Методические рекомендации по выполнению практической работы "Перевод чисел из одной системы счисления в другую"

Тема работы: Перевод чисел из одной системы счисления в другую Цель работы: приобретение навыков выполнения перевода чисел из одной системы счисления в Практическая работа №1. другую. 1. Основные понятия систем счисления Теоретические сведения AF Система   счисления   —   это   совокупность   правил   и   приемов   записи   чисел   с   помощью   набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием ;510 системы   счисления.   Основание   системы   записывается   в   справа   числа   в   нижнем   индексе: ; 11101102   178 Различают два типа систем счисления:    Примером   непозиционной   системы   счисления   является   римская:   числа   IX,   IV,   XV   и   т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.  позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;  непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.  16 .  n  S n n  1 ...  1 n  2  A   AA 12 AA nn  SA Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:  X  1 где  S  — основание системы счисления;  nA — цифры числа, записанного в данной системе счисления;  n — количество разрядов числа.  Пример. Число  3 6293 106 Десятичная   система   счисления   –   в   настоящее   время   наиболее   известная   и   используемая. 6293 запишется в форме многочлена следующим образом:   SA 1 109   103  SA 2  102 10 2 ... 1 0 , 1 0 S 10 неправильное название удерживается и поныне.  Десятичная система использует десять цифр —– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.  В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1.  Таблица 1. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления  Шестнадцатерична Двоичная Восьмерична Десятична я 1  2  3  4  5  6  7  8  9  A  B  C  D  E  F  10  я 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  001  010  011  100  101  110  111  1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110  1111  10000  я 1  2  3  4  5  6  7  10  11  12  13  14  15  16  17  20 2 2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую Перевод   чисел   из   одной   системы   счисления   в   другую   составляет   важную   часть   машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.  1. Для перевода  двоичного числа  в десятичное  необходимо его  записать  в виде  многочлена, состоящего   из   произведений   цифр   числа   и   соответствующей   степени   числа   2,   и   вычислить   по правилам десятичной арифметики:  A n X При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:   2 1  2  A n A 2 A n  2  2  2 A 1 ...   2 0 3 2 2 1 1 n  n  n    Таблица 2. Степени числа 2  n n2 0 1 2 3 1 2 4 8 4 16 5 32 6 64 7 12 8 8 25 6 9 51 2 10 1024 Пример. Число  11101000 перевести в десятичную систему счисления.  20  2 21 1 20 20 20 21 21 21 0 2 3 4 5 6 7 11101000 2 232 10 2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего   из   произведений   цифр   числа   и   соответствующей   степени   числа   8,   и   вычислить   по правилам десятичной арифметики:   n  8 A 2 При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:  1  8  A n A n A n A 1  8  8  8 ... X   1 8 0 3 2 2 1 n n     n n8 0 1 1 8 2 64 3 512 4 4096 5 32768 6 26214 4 Таблица 3.Степени числа 8  Пример. Число  75013 перевести в десятичную систему счисления.  8 3 3. Для   перевода   шестнадцатеричного   числа   в   десятичное   необходимо   его   записать   в   виде многочлена,   состоящего   из   произведений   цифр   числа   и   соответствующей   степени   числа   16,   и вычислить по правилам десятичной арифметики:  3 2 1 0 n n n    16 A n   X 16 A 1 При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:    16  16 A 2 A n A n 16 ...    2 1   1  16 Таблица 4. Степени числа 16  n n16 0 1 1 16 2 256 3 4096 4 65536 5 1048576 6 16777216 Пример. Число  FDA 161 перевести в десятичную систему счисления.   1 FDA 16  1  16 161 163  16 13 15 10   0 2 64929 10 4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на  2 до  тех пор,  пока  не останется  остаток, меньший  или  равный  1.  Число   в двоичной  системе записывается   как   последовательность   последнего   результата   деления   и   остатков   от   деления   в обратном порядке.  Пример. Число  1022 перевести в двоичную систему счисления.  22  10 10110 2 5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.  Пример. Число  571 перевести в восьмеричную систему счисления.  10 6. Для   перевода   десятичного   числа   в   шестнадцатеричную   систему   его   необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной   системе   записывается   как   последовательность   цифр   последнего   результата деления и остатков от деления в обратном порядке.  Пример. Число  7467 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.  2 4 7467 10 BD 21 16 7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки   цифр),   начиная   с   младшего   разряда,   в   случае   необходимости   дополнив   старшую   триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).  Пример. Число  1001011 перевести в восьмеричную систему счисления.  2 8. Чтобы перевести число из двоичной системы  в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).  Пример. Число  1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.  2 9. Для   перевода   восьмеричного   числа   в   двоичное,   необходимо   каждую   цифру   заменить эквивалентной ей двоичной триадой.  Пример. Число  8531 перевести в двоичную систему счисления.  10.  Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное, необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.  Пример. Число  168EE перевести в двоичную систему счисления.  11.  При   переходе   из   восьмеричной   системы   счисления   в   шестнадцатеричную   и   обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.  Пример 1. Число  FEA перевести в восьмеричную систему счисления.  16 Пример 2. Число  6653 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.  8  6653 8   1101 1010 1101101010  1011    211 DAB 2 16 Задание: 1. Выполнить перевод чисел  а) из 10–ой с/с в 2–ую систему счисления: 165; 541; 600; 720; 43,15; 234,99. б) из 2–ой в 10–ую систему счисления: 1101012; 110111012; 1100010112; 1001001,1112 в) из 2–ой с/с в 8–ую ,16–ую с/с: 1001011102; 1000001112; 1110010112; 10110010112; 1100110010112;  10101,101012; 111,0112 5 г) из 10–ой с/с в 8–ую, 16–ую с/с: 69; 73; 113; 203; 351; 641; 478,99; 555,555 д) из 8–ой с/с в 10–ую с/с: 358; 658; 2158; 3278; 5328; 7518; 45,4548 е) из 16–ой с/с в 10–ую с/с: D816; 1AE16; E5716; 8E516; FAD16; AFF,6A716 2. Выпишите   целые   десятичные   числа, промежуткам:    принадлежащие   следующим   числовым [101012; 1100002];       [148; 208];       [1816; 3016] 3. Переведите из десятичной системы счисления в римскую систему счисления:  Вариант № 1  а) 27 =  б) 67 =  в) 184 =  г) 478 =  Вариант № 2  а) 24 =  б) 78 =  в) 196 =  г) 743 =  4. Переведите из римской системы счисления в десятичную систему счисления:  Вариант № 1  а) IV =  б) XXVIII =  в) DCCCXLV =  г) MMMCDLXXXIX =  Вариант № 2  а) VIII =  б) XXXVII = в) CDLXXIV = г) MMDCCCLXI  5. Сделайте вывод о проделанной работе.