МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине «Математика». Раздел 1. Линейная алгебра

Омский летно­технический колледж гражданской авиации  имени А.В. Ляпидевского ­ филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования  «Ульяновский институт гражданской авиации имени Главного маршала авиации Б.П. Бугаева» (ОЛТК ГА – филиал ФГБОУ ВО УИ ГА ) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ  ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ  по  дисциплине «Математика» Раздел 1. Линейная алгебра Специальности  25.02.01 Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей 25.02.03 Техническая эксплуатация электрифицированных и  пилотажно­навигационных комплексов 25.02.04 Летная эксплуатация летательных аппаратов  0 Омск ­ 2017 1 Разработал: Пищагина Е.С., преподаватель математики Рассмотрено на заседании ЦМК ЕНД и ОВД от «_____»__________20__г. Протокол №_________ 2 АННОТАЦИЯ       по рекомендации Методические выполнению самостоятельной работы по дисциплине «Прикладная математика», являющейся   дисциплиной   математического   и   общего естественнонаучного учебного цикла составлены в соответствии с требованиями   Федерального   государственного   образовательного стандарта   специальности   и   на   основании     программы   учебной дисциплины   ЕН.01,   Прикладная   математика   (рассмотрена   и утверждена на заседании ЦМК ЕНД и ОВД  Методические  «____» ___________20____г., протокол № ___) по выполнению самостоятельных  работ  предназначены  для  курсантов  1 курса  по специальности:  рекомендации       11.02.06   Техническая   эксплуатация   транспортного радиоэлектронного оборудования (по видам транспорта).  Темы   самостоятельных   работ   соответствует   основным разделам программы, их выполнение обеспечивает более глубокое изучение материала, направлено на закрепление и систематизацию знаний, умений и формирование общих компетенций.  Рецензент: ____________,  председатель ЦМК ЕНД и ОВД  ОЛТК ГА филиала ФГБОУ ВПО УВАУ ГА (И) 3 Пояснительная записка Сборник самостоятельных работ  по дисциплине «Прикладная математика»   создан   для   организации   внеаудиторной самостоятельной работы курсантов. Самостоятельная   работа   позволяет   оптимально   сочетать теоретическую и практическую составляющие обучения. При этом обеспечивается   переосмысление   места   и   роли   теоретических знаний,   их   упорядочивание,   что,   в   конечном   счёте,   приводит   к повышению мотивации курсантов в их освоении. Самостоятельная работа планируется и организуется с целью проверки теоретических знаний,   формирования   самостоятельного логического мышления.   Из всех ключевых компетенций, которые формируются   в   процессе   выполнения   самостоятельных   работ, следует   выделить   следующие:   умение  принимать   решения   в стандартных   и   нестандартных   ситуациях   и   нести   за   них ответственность,   повышение   ответственности   за   собственное обучение.   их   углубления, В   данном   сборнике   предлагаются   следующие   виды самостоятельных работ курсантов: • решение заданий по образцу; • типовые расчеты, преобразования. 4 Раздел 1. Линейная алгебра Тема 1.1. Матрицы, определители   «Вычисление  определителей  высокого  порядка » Приведение определителя к треугольному виду С   помощью   элементарных   преобразований   над   строками   или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его   равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.   согласно свойствам   определителя,  значение,   Определитель треугольной матрицы равен               произведению   элементов главной диагонали. Свойства определителей 1. Если у определителя какая­либо строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. 2. Если какие­либо две строки (два столбца) определителя равны или   пропорциональны   (т.е.   элементы   одной   строки   (столбца) получаются умножением элементов другой строки (столбца) на одно и то же число), то определитель равен нулю. 3.   Если   две     строки   (два   столбца)   поменять   местами,   то определитель изменит знак. 4. Общий множитель элементов любой строки или столбца можно выносить за знак определителя.   (столбца)   прибавить 5.   Если   к   элементам   одной   строки   соответствующие   элементы   другой   строки   (столбца), предварительно   умноженные   на   одно   и   то   же   число,   то определитель не изменится. 6.  Определитель   не   изменится   при   замене   всех   его   строк соответствующими столбцами: 5 Задание. Вычислить   определитель  приведением его к треугольному виду. Решение. Сначала   делаем   нули   в   первом   столбце   под   главной диагональю.   