Методические указания и контрольные задания по Математике для заочного отделения

МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения образовательных учреждений среднего профессионального образования по специальностям технического профиля (базовый уровень) Методические   указания   и   контрольные   задания     дисциплины   «Математика» составлены   в   соответствии   с   Государственными   требованиями   к   минимуму содержания   и   уровню   подготовки,   студентов   заочной   формы   обучения образовательных   учреждений   среднего   профессионального   образования   по специальностям технического профиля (базовый уровень). 2 1.2 Пояснительная записка Методическое   пособие   учебной   дисциплины   «Математика»   предназначено   для   реализации государственных   требований   к  минимуму   содержания   и  уровню   подготовки   учащихся   заочной  формы обучения   образовательных   учреждений   среднего   профессионального   образования   по   специальностям технического профиля.  Математика   относится   к   числу   ведущих   наук,   в   значительной   мере   определяющих   уровень развития научно­технического прогресса общества. Математика и ее методы вторгаются в жизнь людей в самих разнообразных сферах их деятельности: науке, промышленности, сельском хозяйстве, экономике, транспорте, социальной области. Одной из причин широкого применения математики стала повсеместная компьютеризация   и   использование   современных   вычислительных   средств,   взявших   на   себя   громоздкие расчеты. Но их эффективное использование в значительной мере зависит от математической подготовки пользователя. Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы   дать   студентам   набор   математических   знаний   и   навыков,   необходимых   для   изучения   других программных   дисциплин,   использующих   в   той   или   иной   мере   математику,   для   умения   выполнять практические расчеты, для Формирования и развития логического мышления. В результате изучения дисциплины учащийся должен:  приобрести ряд общих умений, необходимых для   усвоения   математики;   использовать   математику   при   изучении   общетехнических   и   специальных дисциплин; усвоить, что математические понятия обладают широкой сферой применения, что сущность приложений математики к решению задач заключается в переводе задачи на математический язык, решении ее. Настоящее   методическое   пособие   призвано,   в   первую   очередь,   помочь   учащемуся   заочного отделения в выполнении контрольных работ. Поэтому в нем рассмотрены достаточно подробные решения типовых задач с напоминанием основных положений теории и использованием необходимых формул без ссылок на учебники. Это дает большую свободу студенту в выборе и учебников, и учебных пособий. Тематический план  Наименование разделов и тем Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление. Тема 1.2. Обыкновенные  дифференциальные уравнения. Тема 1.3. Дифференциальные уравнения в частных производных. Тема 1.4. Последовательности и ряды. Раздел 2. Основы теории вероятностей и                  математической статистики. Тема 2.1. Вероятность. Тема 2.2. Теорема сложения вероятностей. Тема 2.3. Случайная величина, ее функция распределения.              Тема 2.4. Вероятность события. Тема 2.5. Математическое ожидание и дисперсия.  Раздел 3. Системы измерения. Тема 3.1. Градусная, радианная  и временная меры. Тема 3.2. Переход от одной системы измерения к другой. Раздел 4. Мореходные таблицы. Тема 4.1. Сферический угол. Тема 4.2. Сферический треугольник. Тема 4.3. Основные формулы сферической тригонометрии. Тема 4.4. Решение сферических треугольников. 