МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине «МАТЕМАТИКА» Раздел 2. Теория комплексных чисел

Омский летно­технический колледж гражданской авиации имени А.В. Ляпидевского ­ филиал  федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования  «Ульяновский институт гражданской авиации имени Главного маршала авиации Б.П. Бугаева»  (ОЛТК ГА – филиал ФГБОУ ВО УИ ГА ) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ  ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ  по  дисциплине «МАТЕМАТИКА» Раздел 2. Теория комплексных чисел Специальности  25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и  двигателей 25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и  пилотажно­навигационных комплексов 25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов  0 Омск ­ 2017 1 Разработал: Пищагина Е.С., преподаватель математики Рассмотрено на заседании ЦМК ЕНД и ОВД от «_____»__________20__г. Протокол №_________ 2 1. Пояснительная записка Внеаудиторная   самостоятельная   работа   является   обязательным видом   учебной   работы   курсантов.   Объем   внеаудиторной самостоятельной   работы   курсантов     определяется   учебным   планом. Рабочей программой дисциплины «Математика» предусмотрено до 50% внеаудиторного   самостоятельного   изучения   учебного   материала. Методические   указания   к   выполнению   самостоятельной   работы   по учебной   дисциплине   «Математика»   предназначены   для   обобщения, систематизации   и   получения   более   глубоких   знаний   дисциплины, закрепления   полученных   умений   и   навыков,   повышения   уровня подготовки курсантов, а также для осуществления  контроля  качества усвоения учебного материала. Курсанты   должны   уметь   использовать   справочники,   таблицы,    уметь решать прикладные задачи. 3 Тема: Действия над комплексными числами. Цель: формирование знаний о формах записи комплексных чисел;  изучить способы перехода от одной формы комплексного числа к  другой. Задача: 1) 2)  выполнять действия над комплексными числами;   осуществлять перевод комплексных чисел из одной формы в  другую. 4 Теоретические сведения 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация Комплексными числами называются числа вида  a  , где  a  и  b  ­ действительные   числа,   а   число   i ,   определяемое   равенством   , 1 называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом: 2 i bi 1) два комплексных числа  1  a ib 1  и  a 2  ib 2  называются равными, если  a   и  1 a 2 b  ; b 2 1 2) суммой двух комплексных чисел   1  a ib 1   и   a 2  ib 2   называется комплексное число  a 1  a 2     b 1 ib 2 ; называется комплексное число   3) произведением   двух   комплексных   чисел   ba 21   z алгебраической формой записи комплексного числа.  Запись   комплексного   числа   в   виде aa 21 bb 21    1  a ib 1 iba  12    a bi   и   a 2  ib 2 . называется Действительное   число   a   называется   действительной   частью ,   а   действительное   число   b   ­   мнимой  bi a z комплексного   числа   частью. Любое   действительное   число   a   содержится   в   множестве . Числа 0, 1 и  i  и   0 a i комплексных чисел, его можно записать так:  i 011 i 00 ,  записываются соответственно в виде   10 i 0 a . i 0a При   число  bi .   комплексное число   a    обращается в чисто мнимое bi Комплексное число   a  bi   называется комплексно сопряженным с числом  bi a   и обозначается  z , т.е.  5 z  bi a a bi . Комплексные   числа   вида   a    bi и    a  bi   называются противоположными. Модулем комплексного числа  z  a bi  называется число  2 a  b 2 :                                        z  bi a 2 a 2  b                                          (1) Модуль   комплексного   числа   всегда   есть   действительное   тогда и  только тогда, , причем   0z 0z неотрицательное  число: когда  0z . a bi Комплексное число  z ba;   можно изображать точкой плоскости с   координатами      (рис.1).   При   этом   действительные   числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.  Каждой   точке   плоскости   с   координатами    0;0O один и только один вектор с началом в точке  baM ; bi вектора   и концом в точке  . Поэтому комплексное число  OM   соответствует  и концом в точке a   можно изобразить в виде .   с началом в точке  ba; 0z  bi  z a  z   Из   геометрической   интерпретации   комплексного   числа   вытекают следующие свойства.  a bi   симметричны   относительно  симметричны относительно точки    геометрически   изображается   как   вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам 1z  и  2z  (рис.2). 2 0z . 1. Длина вектора Z равна  z . 2. Точки     и    bi z z a действительной оси. 3. Точки  z  и  z  4. Число   1 z z 6 z z  1 5. Расстояние между точками  1z  и  2z  равно  Угол     между   действительной   осью   Ox   и   вектором   OM , отсчитываемый   от   положительного   направления   действительной   оси, называется   аргументом  комплексного   числа     (см.   рис.   1).  Если отсчет   ведется   против   движения   часовой   стрелки,   то   величина   угла считается   положительной,   а   если   по   движению   часовой   стрелки,   ­ отрицательной.  (рис. 3). 