Все   преобразования   будет   выполнять   проще,   если элемент   будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и   второй   столбцы   определителя,   что,   согласно   свойствам определителя,   приведет   к   тому,   что   он   сменит   знак   на противоположный:    , для Далее  получим нули  в первом столбце,  кроме элемента  этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь: Далее   получаем   нули   во   втором   столбце   на   месте   элементов, стоящих   под   главной   диагональю.   И   снова,   если   диагональный элемент будет равен   , то вычисления будут более простыми. Для этого   меняем   местами   вторую   и   третью   строки   (и   при   этом меняется на противоположный знак определителя): 6 Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой ­ две вторых строки, получаем: Далее из третьей строки выносим (­10) за определитель и делаем нули   в   третьем   столбце   под   главной   диагональю,   а   для   этого   к последней строке прибавляем третью: Ответ.  7 (Вариант соответствует порядковому номеру в журнале) Варианты заданий 1. Вычислить определитель разложением а) по i­ той строке; б) по j­ тому столбцу. 2. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду. В. 1.   0421 5230 1421 2034 ;     В. 2.  842 203 472 310 1 4 8 2  ;      В. 3.  4 2 0 2   302 121 013 304 ;            i=2, j=3.                         i=4, j=1.                          i=3, j=2. В. 4.     1 2 2 2   302 041 301 413 ;   В. 5.   10 01 73 48  42 23 01 13 ;       В. 6.    8642 2104 4016 5108 ;            i=3, j=3.                           i=1, j=4.                           i=2, j=2. В. 7.   3 8 1 0   646 032 312 014 ;   В. 8.  1 0 3 1  2 4 1 0  4 8 0 1 8 6 4 4  ;     В. 9.   01 21 30 04 4 1 0 3   2 2 2 1 ;             i=4, j=4.                          i=2, j=2.                         i=3, j=2. 8 В. 10.  234 130 147 230   2 0 2 4 ;  В. 11.  2 8 4 2 0 6 11 0 0 6 6 0 2 2 1 1 ;   В. 12.  4 1 0 2  2 2 1 0   03 41 13 14 ;             i=2, j=1.                       i=1, j=2.                           i=3, j=2. В. 13.  31 40 11 23  1 1 0 1  1 2 4 4 ;    В. 14.    2 4 1 2  101 112 301 281 ;   . 15.   2 3 2 4  1 0 1 1 10 12 03 20 ;              i=2, j=3.                            i=1, j=3.                        i=4, j=2. В. 16.   4 1 8 1 1 0 4 1   86 46 10 30 ;  В. 17.   3104 4201 2153 4120 ;   В. 18.  2 0 2 3   121 113 204 201 ;              i=2, j=3.                            i=2, j=4.                      i=1, j=3. В. 19.  2 4 2 1   1 8 0 1  00 16 11 40 ;   В. 20.  133 402 002 314  0 3 4 2  ;  В. 21.   5 0 3 6    321 212 012 801 ;             i=2, j=2.                             i=1, j=4.                          i=3, j=2. 9 В. 22.  8 4 2 1 266 11 13 800 143 ;    В. 23.   41 92 74 00 10 23 31 52  ;   В. 24.  2 0 2 2   25 43 71 84 1 5 2 3   ;             i=1, j=3.                          i=2, j=1.                        i=3, j=4. В. 25.  2 1 2 3   32 40 10 42  3 0 5 2 ;  В. 26.  3 33 22 0 164 312  1 1 6 2  ; В. 27.   1263 2402 2703 3541 ;             i=4, j=3.                               i=3, j=3.                       i=1, j=2. В. 28.    7313 5048 1622 0498 ;     В. 29.     035 223 642 310 3 4 3 2  ;    В. 30.  30 10 46 37  42 03 01 80 .             i=3, j=3.                            i=2, j=1.                         i=3, j=2. 10 Форма контроля и критерии оценки выполнения практических заданий Задания   выполняются   в   специальных   тетрадях   для самостоятельной работы. «Отлично»   (   5   )  выставляется   в   случае,   когда   задание выполнено полностью. «Хорошо»   (   4   )  выставляется   в   случае,   когда   задание выполнено правильно, но есть неточности в вычислениях.  «Удовлетворительно»   ( 3  )  ­   в   случае,   когда   правильно выполнено более 50% задания, но есть ошибки в алгоритме решения и неточности в вычислениях.  «Неудовлетворительно»   ( 2 )  ­ в случае, когда правильно выполнено  менее  половины  задания  или   при  выполнении   задания есть грубые ошибки в алгоритме вычисления определителя. Список литературы 1. Пехлецкий   И.Д.   Математика:  Учебник   для   студентов образовательных   учреждений   среднего   профессионального образования».  –  М., 2010, (стр. 253)  2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. ­ М.: Высшая школа, 1991., (стр. 75­78) 11 Тема 1.2.  Системы  линейных  уравнений «Применение  СЛАУ  для решения практических задач » В настоящее время интенсивно развивается математический  аппарат, применяемый в экономике. Использование элементов  алгебры матриц является одним из основных методов решения  экономических задач.  