3 й и т я н а з   . т к а р п ­ . б а л й и т я н а з   . н р о т и д у а 1 1 1 1 1 я а н ь л т я о т с о м а С а т о б а р 5 6 5 5 6 4 5 4 о г е с В 6 6 6 6 6 5 5 5 Всего часов: 6 6 72 84 2.2 Содержание предмета Раздел 1. Математический анализ. Учащийся должен уметь вычислять производные функции при данном значении аргумента; исследовать функции с помощью производной и строить графики; интегрировать определенные интегралы;   вычислять   площади   плоских   фигур;   решать   дифференциальные   уравнения   с разделяющими переменными; решать дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.  Дифференциальные уравнения в частных производных. Последовательности и ряды. Раздел 2.Основы теории вероятностей и математической статистики. Учащийся должен уметь решать задачи, используя элементы теории вероятности; находить функцию распределения случайной величины; находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по заданному закону и ее распределения. Вероятность. Теоремы сложения вероятностей. Случайная величина, ее функция  распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.  Раздел 3.Системы измерения. Учащийся должен уметь переводить углы из одной системы измерения в другую. Радианная, градусная и временная меры. Переход от одной системы измерения к другой.  Раздел 4. Мореходные таблицы. Учащийся должен уметь   строить сферический угол; строить сферический треугольник; пользоваться Мореходными таблицами; применять формулы сферической тригонометрии. Сферический угол. Сферический треугольник. Основные формулы сферической  тригонометрии. Решение сферических треугольников. Вопросы для самоконтроля 1. Дать определение производной функции. 2. В чем состоит физический и геометрический смысл производной? 3. Что называется первообразной функции? 4. Перечислить свойства неопределенного интеграла. 5. Что называется вероятностью события? 6. Для чего служат Мореходные таблицы? 7. Что называется сферическим углом? 8. Что называется сферическим треугольником? 9. Дать определение производной второго порядка. 10. Как вычислить производную сложной функции? 11. Дать определение криволинейной трапеции. 12. Дать формулу для нахождения S криволинейных трапеций. 4 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Таблица 1­а.  Показательная функция е­x Показательную функцию  е­x  используют при решении некоторых задач кораблевождения, требующих применения биномиального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора) и др. Входным аргументом в табл.1­а является показатель степени х от 0,00 до 7,09. Функция Лапласа (интеграл вероятностей)  2 Таблица 1­б. Функция Лапласа позволяет определить вероятность нахождения случайной величины X в интервале от +z  до   ­z,  симметричном   относительно   центра   распределения   и   выраженном   в   средних квадратических отклонениях т. Вероятность нахождения нормальной случайной величины X в интервале от а до b равна 3 Таблица 1­в. Вероятность   радиальной   ошибки В   табл.1­в   представлены   вероятности   радиальных   ошибок   в   процентах.   Вероятность заданной радиальной ошибки соответствует вероятности попадания в круг заданного радиуса Мзад при данном предельном эллиптическом рассеивании. Входными аргументами в таблицу являются                                                     ­ отношение   заданной радиальной ошибки к средней квадратической радиальной  ошибке (заданная радиальная ошибка, нормированная средней квадратической радиальной  ошибкой) и       е=   ­  отношение полуосей эллипса ошибок. Полуоси   среднего   квадратического   эллипса   ошибок   рассчитывают  аналитическим, графоаналитическим или табличным способом. Среднее квадратическое значение радиальной ошибки определяют по одной из формул где  а и b – полуоси  среднего квадратического эллипса ошибок;        υ и и – средние  квадратические векториальные ошибки;         тх  и ту ­ средние квадратические отклонения по осям координат. 