Методические указания

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области «Уральский политехнический колледж Межрегиональный центр компетенций» (ГАПОУ СО «Уральский политехнический колледж ­ МЦК») 1 Методические указания       по выполнению контрольной работы             учебной дисциплины ОУД.09 Математика    для специальностей технического профиля (базовая подготовка)  на базе среднего общего образования  (заочная форма обучения)                                                    автор работы  преподаватель первой квалификационной категории Воронкова Татьяна Михайловна Екатеринбург      2019 год 2 Общие методические рекомендации по изучению дисциплины Изучение материала по учебнику Изучение материала по учебнику следует выполнять согласно указанным в программе курса темам. Изучая тот или иной вопрос темы по учебнику, целесообразно выполнять на бумаге все вычисления и вычерчивать имеющиеся в учебнике чертежи. При самостоятельном изучении материала полезно вести конспект. В конспект по мере проработки материала рекомендуется вписывать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п. Поля конспектов могут послужить для выделения тех вопросов, на которые необходимо получить письменную или устную консультации. Ведение конспекта должно быть аккуратным, расположение текста хорошо продуманным. Конспект поможет в подготовке к выполнению контрольной работы. Решение задач Чтение учебника должно сопровождаться разбором предлагаемых решений задач. Каждый этап решения задачи должен быть обоснован, исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа  и других математических констант. Самопроверка Для прочного усвоения материала темы проводить необходимо самопроверку. После изучения   каждой   темы   приводятся   вопросы   для   самопроверки,   которые   акцентируют внимание   на   наиболее   важные,   ключевые   моменты.   В   процессе   выполнения   самопроверки необходимо   избегать   пользования   учебником   или   конспектом.   Желание   обратиться   к учебнику или конспекту показывает недостаточное усвоение материала темы. Консультации При изучении теоретического материала или при решении задач у студента могут возникнуть вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается. В такой ситуации студенту следует обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. При этом необходимо точно указать вопрос, учебник и место в учебнике, где рассмотрен затрудняющий студента вопрос. Если непреодолимые затруднения возникли при решении задачи, то следует указать характер затруднения, привести план решения. Контрольная работа В процессе изучения курса студент должен выполнить одну контрольную работу, которая проходит рецензирование. По полученным результатам студент может сделать выводы о степени усвоения им 3 соответствующего раздела курса, внести коррективы в процесс последующей самостоятельной работы по изучению теоретического материала. К выполнению контрольной работы следует приступать после тщательного разбора имеющихся в учебнике и сборниках задач решений с ответами. В дополнение к предложенным задачам сборников в данном пособии рассмотрены некоторые примеры. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно, так как в противном случае рецензирование работы как диалог общения преподавателя – рецензента и студента с целью оказания последнему методической помощи не достигнет цели. Лекции, практические занятия Во время сессий для студентов - заочников читаются лекции, проводятся занятия. На лекциях и практических занятиях проводится обзор наиболее важных разделов курса, могут рассматриваться отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освященные в рекомендуемых учебных пособиях. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов Самостоятельная работа студентов является одним из важнейших элементов обучения. Совершенствование организации самостоятельной работы студентов связано с методической помощью и контролем со стороны преподавателя. Самостоятельная подготовка должна проводиться по следующими направлениям:  изучение теоретического материала, изложенного на лекциях или оставленного для самостоятельной проработки;  закрепление навыков выполнения заданий после проведения практических занятий;  выполнение контрольных работ;  подготовка к зачетам и экзаменам. Пройденный ранее материал также целесообразно повторить перед следующей лекцией или   практическим   занятием   ­   это   существенно   облегчит   понимание   нового   материала, который всегда базируется на уже пройденном. При самостоятельном изучении дисциплины следует прежде всего изучить литературу по соответствующей теме, обращая внимание на наиболее важные моменты, определяющие понимание соответствующего раздела. Методические рекомендации по оформлению и выполнению контрольных работ Контрольная работа представляет собой работу практического характера. Она должна отражать  практическое   умение   студента   решать  задачи  из   курса  математики.   