Методические указания к внеаудиторной самостоятельной работе

Департамент образования и науки Кемеровской области Государственное профессиональное образовательное учреждение «Мариинский политехнический техникум» 23.0204 Техническая эксплуатация подъёмно- транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования 5 5 1 , 3 5 5 1 5 0 1 3 Arial Narrow, Arial Narrow, 30 п, (Шрифт 7) 20,5 п, (Шрифт ЕН. 01 МАТЕМАТИКА Методические указания и задания внеаудиторной самостоятельной работы 7 2016 20,5 п, 1 Arial Narrow, Arial Narrow, 0 30 п, (Шрифт 0 5 1 1 0 0 1 2 0 3 Рассмотрено на заседании Утверждено на заседании Предметной (цикловой) комиссии методического совета _____________________________ ГПОУ МПТ _____________________________ _____________________________ _____________________________ (подпись председателя ПЦК) (подпись председателя методического совета) Протокол № _____ Протокол № _____ от «____» ____________ 201__ г. от «____» ________ 201_г. Методические указания и задания внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для студентов, обучающихся по специальности 23.0204 Техническая эксплуатация подъёмно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования Методические указания и задания внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика» содержат указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ, а также задания самостоятельной работы. Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по Математике и предназначены для студентов, обучающихся по программам среднего профессионального образования. Организация разработчик: государственное профессиональное образовательное учреждение «Мариинский политехнический техникум» 2 Разработчики: О.С. Чугунова, преподаватель ГПОУ МПТ; СОДЕРЖАНИЕ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА                                                      СТР 4 2. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ    РАБОТЫ                                                                                             СТР 5 3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ                                                                          СТР 6 4. КИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ                                                                  СТР 37 5. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА                                                     СТР 38 3 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Уважаемые студенты! Методические   указания   по   выполнению  внеаудиторной  самостоятельной работы   по  дисциплине   Математика   ставят   своей   целью   оказать   помощь   в организации самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений, навыков в объеме действующей программы. Объем       самостоятельной   работы           определяется       государственным образовательным   стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО). Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом ГПОУ «Мариинский политехнический техникум». Самостоятельная внеаудиторная работа по математике проводится с целью: ­ систематизации и закрепления полученных теоретических знаний; ­ углубления и расширения теоретических знаний; ­   развития   познавательных   способностей   и   активности,   самостоятельности, ответственности и организованности; ­ формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.   4 ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 5 № п/п 1 Тема 2 Предел и  непрерывность  функции Производная функции. Приложение  производной. Интегральное  исчисление. Дифференциальные  уравнения Содержание самостоятельной работы 3 Сообщение на тему:  «История развития  математического  анализа». Выполнение  упражнений на  раскрытие  неопределенностей Решение задач на  применение основных  формул  дифференцирования и вычисление  производной сложной  функции. Решение задач на  полное исследование  функций Решение задач на  вычисление  неопределенных  интегралов и  площадей фигур Решение ЛДУ первого и второго порядка Основные понятия  теории вероятностей и  математической  статистики Решение задач на  вычисление  вероятностей  Решение задач на  проверку  статистических  гипотез Выполнение заданий  на действия с  Комплексные числа Кол­во часов 4 Формы и методы контроля результатов 5 Проверка  тетрадей Письменное  решение  упражнений и  задач Письменное  решение  упражнений и  задач Письменное  решение  упражнений и  задач Письменное  решение  упражнений и  задач Письменное  решение  упражнений и  задач 6 Письменное  решение  2 4 4 4 4 4 2 3 3 Критерии оценивания внеаудиторной самостоятельной работы –смотри стр. 37. ЗАМЕЧАНИЕ: ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ Самостоятельная работа №1,2. Тема: «Предел и непрерывность функции». Цели: ­ повторить способы раскрытия неопределенностей; ­ развитие логического мышления; ­ воспитание аккуратности, настойчивости. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 4 часа.   Форма  контроля:   практическая работа. Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a,  если для каждого положительного числа e(cid:160) можно указать такое положительной  число d, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x­a|0   в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция  f(x) Признак убывания   функции:     Если    f¿(x)<0  в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция  f(x) убывает. Признак максимума функции: Если функция    f(x) непрерывна в точке х0,  а f¿(x)>0    на интервале    , то  x0 является точкой максимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак  с плюса на минус,  то х0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция  f(x) f¿(x)<0    на интервале     является точкой минимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х0 производная меняет знак  с минуса на плюс,  то х0 есть точка максимума.    