4 Таблица 2. Логарифмы чисел Логарифм   числа   состоит   из   характеристики   и   мантиссы,   определяющих   соответственно целую и дробную часть показателя степени, в которую   нужно   возвести   10   (основание),   чтобы получить данное число. 6 Характеристика   логарифма   на   единицу   меньше   числа   цифр,   составляющих   целую   часть данного числа. Например, числа 2.272, 22.72, 227.2, 2272 имеют одинаковую мантиссу 35641, но разные характеристики 0,1,  2 и 3. Следовательно, логарифмы этих чисел соответственно будут 0.35641, 1.35641, 2.35641, 3.35б41. Если числа являются десятичными дробями, то характеристики логарифмов отрицательны и численно равны числу нулей, предшествующих  первой   значащей   цифре.   Например,   логарифмы десятичных   дробей  0.2272,   0.02272,   0.002272,   0.0002272   имеют   соответственно   отрицательные характеристики   ­1,   ­2,   ­3,   ­4   и   одинаковую   мантиссу   35641.   Для  удобства   отрицательные характеристики ставят «под минусом» 1, 2, 3,  4 и логарифмы пишут в виде 1.35641, 2.35641, 3. 35641, 4.35641 или вместо отрицательных характеристик пишут их положительные дополнения до 10, тогда рассмотренные выше логарифмы чисел пишут в виде 9.35641, 8.35641, 7.35641, 6.35641. Для   выборки   мантиссы   пользуются   двумя   входами.   В   первом  столбце  отыскивают строку   с   первыми   тремя   цифрами   логарифмируемого  числа.   Нужная   мантисса   находится   в пересечении этой строки со столбцом, помеченным сверху четвертой цифрой логарифмируемого числа. Так, например, соответствующая числу 4723 мантисса логарифма, равная 67422, находится в пересечении строки с числом 472 и столбца 3. Мантиссы трехзначных чисел помещены в нулевом столбце. Там же находят мантиссы однозначных и двузначных чисел, так как от умножения на 10 или 100 меняется только характеристика логарифма. Для выборки мантисс пятизначных чисел производят интерполирование. В строке, отмеченной тремя первыми цифрами логарифмируемого числа,   выбирают   две   мантиссы:   из   столбца   с   четвертой   цифрой   логарифмируемого   числа   и   из смежного   столбца,   соответствующего   следующему  десятку.   Полагая,   что   изменение   мантиссы пропорционально изменению числа, рассчитывают поправку к первой мантиссе, чтобы получить ман­ тиссу логарифма заданного числа. Для упрощения расчета поправки  интерполяции мантиссы за пятый знак данного числа можно воспользоваться таблицей пропорциональных частей (приложение 1). Пример. По числу х = 87458 найти логарифм. Решение.  Заданное число целое, пятизначное, следовательно, характеристика 4, а мантиссу 94180 выбирают с интерполяцией из табл.2. Таким образом, lg 87458 = 4.94180. Отыскание по заданному логарифму соответствующего числа производится обратным входом в таблицу; при этом цифра пятого знака числа определяется по разности между мантиссой данного логарифма и ближайшей табличной мантиссой по таблице пропорциональных частей тоже обратным входом. Пример. По lgx = 0.72587 найти число. Решение.  Из   табл.2   обратным   входом   после   интерполирования  находят   число      х  = 5.3195, отделяя первую значащую цифру точкой, так как характеристика заданного логарифма равна нулю. 7 8 Контрольная работа № 1 Вариант 1 1. Решите систему неравенств:    x  2  3  x 4(5        7 5 3  x  43 5  4(2) x 2. Для функции укажите область определения:   y 4 .  x )  2 x x   2 2 x  . 5 x 2    2 x lim 2 x 3 3. Вычислите предел:     4. Решите показательное уравнение:   5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  cos 125  x 5 log 2   11 x x 14 5 5 x 5 sin6 sin3    . 5 2  30   x 2 cos5 .  x log 2 .   2 2  4 . Вариант 2 1. Решите систему неравенств:      1 x 3  4  x  x 2 x  x 1  2  3 . x  2 8 2. Для функции укажите область определения:  y  1  . 2 x  2 x 4  15 x 3(   96 x ) .  