Подготовка контрольной   работы   предполагает   владение   навыками   практической   работы:   умение анализировать задание и формулировать подходы к его решению; подбирать литературу и работать с ней, умение добиться практического результата с помощью стандартного набора средств. Вариант контрольной работы равен списочному номеру в группе  (уточняйте у куратора   группы).   При   выполнении   контрольной   работы   надо   строго   придерживаться 4 указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студентам для переработки. 1. Контрольные работы выполнять в тетради пастой или чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В случае печатной работы – обязательно предоставление электронного варианта работы. 2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины; здесь же следует указать дату сдачи работы на проверку. Образец оформления обложки тетради: Контрольная работа по УД.09 Математика: алгебра и начала анализа, геометрия вариант Фамилия имя отечество студента Специальность                                                                                                       Группа                                                                                       Дата сдачи на проверку              отметка                                                    проверил                               преподаватель Воронкова Т.М.                                   3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются. 4. Решение задач надо располагать в порядке, указанном в заданиях, сохраняя номера задач.  Задачи   выполняются   строго   по   порядку   номеров,   записывается   полное   условие каждого   номера,   аккуратно   и   подробно   оформляется   решение   (с   пояснениями), формулируется четкий ответ. 5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью её условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. 6. После получения отрецензированной работы (как зачтённой, так и незачтённой) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты. В связи с этим следует   оставлять   в   конце   тетради   чистые   листы   для   работы   над   ошибками.   Вносить исправления в сам текст работы после её рецензирования запрещается. Содержание учебной дисциплины Раздел 1. Алгебра. Развитие понятия о числе Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенное значение величины и  погрешности приближений. Комплексные числа. Отношения. Множества. Относительная погрешность Корни, степени и логарифмы Корни   и   степени.   Корни   натуральной   степени   из   числа   и   их   свойства.       Степени   с рациональными   показателями,   их   свойства.   Степени   с   действительными   показателями. Свойства   степени   с   действительным   показателем.   Логарифм.   Логарифм   числа.   Основное 5 логарифмическое   тождество.   Десятичные   и   натуральные   логарифмы.   Правила   действий   с логарифмами.   Переход   к   новому   основанию.   Преобразование   алгебраических   выражений. Преобразование   рациональных,   показательных   и логарифмических   выражений.  Геометрическое   изображение   рациональных   чисел. Иррациональные числа. Решение задач и упражнений домашних заданий. Число е. Переход логарифма   к   новому   основанию.   Действия   с   искусственными   выражениями отрицательных логарифмов.   иррациональных   степенных, Основы тригонометрии Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и   косинус   двойного   угла.   Формулы   половинного   угла.   Преобразования   суммы тригонометрических   функций   в   произведение   и   произведения   в   сумму.   Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.   Простейшие   Преобразования   Простейшие тригонометрические   уравнения.   арктангенс   числа. тригонометрические   неравенства.   Преобразование Тригонометрические   функции   в   прямоугольном   треугольнике. тригонометрических выражений. Преобразование выражений через тангенс половинного аргумента.   Преобразование   суммы   (разности)   тангенсов   двух   углов.   Доказательство тригонометрических   тождеств.   Графический   способ   решения   тригонометрических уравнений. тригонометрических   Тригонометрические   Арксинус,   простейших   выражений.   уравнения.   арккосинус, Функции, их свойства и графики. Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций,   заданных   различными   способами.   Свойства   функции:   монотонность,   четность, нечетность, ограниченность, периодичность.                             Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Определения   функций,   их   свойства   и   графики.   Обратные   тригонометрические   функции. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.  График   тригонометрических   функций   кратных   углов.   Гармоническое колебание. Гармоническое колебание в физике, электротехнике. Раздел 2. Начала математического анализа. Последовательности Способы   задания   и   свойства   числовых   последовательностей.   Понятие   о   пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Понятие о непрерывности функции. Производная 6 Понятие   о   производной   функции,   её   геометрический   и   физический   смысл.   Уравнение касательной   к   графику   функции.   Производные   суммы,   разности,   произведения,   частного. Производные   основных   элементарных   функций.   Исследование   функции   и   построение   ее графика с помощью производной. Производные обратной функции и композиции функции. Примеры   использования   производной   для   нахождения   наилучшего   решения   в  прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Нахождение скорости для   процесса,   заданного   формулой   и   графиком.  Закон   движения.   Мгновенная   скорость движения.   Геометрическое   истолкование   производной.   Применение   производной   к графическому   решению   уравнений.   Приложение   дифференциала   к   приближенным вычислениям. Исторические сведения о дифференциальном исчислении Первообразная и интеграл Понятие   первообразной   и   интеграла,   как   множества   первообразных.   Вычисление неопределенных   интегралов   от   простых   функций.   Определение   определенного   интеграла, формула   Ньютона­Лейбница,  вычисление   определенных  интегралов.   Вычисление   площадей криволинейных  фигур. Решение задач из физики и техники с практическим содержанием. Применение определенного интеграла. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей Основные понятия комбинаторики. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.  Применение   формул   бинома   Ньютона   к   приближенным   вычислениям. Размещения с повторением и без повторений. Элементы теории вероятностей Событие,   вероятность   события.   Сложение   и   умножение   вероятностей.   Понятие   о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики   дискретной   случайной   величины.   Понятие   о   законе   больших   чисел. Сложение и умножение вероятностей. Элементы математической статистики Представление данных (таблицы, диаграммы, графики). Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики. Решение практических задач с применением вероятностных методов Раздел 4. Геометрия Прямые и плоскости в пространстве Аксиомы   стереометрии.   Взаимное   расположение   прямых   и   плоскостей   в   пространстве. Перпендикуляр и наклонная.   Угол   между   прямой   и   плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости.  Параллельность   плоскостей.   Двугранный   угол.     Перпендикулярность   двух   плоскостей. Геометрические   преобразования   пространства:   параллельный   перенос,   симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Построение   перпендикулярных   прямой   и   плоскости.  Расстояние   между скрещивающимися прямыми. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении.   Параллельность   прямой   и   плоскости. Многогранники Вершины,   ребра,   грани   многогранника.   Развертка.   Многогранные   углы.   Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.  7 Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в   призме   и   пирамиде.   Сечения   куба,   призмы   и   пирамиды.   Представление   о   правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Развертка многогранника. Многогранные   углы.  Построение   пирамиды   и   ее   плоских   сечений.  Ортоцентрический тетраэдр. Равногранный тетраэдр. Произвольный тетраэдр. Тела вращения и поверхности тел вращения Цилиндр и конус. Усеченный конус.   Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере. Усеченный конус.  Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.   Касательная   плоскость   к   сфере.   О   понятии   тела   и   его   поверхности   в геометрии. Измерения в геометрии Объем   и   его   измерение.   Интегральная   формула   объема.   Формулы   объема   куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел. Равновеликие тела. Объем усеченной пирамиды. Объем усеченного конуса. Объем шарового сегмента и сектора. Координаты и векторы Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов.   Сложение   векторов.   Умножение   вектора   на   число.   Разложение   вектора   по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное   произведение   векторов.   