0z 2 Аргумент   комплексного числа  z  a bi                                                             (2)  записывается так:  arg или    z a  bi arg Для числа  0z  аргумент не определен. Аргумент   комплексного   числа   определяется   неоднозначно;   любое комплексное   число   имеет   бесконечное   множество   аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное   2 . Наименьшее по   абсолютной   величине   значение   аргумента   из   промежутка   называется главным значением аргумента. 0z Из   определения   аргумента   тригонометрических   функций   следует, что если   arg  a  bi , то имеют место равенства                                                           cos  a 2  a 2 b  a r sin  ,   b 2  a 2 b  b r (3)  Справедливо  и   обратное  утверждение,   т.е.   если  выполняются  оба .   Таким   образом,   все   значения равенства   (3),   то   аргумента   можно находить, решая совместно уравнения (3). arg bi a    7 Значения   аргумента   комплексного   числа   z 0 bi a   можно находить и так: 1) определить,   в   какой   четверти   находится   точка   bi (использовать геометрическую интерпретацию числа   a z z );  a bi 2) найти в этой четверти угол  , решив одно из уравнений (3) или уравнение                                                                                                         tg  b a ; (4) arg 3) найти все значения аргумента числа Z по формуле z  k ,2   Z k . 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа (см.п. 1). Рассматривая   вычитание   и   деление   комплексных   чисел   как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:  a 1  ib 1    a 2  ib 2    a 1    b 1  a 2 ib 2 ; a 1 a 2   ib 1 ib 2  aa 21 2 a 2   bb 21 2 b 2  ba 12 2 a 2   ba 21 2 b 2 i . 8 3. Действия над комплексными числами,  заданными в тригонометрической форме 1.1 Тригонометрическая форма комплексного числа Пусть   r  bi a 2 a 2  b аргумента   комплексного   числа   вытекает, что  cos a  b  bi sinr , то  ,  r   ­   модуль,   а     ­   одно   из   значений a  .   Так   как   из   соотношений   (3)                                                                                               (5) a  bi r  cos  sin  i  Таким образом, любое комплексное число   можно записать по формуле (5), где   r   ­ модуль, а     ­ одно из значений аргумента этого числа. 0 bi a Верно   и   обратное   утверждение:   если   комплексное   число   bi представлено в виде (5), где  0r arg , то   a   bi ,  a  r bi a  . Представление комплексного числа в виде z  r  cos  sin  i  ,   0r где комплексного числа. ,   называется   тригонометрической   формой   записи Для   представления   комплексного   числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) arg z одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности  тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна. bi a z      9 1.2Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме Произведение   комплексных   чисел     находится по формуле  i  cos sin 2  r 2  2 z 1  r 1  z 2 cos  i  1 sin 1    и  1  cos r 1 ,    (6) т.е.  zz 21  i sin  1    r 2 cos  2  i sin  2   rr 1 2    cos 2 1    i sin 2    1   rr 1 2 z 1 z 2 ,   arg   zz 21 2 1  . Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической   форме,   их   модули   перемножаются,   а   аргументы складываются. Частное   комплексных   чисел  r 1  находится по формуле   i  cos z 1 2  r 2  2    z 2  cos  i  1 sin 1     1  2   i i sin sin   1   2  r 1 r 2  cos   2  1   i sin 2     1 и , sin  r cos 1  r cos 2                          (7) т.е.  z 1 z 2  r 1 r 2 z 1 z 2 ,   arg z 1 z 2   2 1 . Таким   образом,   при   делении   комплексных   чисел,   заданных   в тригонометрической   форме,   их   модули   делятся,   а   аргументы вычитаются. 10 Для возведения комплексного числа   r используется формула cos  sin  i   в n­ю степень                              (8)   r cos   i sin    n n  r  cos  n  i sin  n ,  Zn  , которая называется формулой Муавра. Для   извлечения   корня  n­й   степени   из   комплексного   числа   используется формула  r cos  sin  i                       z k  n  r cos   i sin    n r    cos  k  2 n  i sin  k  2 n    , (9) где  n r  ­ арифметический корень,  k  ,2,1,0 ..., n  1 . 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера Степень   ze   с   комплексным   показателем   z  x iy   определяется равенством  z e     1 lim   n z n    n . Можно доказать, что z e x  e  cos  y i sin y ,  т.е. x  iy e e x  cos  y i sin y                                      (10) В частности, при  0x  получается соотношение 11 eiy  cos  y i sin y                                           (11) которое называется формулой Эйлера.  Для комплексных показателей  остаются в силе  основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются. Показательная функция имеет период, равный  В частности, при  0z  получается соотношение  i2 2 ie  1 z i  2 e e z . , т.е.  . Тригонометрическую форму комплексного числа   z  r  cos можно заменить показательной формой:  z  i re .  sin  i  Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных   в   показательной   форме,   выполняются   по   следующим формулам:  i 1 er 1  er 2  i 2  r 1 er 2  2  1  i ;                                 (13)  i 1  i 2 er 1 er 2  i e  r 1 r 2 2   1 ;                                      (14)   i re n   n er in  ;                                         (15) n  i re n  er  k  2 n i  k  ,2,1,0 ..., n  .                      (16) 1 Формула   Эйлера     между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Заменив в ней  y на  и на     устанавливает   связь , получим  (11) 12  e i  cos   i sin  ,     e i cos   i sin  . Складывая и вычитая эти равенства, получим cos     i e  i   e 2 ,         (17)           sin    i e   e  i       2 i ,               (18) Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражающие   тригонометрические   функции   через   показательные, позволяют   алгебраическим   путем   получить   основные   формулы тригонометрии. 13 Вариант 1   1. Выполните   сложение   комплексных   чисел   в   алгебраической форме:   Вычисленную   сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора. 2. Выполните   деление   комплексных   чисел   в   алгебраической 6380 , , 1120 , ,   j     j . форме:  45 33   j j .   3. Решите квадратное уравнение  2 2 z 4. Выполните   тригонометрической     3 30 5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме: умножение  в форме: 13 комплексных  0   чисел   45 cos cos sin sin  10 45 30  2   z   j j       .   .   j  2 3 2 e   . j  5 50 e  , 6. Вычислите все значения  3 алгебраической форме. 7. Найдите   все   комплексные   корни   уравнения   Значения корней запишите в алгебраической форме. 8 . Найденные значения запишите в z 4 0 81 . Вариант 2   1. Выполните   вычитание   комплексных   чисел   в   алгебраической форме:   Вычисленную   разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора. 2. Выполните   деление   комплексных   чисел   в   алгебраической 247 , 393 , j        j . форме:  21 43   j j . 3. Решите квадратное уравнение  4. Выполните деление  комплексных чисел в тригонометрической  форме:  3  05 2 2 z cos cos  9 sin sin  25 72 72 25   2 z   :    j j       . .   14 5. Выполните   умножение   комплексных   чисел   в   показательной форме:  j  2 5  j 9   e  3 . e   1 3 6. Вычислите все значения  4 в алгебраической форме. 7. Найдите   все   комплексные   корни   уравнения   Значения корней запишите в алгебраической форме. 16 . Найденные значения запишите z 3 27  0 . Вариант 3   1. Выполните   сложение   комплексных   чисел   в   алгебраической форме:   Вычисленную   сумму изобразите на комплексной плоскости в виде вектора. 2. Выполните   деление   комплексных   чисел   в   алгебраической 3041 , , 7194 , , j       j . форме:  52 86   j j .   3. Решите квадратное уравнение  8 2 z 4. Выполните   тригонометрической     5 42 5. Выполните деление комплексных чисел в показательной форме: умножение    01 комплексных в форме: чисел   28   3 cos cos sin sin  28 42   4 z j       j .       j  3 4 3 e   . j  3 9 e   6. Вычислите все значения  3 в алгебраической форме. 7. Найдите все комплексные корни уравнения  корней запишите в алгебраической форме. 64 . Найденные значения запишите z 014 . Значения Вариант 4 15  1. Выполните   вычитание   комплексных   чисел   в   алгебраической форме:   Вычисленную   разность изобразите на комплексной плоскости в виде вектора. 2. Выполните   деление   комплексных   чисел   в   алгебраической 5,21,5 31,2 j        j . форме:  45 33   j j . 3. Решите квадратное уравнение  13 2 z 4. Выполните деление  комплексных чисел в тригонометрической  форме:  2 5. Выполните   умножение   комплексных   чисел   в   показательной форме:   . 02   z 10 cos cos sin sin  8 58 85 85 58    :    j j      .    j  3 4  6 .  j 5   e  2 e 81 6. Вычислите все значения  4 в алгебраической форме. 7. Найдите все комплексные корни уравнения  корней запишите в алгебраической форме.   . Найденные значения запишите z 3 08 . Значения 16 Критерии оценивания работы Приведенное  верное  решение   каждого   задания   оценивается   двумя баллами.   Количество баллов Оценка 0  5 6  8 9  12 13  14 2 3 4 5 17 Используемая литература 1. Дадаян   А.А.   Математика:   Учебник   для   среднего профессионального образования. –  М.: Форум, 2008.  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. ­ М.: Высшая школа, 1991. 3. Богомолов Н.В. «Практическое занятие по математике». – М.: Высшая школа, 2000. Интернет – ресурсы 1. http   ://   window  .  edu   .  ru – Единое окно доступа к образовательным    ресурсам 2. http   ://   matclub  .  ru ­ Высшая математика, лекции, курсовые,    примеры решения задач, интегралы и производные,  дифференцирование, производная и первообразная, ТФКП,  электронные учебники 3. http   ://   www   .  mat    .  september    .  ru  ­ Газета «Математика»  «издательского дома» «Первое сентября» 4. http  5. http   .  mathematics  ://   www     .  msu   ://   school    .  ru  ­ Математика в Открытом колледже  .  ru  ­ Математика: Консультационный центр  преподавателей и выпускников МГУ 6. http ://www. exponenta.ru  ­  Образовательный  математический  сайт  7. http://www.mathnet.ru  ­ Общероссийский математический портал  Math­Net.Ru 8. http ://www. alhnath.ru  ­ Портал Alhnath.ni ­ вся математика в  одном месте 9. http ://www.bvmath.net ­ Вся элементарная математика: Средняя  математическая интернет – школа. 10. http   ://   diffurov  .  net ­ Диффуров.НЕТ ­ сайт, где решают    дифференциальные уравнения 18 19