log 3 4(  1) x . lim 2 x 3. Вычислите предел:   12 4. Решите показательное уравнение:    2 2 2 5. Решите логарифмическое уравнение:  log 6. Решите уравнение:  .  0  2 cos cos    1 .  3 3 x x 2   x 7 x 5  Вариант 3 1. Решите систему неравенств:      3 x x 2  8 2 x  7  1 x . 5,0 9 2. Для функции укажите область определения:   y  2 x  5 x  4 x  x . 8  lim  x 3 3. Вычислите предел:   4. Решите показательное уравнение:   5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  sin2 cos    4 . 2 x 5 2  x 2 x  x 2 log 4 . 0  3( log 3   3  8  ) x  cos 4( . 2  3  sin32 Вариант 4  log21) x 2 . 3 1. Решите систему неравенств:     4 8 3 x x   2 x 51 x  11 15 x 9 x 6 4       . 3 2. Для функции укажите область определения:   y    3. Вычислите предел:    4. Решите показательное уравнение:   5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  3 1 7 2cos lim  x 1 x 2 x cos    1   7 log .  01  2 1 x .  x 2 x Вариант 5  23  3 x x  . 9 2 2 x 1   x . 6 log x  log 8 4 x  1 . 1. Решите систему неравенств:   9)1 (5 x   )23(3 x     (6 3 x   7 x x (2 2. Для функции укажите область определения:   y )2 .  x )8  1 2 x  2 x 1  . 9  5 6 x  3 x 4 3  x x lim  x 3. Вычислите предел:  4. Решите показательное уравнение:    5. Решите логарифмическое уравнение:  lg( 6. Решите уравнение:  . 2 2cos 2sin     7 . 5 2 x  2  1 x  75  x )4 14 ( x . 0 )3  8lg . Вариант 6 10 1. Решите систему неравенств:   x 5 x        2  x 5  7 x 2 3 2  2 1  2  x 5  x 3 5 3  . 7 10 2. Для функции укажите область определения:   3. Вычислите предел:   x 4. Решите показательное уравнение:   3 5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:   3 lg( 2 x lg cos  3  x 8  12 . 2 x 3 x 4 x lim  x  2 cos x  sin sin  5  2 x x x x  .  2 3 3 2 ч x x y  2 x 2 . 225  )42 .  3 .  1  4lg Вариант 7 1. Решите неравенство:  2 ( x x  )1  3 >0. 2. Для функции укажите область определения:   y  2 x 1   5 x x .  6 2 x lim  x 3 3. Вычислите предел:  4. Решите показательное уравнение:   5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  cos 25,0 lg 3 x sin3 cos 2 x x  . 15  2 x  2 x  9 18  x x   0 32 x lg  x  3  0 . 216 .  2 .                  Вариант 8 1. Решите неравенство: 5­4x­x2>0. 2. Для функции укажите область определения:   1 3. Вычислите предел:  1 4. Решите показательное уравнение:    3 5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  . 04 x 6 lim 2 3 x     tgx 5 x x  tg 3 3 x .  2 0 x 2 x x x  1   3 7 75 x . 2 log 1)1 ( 5 x . y  23 x  2 x . Вариант 9 11 1. Решите неравенство: 2x2+x­3 0. 2. Для функции укажите область определения:   x 3. Вычислите предел:  . 4. Решите показательное уравнение:    5. Решите логарифмическое уравнение:  6. Решите уравнение:  . 1   x 1 9  2 log 5  x  43 lim  x 0 sin2  3 cos  2 x x  2 2 2 x y  x 2  3 .  log3 .  0 810  x 02 5 . Вариант 10 1. Решите неравенство:  ( x  )(1  x  x 3 )2  0 . 2. Для функции укажите область определения:   y  2 x 2 x 2  2 x  5 x . 2 9 x x  1 6 2  x . lim  x 3. Вычислите предел:  4. Решите показательное уравнение:   5. Решите логарифмическое неравенство:  6. Решите уравнение:   x sin2  .  15 0  )24( x .  2 0 Контрольная работа № 2 52 log 2.0 cos 7 sin5 cos 25  x x x 2 x x  1 . Вариант 1  4 x 2 )( xf  5 2 x  xf 1)(  1. Найти производную функции    и вычислите f/(­2). 5 2 x 3 2 5 .  x )1 5( dx x ; b)    dx 2. Исследуйте функцию на экстремум:  3. Найти интегралы: a)    x 4. Вычислите определённый интеграл:    5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=7x­x2­6 и осью ОХ. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения,  b) удовлетворяющие   данным   условиям  a)    y=2   при  x=0;  0 dx 2( )1 x 2 .  . , 2 1 dy 2 x dx y ( xy  yx )  0 y , y=1 при x=1. Вариант 2 2 )( xf 4 x )( xf  x 2 1. Найти производную функции  3  x   и вычислите f/(1). 2. Исследуйте функцию на экстремум:  3. Найти интегралы: a)    3( 4. Вычислите определённый интеграл:   4( )1 0 cos x x  2 dx 2 3 3  x  x ; b)    1( 2  4 x  1 . x 5) dx . x  2)1 dx .  