Также   в   экономике   имеется   ряд   задач,   решение   которых сводится   к   составлению   и   решению   систем   линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по запасам сырья. Системы   линейных   уравнений   применяются   для моделирования   реальных   объектов   физического   мира.   Решим методом   Гаусса   одну   из   таких   задач   ­   на   сплавы.   Аналогичные задачи ­ задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные. Пример. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый  сплав содержит 60% меди, второй ­ 30%, третий ­ 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше,  чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем  во втором. Найти массу каждого куска сплава. Решение. Составляем систему линейных уравнений: Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем  эквивалентную систему линейных уравнений: 12 Составляем расширенную матрицу системы: Внимание, прямой ход метода Гаусса. Путём сложения (в нашем  случае ­ вычитания) одной строки, умноженной на число  (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят  следующие преобразования: Прямой ход метода Гаусса завершился. Получили расширенную  матрицу трапециевидной формы. Применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Видим, что z = 43. Из второго уравнения находим  y = 35. Из  третьего уравнения – x = 72. 13 Примеры решения экономических задач с использованием  системы m линейных уравнений с n переменными. Задача 1.  Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S1,S2,S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей: Вид сырья Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед. Сапоги 5 2 3 Кроссовки Ботинки 3 1 2 4 1 2 S1 S2 S3 Расходы сырья   на один   день, усл. ед. 2700 900 1600 Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви. Решение. Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 пар сапог, х2 пар кроссовок и х3  пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему: 5х1 + 3х2 + 4х3 = 2700 2х1 + х2 + х3 = 900 3х1 + 2х2 + 2х3 = 1600 Решим данную систему методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу данной системы и преобразуем ее. 5     3     4      2700            2     1     1      900                  2     1     1      900 2     1     1      900      ~ 5     3     4      2700      ~      0    ­1    ­3     ­900 3     2     2      1600             3     2     2      1600              0    ­1    ­1     ­500 14 2     1      1         900              2     1     1       900 ~     0     ­1    ­3       ­900      ~     0     1     3        900   .        0      1     1         500             0     0     2        400 Теперь найдем переменные обратным ходом метода Гаусса. 2х1+ х2 +   х3   = 900          х2 +  3х3  = 900 2х3  = 400 х3 = 200  х2 = 900 – 3х3 х1 = (900– х2 –х3) : 2 х1 = 200 х2 = 300 х3 = 200 Ответ: обувная фабрика ежедневно выпускает 200 пар сапог, 300 – кроссовок и 200 пар ботинок. Задача 2.  С   двух   заводов   поставляются   автомобили   для   двух автохозяйств,   потребности   которых   соответственно   200   и   300 15 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй – 150 машин. В таблице приведены затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство. Завод 1 2 Затраты на перевозку в автохозяйство,  ден. ед. 1 15 8 2 20 25 Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин. Решение.  Пусть хij  – количество машин, поставляемых с i – ого завода    j – ому автохозяйству (i, j = 1, 2). Получаем систему х11 + х12                                  = 350                            х21 +  х22        = 150 х11                 +   х21                        = 200                 х12                + х22   =300 15х11 + 20х12 + 8х21 + 25х22   = 7950 Решаем данную систему методом Гаусса. Получаем 1       1    0      0          350                    1     1     0     0       350 0       0    1       1         150                    0     0     1     1       150 1       0     1      0         200           ~         0     ­1     1     0     ­150        ~ 0       1     0      1         300                    0     1     0     1        300 15    20    8     25        7950                  0     5     8     25     2700  16 1      1      0       0       350                          1     1     0        0         350        0     ­1      1       0      ­150                         0    ­1      1       0        ­150 ~     0       0      1       1       150              ~         0     0      1       1         150    ~        0       0      1       1       150                         0     0      13     25       1950        0       0     13     25     1950                        0     0      0       0          0       1     1     0     0        350       0    ­1     1     0       ­150 ~    0     0     1     1         150   .       