Использование   координат   и   векторов   при   решении математических и прикладных задач Симметрия в природе и на практике. Движение в пространстве. Параллельный перенос. Подобие пространственных фигур. Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод). Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их   систем.   Применение   математических   методов   для   решения   содержательных   задач   из различных   областей   науки   и   практики.     Интерпретация   результата,   учет   реальных ограничений. Графическое решение уравнений. Графическое решение неравенств. Система трех   уравнений   первой   степени   с   тремя   неизвестными.  Система   уравнений   второй степени с двумя неизвестными 8 Теоретические и практические основы дисциплины Раздел 1. Алгебра. Тема 1.1. Развитие понятия о числе Приближенное значение величины и погрешности приближений. Различают   абсолютную   и   относительную   погрешности.   Пусть x ­   истинное   значение величины,  х  ­ её приближенное значение, принимаемое в расчетах. Величина       l =  |x−x| называется абсолютной   погрешностью числа  x . Точная   верхняя   грань   множества значений  |x−x|, которое   определяется   найденным,  x и   имеющейся   информацией величины   x. относительно   x,   называется предельной   абсолютной   погрешностью  Относительной   погрешностью δ величины  x  называется   отношение   её   абсолютной погрешности   к   величине:   x   .  δ= l |x| .   Аналогично   можно   определить предельную относительную   погрешность δ x числа x :      δ=∆x |x| принято   выражать   в   процентах,   поэтому:   δ= l |x| .   Относительные   погрешности   чисел ∙100 иδx   = ∆x |x| ∙100 .   При   записи приближённых чисел желательно указывать их точность, сообщая те границы, в которых это число может находиться: x ± Δx. Значащая цифра числа считается верной в узком смысле, если абсолютная погрешность (предельная) не превосходит половины единицы того разряда, в котором стоит данная цифра. В противном   случае   цифра   считается сомнительной. Значащая   цифра   числа   считается верной в широком   смысле,   если   абсолютная   погрешность   (предельная)   не   превосходит   единицы   того разряда, в котором стоит данная цифра. При записи чисел руководствуются следующим правилом: все цифры числа должны быть верными. Поэтому   округление   чисел,   записанных   в   десятичной   системе,   производится по правилу первой отбрасываемой цифры:  Если   первая   из   отбрасываемых   цифр   меньше   5,   то   оставляемые   десятичные   знаки сохраняются без изменения;  Если   первая   из   отбрасываемых   цифр   больше   5,   то   последняя   оставляемая   цифра увеличивается на 1;  Если   первая   из   отбрасываемых   цифр   равна   5,   а   за   ней   идут   не   нули,   то   последняя оставляемая цифра увеличивается на 1;  Если  первая из  отбрасываемых цифр равна  5, и все  цифры, идущие за ней ­ нули,  то последняя   оставляемая   цифра   увеличивается   на   1,   если   она   нечетная,   и   остаётся   без изменения, если – четная Комплексные числа. 9 Рассмотрим уравнение вида: х2­4=0. Оно имеет действительные корни 2 и ­2. Уравнение х2­ 4=0 действительных корней не имеет. Возникает необходимость введения новых чисел. Определение.  Комплексными   числами  называют   выражения   вида,   а   +  bi,   где,   а   и  b­ действительные числа, а i ­ мнимая единица, причем i2 = ­1. Алгебраическая форма комплексного числа. Если   х,у  ∈R , то число z = x+ yi  называется комплексным числом, заданным в  алгебраической форме z = x+ yi . Это число имеет действительную часть x= Re z и мнимую часть  y=Im z. Так что  z = Re z +i Im z и   z = x –yi – число, сопряженное z. Пример:         Найти действительную и мнимую части комплексных чисел а) z 1=6­5 i , б)z2= i. Решение: а) 6 ­ действительная часть, ­5 – мнимая часть;                  б) 0 ­ действительная часть, 1 – мнимая часть. Сумма комплексных чисел. Определение. Суммой двух комплексных чисел, а + bi и с + di будем называть комплексное  число  (а + c) + (b + d) i. Определение. Произведением двух комплексных чисел, а + bi и с + di будем называть  комплексное число (ас ­ bd) + (ad + bc) i. Пример:         Найти сумму и произведение комплексных чисел z 1=2­5 i, z2= ­7+i. z 1 + z 2 = (2 – 7) + (­5 + 1) i;              z *z 2=(­14 +5) +(2 + 35)i=­9 + 37i. Определение. Модулем комплексного числа z =а + b i  называется число  Модуль комплексного числа.  и  2 а  b 2 обозначается  , т.е.  = z  à  bi  = z . а  2 2 b Пример: Найти модуль комплексных чисел: а) 2­5i, б) ­7+i. Решение а)  5i­2  2 2   2  5  29 ;                  б)    i7­ 2  7  2 1 50  25 . 10 Геометрическая интерпретация комплексного числа.       