1 12 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=5­x2 и y=x+3. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, 7 ,  y/=1 при  x=0;  b) 8 удовлетворяющие данным условиям  a)   ,  y= cos  x 2 2 yd 2 x 2 1(  y ) dx  1(  dyx )  0 , y=1 при x=0. 1. Найти производную функции  2. Исследуйте функцию на экстремум:  )( xf x   и вычислите f/(e3). . 15 30   x x 2 Вариант 3  xf )( x  ln x 3 x  21 2 e 2 ; b)    1( e x dx . x 2) 3. Найти интегралы: a)   8( 2 x  sin x  )3 dx 3 4. Вычислите определённый интеграл:    5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=­0,5x2+2 и y=2­x. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, ,  y=1   при  x=1;  b) удовлетворяющие   данным   условиям  a)   ( , y=1 при x=1. xydx dx 3( dy dx )1 dy   x 0 1 0 y x x  .   1 2 2 2 2 Вариант 4   2 x 1. Найти производную функции  2. Исследуйте функцию на экстремум:  3. Найти интегралы: a)    5( x xf )(  2 1 cos 2 x 4sin x   и вычислите f/(  12 3 x  2 . xf  4)( x 3 2 ) dx ; b)    x 1 e e x dx .  2 ). 1 x  4. Вычислите определённый интеграл:   3( 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=6x­x2 и y=0. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, 1 , y/=0 при x=0; 4 удовлетворяющие данным условиям a)  b) , y=4 при x=0.  2cos , y= xydx 2)1  0 dx dy 1(  2 3 x x y x   ) . 1 2  1. Найти производную функции  Вариант 5 xf ctgx  3)(  ctg 3 x   и вычислите f/(  3 ). 2. Исследуйте функцию на экстремум:  xf )(  1 2 x 2  5 x . 3. Найти интегралы: a)   ( 4 x  1 x 2  )4 dx ; b)    1 sin x cos xdx . 4. Вычислите определённый интеграл:  2    2 0  x 2 dx . 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2­6x+8 и осью ОХ. 13 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, 1 , y/=0 при x=0; b) 2 удовлетворяющие данным условиям a)  2  , y= cos 2 x y y  yx 0 , y=0 при x=0. 1. Найти производную функции  2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции   2   и вычислите f/(2). y  24 x x  5  на отрезке Вариант 6  5  5 )( xf ln 2 x x  2 2 x . 3. Найти интегралы: a)   3( 2 x  2  x 2 1  )7 dx x ; b)    4 2 x dx .  2 4. Вычислите определённый интеграл:   5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 и y=2x+3. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, ,  y=0,  y/=1 при  x=0;  b) cos 2 xdx . sin2 2 x y 0 удовлетворяющие данным условиям  a)   sin xdx  0 , y=1 при x=  . dy y  2 1. Найти производную функции  2. Найти   наибольшее   и   наименьшее   значение   функции     и вычислите f/(3). 3 2 x  2)(  3 3 x y x  2 3 Вариант 7 xf x  3 x  2   на отрезке  2 x 5 . 3. Найти интегралы: a)   3(  1 sin3 2 x  4. Вычислите определённый интеграл:  dx . 3 2 x ; b)    3  x dx x  2 x . dx )2   2 4 0 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+1, x=0, x=2 и осью ОХ. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, 1 , y/=0 при x=0; b) 72 удовлетворяющие данным условиям a)  cos 2 , y= 3 x y 1(  2 x ) y  0 xy , y=4 при x=0. 1. Найти производную функции  2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции     и вычислите f/(0). y  x 5 4 9 x  3 5 x  1   на Вариант 8  )( xf  2( 2(  sin sin x x ) ) отрезке   2 1 x . 3. Найти интегралы: a)   2( ; b)    dx x 1 3 . cos x  6 7 x  )3 dx 14 4. Вычислите определённый интеграл:    2 1 x 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=8+2x­x2 и y=2x­4. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, ,  y=2 при  x= удовлетворяющие данным условиям  a)   2 2 yx  0  dx  xy 2 x 2 2 x y .  1 2 2 ; b) dy 3 x  dx 3 y  0 , y=1 при x=0. 1. Найти производную функции  2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  2   1 x   и вычислите f/( 3 ). y  x 5 2 2 x  5  на отрезке Вариант 9  )( x xf ln(  3 2 x . 3. Найти интегралы: a)   5( e x  7 x  )4 4. Вычислите определённый интеграл:  dx 1 5 ; b)    dx   5 x 1  23 x dx x   . .  