для самоконтроля

- Перечислите мыслительные операции, которые развиваются у младших школьников

- Сформулируйте суть и виды заданий, развивающих аналитико-синтетическое мышление на уроках математики.

- Назовите этапы формирования умения пользоваться приемом сравнения.

- Какие вопросы можно пред­ложить учащимся при организации деятельности, направленной на вы­деление признаков того или иного объекта?

- Какое действие над множествами лежит в основе приема классификации?

- С какой целью применяются умозаключения по аналогии?

- Дайте характеристику такого приема умственных действий, как обобщение.

 

Список литературы

1.      Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений.  – М: Издательский центр «Академия», 2020.

 

Практическое занятие

Тема: Проектирование заданий на развитие мыслительных операций

Цель: Научиться составлять задания на формирование приемов умственных действий на уроках математике в начальных классах.

План:

1.      Обобщение вопросов теории

2.      Решение упражнений

 

Вопросы:

- Перечислите мыслительные операции, которые развиваются у младших школьников

- Сформулируйте суть и виды заданий, развивающих аналитико-синтетическое мышление на уроках математики.

- Назовите этапы формирования умения пользоваться приемом сравнения.

- Какие вопросы можно пред­ложить учащимся при организации деятельности, направленной на вы­деление признаков того или иного объекта?

- Какое действие над множествами лежит в основе приема классификации?

- С какой целью применяются умозаключения по аналогии?

- Дайте характеристику такого приема умственных действий, как обобщение.

 

Упражнения на развитие умения проектировать и выполнять задания, формирующие мыслительные операции на уроках математики.

Задание 1. Ученикам дается инструкция: «Вы должны выполнить каждое за­дание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь воспользо­вавшись одним из правил, записанных на листе 1». Выполните данное задание,  следуя инструкции.

Лист 1

1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом де­лимого, то частное увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже раз­делится на это число.

5. Если из данного числа вычесть предшествующее ему число, то по­лучим ...

Лист 2

Задания расположены в другой последовательности, чем по­сылки.

1.         Найди разность: 84 - 84, 32 - 31, 54 - 53.

      2.         Назови суммы, которые делятся на 3: 9+27, 6+9, 5+18, 12+24, 3+4,
3+6.

3.         Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :

125-87  ...  127-87

246-93  ...  249-93

584- 121... 588- 121

4.         Сравни выражения и поставь знаки <, > или = :

304:8   ... 304:4

243:9   ... 243:3

1088:4   ... 1088:2

5.         Как быстро найти сумму в каждом столбике:

9	9	9	9
12	15	12	16
30	30	32	32
40	40	40	40

Ответ:    91.

Задание 2. Придумайте задания, в процессе выполнения кото­рых учащиеся будут рассматривать данные в них объекты с различных точек зрения.

Задание 3. Подберите различные пары предметов и изображе­ний, которые вы можете предложить первоклассникам, чтобы они устано­вили сходство и различие между ними. Придумайте иллюстрации к зада­нию «Что изменилось ...».

Задание 4. Составьте из данных математических выражений: 9+4, 520- 1, 9·4,4+9, 371, 520·1, 33, 13·1, 520:1, 333, 173, 9+1, 520+1, 222, 13:1 различные пары, в которых дети могут выявить признаки сход­ства и различия. При изучении каких вопросов курса математики началь­ных классов можно предложить каждое ваше задание?

Задание 5. Придумайте различные упражнения на соотнесение предметных и символических объектов, которые можно предложить уча­щимся при изучении смысла сложения, деления, таблицы умножения, деления с остатком.

    Задание 6. Покажите возможность применения приема сравнения при изучении сложения однозначных чисел в пределах 20, сложения и вычитания в пределах 100, правил порядка выполнения действий, а также при знакомстве младших школьников с прямоугольником и квадратом.

Задание 7. Придумайте упражнения различного содержания с инструкцией «Убери лишний предмет» или «Назови лишний предмет», которые вы могли бы предложить учащимся 1-го, 2-го, 3-го класса для развития умения проводить классификацию.

Задание 8. Составьте упражнения на классификацию, которые вы могли бы предложить детям для усвоения нумерации пятизначных и шестизначных чисел.

Задание 9. Составьте различные виды заданий на классифика­цию, которые вы могли бы предложить учащимся при изучении геомет­рического материала, деления с остатком, вычислительных приемов уст­ного умножения и деления в пределах 100, а также при знакомстве с квадратом.

Задание 10. Приведите примеры умозаключений по аналогии, которые возможно использовать при изучении алгоритмов письменного умножения и деления.

Задание 11. Подберите последовательность заданий, которые можно использовать для выполнения индуктивных умозаключений при изучении:

а)   правила «Если произведение двух чисел разделить на один множитель, то получим другой»,

б)   переместительного свойства сложения;

в)   принципа образования натурального ряда чисел (если к числу прибавить единицу, то получим следующее при счете число; если вычесть 1, то получим предыдущее число);

г)   взаимосвязей между делимым, делителем и частным;

д)   выводов: «сумма двух последовательных чисел есть число нечетное»; «если из последующего числа вычесть предыдущее, то получится 1»; «произведение двух последовательных чисел делится на 2»; «если к любому числу прибавить, а затем вычесть из него одно и то же число, то получим первоначальное число».

Опишите работу с этими заданиями, учитывая методические требова­ния к использованию индуктивных рассуждений при изучении нового материала.

Задание 12. Используя содержание курса начальной математи­ки, придумайте задания, при выполнении которых ученики могут сделать неверные индуктивные заключения.

Задание 13. Используя содержание курса начальной математи­ки, придумайте ситуации для теоретического и эмпирического обобщения при изучении какого-либо понятия, свойства или способа действия.

 

Список литературы

1.      Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений.  – М: Издательский центр «Академия», 2020.

2.      Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Ювента», 2019.

3.      Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Ювента», 2019.

4.      Моро М.И. Математика. 1 класс.Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электр. носителе. В 2 ч. Ч. 1. – М.: Просвещение, 2021.

5.      Моро М.И. Математика. 1 класс.Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электр. носителе. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение, 2021.

6.      Чекин А.Л. Математика: 1 класс: Учебник: В 2 ч. – М.: Академкнига/Учебник, 2019.

 

 

Скачано с www.znanio.ru