0    0     0      12       0       0    0     0      0         0 Таким образом, получаем систему:        х11 + х12     = 350                                               ­х12 + х21    = ­150                                                                             х21 +  х22    = 150                                                                                    12х22   = 0 х22 = 0 х21 = 150 х12 = 300 х11 = 50 17 Ответ: х11 = 50; х12 = 300; х21 = 150; х22 = 0. Задача 3. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов.   Необходимые   характеристики   производства   указаны   в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Вид сырья  Расход   сырья   по   видам   продукции, вес. ед./изд.  Запас сырья, 1  2  3  1  6  4  5  2  4  3  2  3  5  1  3  вес. ед  2400  1450  1550  Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2, x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида   сырья   можно   записать   балансовые   соотношения,   которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными  6  4   5    5 2400 3  1450 x   1550 3 x 1 x 1 x 1 4 3 2 x x x    2 2 2 x 3 x 3 Решаем эту систему уравнений  методом  Крамера. 18  546 134 325  621344535514524336 21  1 2400 1450 1550 54 13 32  2 6 4 5 2400 1450 1550 5 1 3  3 46 34 25 2400 1450 1550  2400  33 1450  1452 1550  35 1550  21  6 1450  43 1550  5 2400  551 1450  15 1550  36 1550  24 2400  4 1450  5 2400  4453 Итак, находим, что   при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции   составляют   по   каждому   виду,   соответственно   (в условных единицах), x 1   3150  21  150 x 2  x 3    5250  21 2100  21  250  100 19 Ответ: х1 = 150, х2 = 250, х3 = 100. 20 Задания для самостоятельной работы: №1. Составить математическую модель (систему уравнений).  Решить систему методом Крамера. Из листового металла необходимо выкроить 360 заготовок типа А,  300 заготовок типа В и 675 заготовок типа С. При этом можно  применять 3 способа раскроя. Количество заготовок,  получаемых  из каждого листа при каждом способе раскроя указано в таблице.  Определить, сколько листов потребуется для каждого типа  заготовки.  1 3 1 4 2 2 6 1 3 1 2 5 Способ раскроя Тип  заготовки  А  В  С    Указание: обозначить x1 – количество листов, раскраиваемых  способом 1, х2 ­ количество листов, раскраиваемых способом 2, х3 ­  количество листов, раскраиваемых способом 3.  Кол­во  заготовок  360  300   675 Ответ для самоконтроля: 90 листов для заготовки А, 15 листов  для заготовки В, 60 листов для заготовки С №2. Составить математическую модель (систему уравнений).  Решить систему методом Гаусса. Анализом установлен следующий химический состав образца  природного камня: СаО = 0,70%, SiO2 = 71,97%, Аl2O3 = 16,46%,  Na2O = 2,95%, К2O = 5,54%, Н2O = 2,42%. Минералогическим  анализом дополнительно установлены в составе камня минералы:  кварц, слюда (мусковит), ортоклаз, альбит, анортит. Вычислить  содержание отдельных минералов в процентах. Вспомогательные  данные для решения приведены в таблицах 1­ 2:  21 Таблица 1­Молекулярные массы химических соединений Таблица 2 – Молекулярные массы минералов Сведем исходные данные в таблицу  Таблица 3 – Исходные данные для решения задачи Решение:  1. Обозначить процентное содержание кварца – x1, ортоклаза ­ x2,  мусковита безводного ­ x3, альбита ­ x4, анортита ­ x5.  2. Составить уравнения, пользуясь данными из таблицы.  3. Решить систему уравнений.  Ответ для самоконтроля:  32.12% ­ кварца,  20.99% ­ ортоклаза,  16.09% ­ мусковита безводного,  24.93% ­ альбита,  22 3.475% ­ анортита 23 Форма контроля и критерии оценки выполнения практических заданий Задания   выполняются   в   специальных   тетрадях   для самостоятельной работы. «Отлично»   ( 5 )  выставляется в случае, когда правильно решены обе задачи. «Хорошо»   ( 4 )  выставляется   в   случае,   когда   правильно решены 2 задачи, но есть неточности в вычислениях.  «Удовлетворительно»   ( 3  )  ­   в   случае,   когда   правильно решена 1 задача, или решено 2 задачи, но есть ошибки в алгоритме решения и неточности в вычислениях.  «Неудовлетворительно»  ( 2 ) ­ в случае, когда не решено ни одной     задачи,     или   решена   1   задача   но   есть   грубые   ошибки   в вычислениях. Список литературы 1. Дадаян   А.А.   Математика:   Учебник   для   среднего профессионального образования.– М.: Форум, 2008. (стр.92­ 113) 2. Лисичкин   В.Т.,   Соловейчик   И.Л.   Математика:   Учебное пособие для техникумов. ­  М.: Высшая школа, 1991.,  (стр. 91­94) 24