1 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=3x. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, ; b) 3sin , y= x y 4 , y/=0 при x= 9  2 удовлетворяющие данным условиям a)  dy , y=1 при x=0.  yxdx 0 1. Найти производную функции  Вариант 10  xf )(  2 x 4sin x 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции    и вычислите f/( 1 3 1 2  x y  2 x ).  2  на отрезке 3 1 x 3 . 3. Найти интегралы: a)   ( 5 cos 6 2 x  7 ) dx ; b)    2( x 4) dx . 2 x  4 4. Вычислите определённый интеграл:   5. Вычислите   площадь   фигуры,   ограниченной   линиями  y=x2­4x+6,  y=1,  x=1, xdx . cos 2 0 x=3. 6. Решите   дифференциальные   уравнения   и   найдите   частные   решения, ;  b) ,  y=0,   при  x= 2 y cos x y удовлетворяющие   данным   условиям  a)   2 , y=1 при x=2. xdy  ydx  2 15 Контрольная работа № 3 Вариант 1 1. Из   точки,   отстоящей   от   плоскости   на   расстоянии   2   см,   проведены   две наклонные, образующие с плоскостью углы 45  , а между собой угол 60  .Найдите расстояние между концами наклонных. 2. Составьте   уравнение   окружностей,   касающихся   прямых:   у=0;   у=4; х + у + 1 = 0. 3. В   усеченном   конусе   диагональ   осевого   сечения   равна   10   см,   а   радиусы оснований 2 и 4 см. Найти высоту и объём. 4. В   коробке   10   красных   и   15   синих   шаров.   Какова   вероятность   того,   что взятый наугад шар будет красный? Вариант 2 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 см. Из вершины прямого угла С проведен перпендикуляр CD=35 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB. 2. Найдите   точку   пересечения   трех   плоскостей,   заданных   уравнениями: х –у =3; у + 7 = 2; x – z = 4. 3. Радиусы трех шаров 6, 8, 10 см. Определить радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров. 4. Карточка  «Спортлото»   содержит  36  чисел.   В   тираже   участвуют  5  чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 5 чисел? Вариант 3 1. Точка M удалена от вершины правильного треугольника на 3 см. Вычислите расстояние   от   точки  M  до   плоскости   этого   треугольника,   если   сторона треугольника 4 см. 2. Составьте уравнение высоты АЕ и медианы BD в треугольнике с вершинами А(3,­7); В(­1,4), С(­6,­5). 3. В   усечённом   конусе   диагональ   осевого   сечения   равна   10   см,     радиус меньшего основания 3 см, высота 6 см. Найти радиус большего основания. 4. В партии 100 деталей, из них 5 бракованных. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная? Вариант 4 1. Из   некоторой   точки   пространства   проведены   к   данной   плоскости перпендикуляр,   равный   6   см   и   наклонная   длиной   9   см.   Найдите   длины проекции перпендикуляра на наклонную.  2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2,5) и через точку В, в которой пересекаются прямые 3х ­ у=0 и 2х + 5у – 17 = 0. Сделайте чертёж. 16 3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 18 см и 30 см, образующая равна   20   см.   Найдите   расстояние   от   центра   меньшего   основания   до окружности большего. 4. Брошена игровая кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков? 1. 2. 3. 4. Вариант 5    В треугольнике  ABC   AB  = АС = 20 см, ВС = 24 см, отрезок АМ перпендикулярен   плоскости   АВС   и   равен   12   см.   Найдите   расстояние   от точки М до прямой ВС.    Стороны прямоугольника заданы уравнениями 3х + 4у + 1 = 0 (АВ); 2х – у – 3 = 0 (ВС); х + 5у – 7 = 0 (АС). Составьте уравнение медианы AD. Сделайте чертёж.   Образующая конуса равна 8 см, а угол при вершине осевого сечения 600. Найти боковую поверхность конуса.  Среди 200 ламп 5 бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад лампа бракованная? Вариант 6 1. Из   точки,   отстоящей   от   плоскости   на   расстоянии   5   см,   проведены   две наклонные, образующие с плоскостью углы 45   и 30  , а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных. 2. Через точку пересечения прямых х – 2у + 12 = 0; 3х +у + 1 = 0 и точку А(3,­4) проведена прямая. Составьте её уравнение. Сделайте чертёж. 