У                                                     ОХ ­ действительная ось,   b i                              z =а + bi            ОУ – мнимая ось.         0                      а                       х Пример:                                                                        3i  у                             3+3i                                              ­2+2i                 2i                                                                         i             1+i                                                       ­3    ­2      ­1          0          1        2       3                X                                                                                                                 ­i                                     ­3­2i                               ­2i                                                                       ­3i                     2­3i                                                       Геометрический смысл модуля комплексного числа                    у                        Z                            z =а + bi                                                          — расстояние от точки о до точки Z.   z а  2 b 2           0                           X Тригонометрическая форма комплексного числа   У                                               z = r (cos Ψ + i sin Ψ), где r =  , т.е.  z    bi                               z                                 r = 1 Ψ             а  2 b 2 11 Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в  тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j, пользуясь  формулами: Z =  √x2+y2  ; sin  φ= y r  ;  cos φ =   y r  .    Пример: Дано  z  2  2 i , записать тригонометрическую форму комплексного числа. Решение:   Дано   z  2  2 i ­   алгебраическая   форма, , 2a  r 2  2   2  2  2 22 ,      arctg 2 2     arctg  ­ тригонометрическая форма. z    2  cos  3 4  i sin  3 4     1   3 4 4 2 , b  2   . Вопросы для самопроверки по теме 1.1. Развитие понятия о числе 1. Что называют абсолютной погрешностью числа? 2. Что называют относительной погрешностью числа? 3. По какому правилу производят округление чисел, записанных в десятичной системе? 4. Что называют комплексным числом? 5. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их. 6. Что называют действительной и мнимой частями комплексного числа? 7. Что называют алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа? 8. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными? 9. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами? Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы Преобразование степенных и показательных выражений Определение. Степенью числа, а с показателем n называют произведение n равных  множителей. Определение Степень  с натуральным показателем n a     при     a aa     множителей n Допустимые значения основания Ra  , Значения показателя Nn 12 Степень  с нулевым показателем Степень  с отрицательным целым  показателем Степень  с положительным дробным (рациональным) показателем Степень  с отрицательным дробным (рациональным)  показателем Степень с иррациональным  показателем a 1 a 10 a a 1 n n a Справедливы равенства: n  a 1  n a n  n         a b b a    m a  n n m a m n  a  1  m n a 1 n m a x a  lim  n nx a  – последовательность  nx десятичных приближений числа х 0a 0a , ba 0 0a 0a 0a Nn Nn Nnm , Nnm , х – иррацио нальное число Свойства степеней (Справедливы для степене с любыми показателями при допустимых значениях оснований) x a x a  a  y y a  yx a : yx a a  yx  a xy ba  b a x x  x  a   b a b x x    полезно помнить:  при   0 x 0  не определено 0x  при   Rx  1 x 1 x  при   0x x0 10 n 100 00  (всего п нулей после 1),    Nn n  000 , 10  (всего п нулей перед 1, включая 001 нуль перед запятой),  Nn 13 Определение. Корнем n-ой степени из числа, а называется такое число, n-ая степень которого равна а. Свойства арифметического корня √a2  = |a| √ab=√a∙√b,еслиa≥0,b≥0 √a b=√a √b ,еслиa≥0,b>0 Свойства кореня n­ой степени m n√am=a n n√ a b= n√a n√b ,еслиa≥0,b>0 n√ab=n√a∙n√b,еслиa≥0,b≥0 n√m√a=nm√a,еслиa≥0 kn√akm=n√am,еслиa≥0 Пример: Вычислите    5 (х 8)4 3√х4 : , при х = 64 Решение: 5 (х 8)4 3√х4 : 5 8 ∙4  =  х 4 : х 3 5 4 5 2− 4  =  х 2 :х 3=¿   х 3 15 6 − 8  =  х 6 7  =  х 6 , при х = 64    7 6 (64) 7 6  =  (26)  = 27 = 128. Преобразование логарифмических выражений Определение. Логарифмом из неотрицательного числа с по основанию а называется  показатель степени в которую нужно возвести а, чтобы получить с. b  log Логарифм – показатель степени т. е. ac a (,   )0 ,0  ,1 c a a b  c  – читается «логарифм числа с по основанию а»  log ca Знак логарифма Десятичный логарифм Натуральный логарифм Принятые обозначения log lg  с log с 10 ( e ln с  log с , e  ,2 ) 71828 Свойства логарифмов Свойство 14 Допустимые значения букв