3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от неё. 4. В коробке 30 синих и 20 белых шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет белый? Вариант 7 1. Основанием   прямой   призмы   служит   ромб,   диагонали   призмы   и   высота соответственно   равны   8   см,   5   см   и   2   см.   Вычислите   сторону   основания призмы. 2. Дан   прямоугольник   с   вершинами   А(­1,3);  D(­2,­1);   и   С(5,­3).   Составьте уравнение прямой, проходящей через середину стороны АС перпендикулярно стороне АВ. Сделайте чертёж.  Высота конуса 20 см, радиус его основания 25 см. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 15 см. 3. 4. Среди 100  деталей  2%  бракованных.  Какова  вероятность   того,  что  взятая наугад деталь не бракованная? 17 1. Точка М удалена от каждой стороны ромба на 20 см. Вычислите расстояние Вариант 8 от точки М до плоскости ромба, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см. 2. Найдите координаты точек пересечения прямой у – 7х – 12 = 0 и окружности (х – 1)2 + (у – 2)2 = 25. 3. Площадь полной поверхности конуса равна 1144см2, а площадь основания равна 484см2. Вычислите объём конуса. 4. В   классе   17   девочек   и   14   мальчиков.   Какова   вероятность   того,   что   оба вызванных ученика окажутся мальчиками? Вариант 9 1. В   прямоугольном   параллелепипеде   диагонали   образуют   с   плоскостью основания   углы   45    и   60  .   Стороны   основания   равны   17   см   и   31   см. Вычислите диагонали этого параллелепипеда.  2. Противоположные вершины квадрата лежат в точке А(­2,5) и С(2,8). Найдите длину АС и уравнения его диагоналей. Сделайте чертёж. 3. Образующая   конуса   равна  8  см,  а   угол  при   вершине   осевого   сечения  600. Найти боковую поверхность конуса. 4. Определите вероятность совместного появления решки при одном бросании трех монет? Вариант 10 1. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей равна 6 см. Высота пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. 2. Дан треугольник с вершинами А(­1,­6); В(2,3); С(3,­2). Составьте уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно медиане, проведенной из вершины В. Сделайте чертёж. 3. Радиусы оснований усечённого конуса равны 18 см и 30 см, образующая равна 20  см.  Найдите   расстояние   от  центра   меньшего  основания  до  окружности большего. 4. В коробке 30 синих и 20 белых шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет синий? 18 Список рекомендованной литературы Основные источники: 1. Пехлецкий И.Д. «Математика», М., 2002. 2. Колмагоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» М., 2005. 3. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М., 2005. 4. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. «Математика», М.:Академия, 2010. Дополнительные источники:  1. Валуцэ И.И. «Математика для техникумов», М., 1989. 2. Омельченко В.П. «Математика», 2005. 3. Лисичкин В.Т., Царькова Е.В. «Математика» Контрольные задания. М., 2005. Интернет­ресурсы: 1. Математический портал www  2. Математический портал www  3. ЕГЭ математика www  4. Образовательный   математический   сайт,   проекты   для   преподавателей,  .  math  .  ru;    .  allmath    .  ru;  .  uztest    .  ru; учеников и  студентов  http   .  ru   /;  .  exponenta   5. Сайт элементарной математики http   .  mathnet  ://   www    6. Естественно­научный образовательный портал http://www.en.edu.ru/; 7. Материалы   к   урокам   математики  http://www.9151394.ru/projects/math/  ://   www   .  spb   .  ru   /; livegeom/pantuev2; 8. Библиотека электронных учебных пособий http://mschool.kubsu.ru/; 19