и     f¿(x)<0    на интервале      непрерывна в точке х0,  а (x0;a) (a;x0)    и     f¿(x)>0    на интервале  (x0;a) , то x0 Схема исследования функции.  Найти  область определения;  Вычисляем производную;  Находим стационарные точки  Определяем промежутки возрастания и убывания;   Находим точки максимума и минимума; 16  Вычисляем экстремум функции;    Данные заносим в таблицу. На основании такого исследования строится график функции. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. I вариант .1 Найдите ) уа ) уб ; 5  х  ;3 4 х  ; ) ув : производны е функций  х ;23 уг )   ) sin3 уд 2 х х  е функций производны Найдите .2  4 ) ; )5 3( ) ув x уа cos х tgx x ) уб  х : .3 Вычислите f / sin2)( xf  x  3    x  3  2 ,     2 x если  3 вариант II .1 Найдите уа ) уб )   ; 4 ув )  ; х ;4 3 х функций производны е  3 x ;2   2 x cos уг ) уд ) 4 x  Найдите е производны .2 функций  5 уа x ув ; ) ) sin х 2( )3 ctgx x уб )  х  : : .3 Вычислите xf 5,1)(  x 2  / f     x 2  6    , если  45 cos x 17 Вариант 1 1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания.                                          а¿f(x)=2x2−1 . б¿f(x)=−x2+2x .                                                         в¿f(x)=x3+2x2. г¿f(x)=x3−6x2+9x−1. 2.Найти экстремум функции. а¿f(x)=3x2−2x . б¿f(x)=cos 2x . 3.Исследовать функцию и построить график. f(x)=x3−3x2+2. Вариант 2 1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания. а¿f(x)=−x2+1. б¿f(x)=x2−4x. в¿f(x)=x3+3x2.                                             г)  f(x)=2x3−3x2−12x+5 . 2.Найти экстремум функции. а¿f(x)=3x−5x2 . б¿f(x)=sin 3x. 3.Исследовать функцию и построить график.        f(x)=x3+3x2−1. Вариант 3 1.Найти стационарные точки и промежутки возрастания и убывания. а¿f(x)=−2x2+32 . 18 б¿f(x)=x2−4x . в¿f(x)=−x3+6x2 . г¿f(x)=2x3−6x2−18x+4. 2.Найти экстремум функции. а¿f(x)=6x−x3 . б¿f(x)=x2∙lx.           3.Исследовать функцию и построить график.         f(x)=−x3+6x2+2 .                       Самостоятельная работа № 5 Тема: «Интегральное исчисление». Цели:  закрепить знания, умения и навыки нахождения интегралов и площади криволинейной трапеции с помощью интеграла. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 8 часов.   Форма  контроля:   практическая работа. Теоретический материал.   ∫f(x)dx=F(x)+C ,   где   F(x) ­   есть   некоторая  на этом промежутке, С – const. При этом знак  ­ подынтегральной функцией,  f(x)dx   x   ­   переменная   интегрирования,   С­ Определение   1:   Неопределенным   интегралом  функции  f(x)   называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:  F(x)   +  C.   Записывают:   первообразная функции    f(x) ∫ называется знаком интеграла,  f(x) ­   подынтегральным   выражением, постоянная интегрирования. Операция   называется интегрированием  данной функции.  Интегрирование  –   операция,   обратная   операции   дифференцирования.     У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.   нахождения   неопределенного   интеграла   от   данной   функции Таблица неопределенных интегралов: 19 ∫dx=x+C ∫sinxdx=−cosx+C ∫xndx=xn+1 ∫ dx n+1 +C x=ln|x|+C ∫axdx= ax lna+C lxdx=¿lx+C ∫ ¿ ∫cosxdx=sinx+C =−ctgx+C ∫ dx sin2x ∫ dx cos2x ∫ dx 1+x2=arctgx+C =tgx+c ∫ dx a2+x2= 1 arctgx a+C a ∫tgxdx=−ln|cosx|+C ∫ctgxdx=ln|x|+C ∫ dx √a2−x2 ∫ dx x2−a2= 1 2a =arcsin x a+C ln|x−a x+a|+C Свойства неопределенного интеграла: ∫dF(x)=F(x)+C ; ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ; ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx; ∫f(ax+b)dx= 1 F(ax+b)+C ; a Определение 2. Пусть на отрезке [a; b] оси Ох задана непрерывная функция у = f(x), не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;  b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1) называют  криволинейной трапецией. Определение 3. Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], то площадь S  соответствующей   криволинейной   трапеции  вычисляется по формуле: У y = f(x) b S =  ∫ a f(x)dx , f(x)dx   – определенный интеграл  непрерывной 0 а Рис. 1 Х b где    ∫ b a функции у = f(x) на отрезке [a; b].  Числа   а   и   b   называют  пределами   интегрирования  (соответственно верхним и нижним). 20 Для   вычисления   определенного   интеграла   применяется  формула Ньютона­Лейбница: если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и у = F(x) – ее первообразная, то верно равенство: b ∫ a f(x)dx  = F(b) – F(а). Найти неопределенный интеграл Решение. Введем замену интеграл от степенной функции: и полученный интеграл находим как Сделаем обратную замену Ответ. Задание. Вычислить неопределенный интеграл Решение. Распишем тригонометрические функции (определение котангенса) подынтегральную сумму, используя Внесем под знак дифференциала: Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл В результате получим 21 Ответ. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3; у = 1; х = 2. Решение. Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE. Используя формулу S = ʃ а интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений: {у = х3, {у = 1. Таким образом, имеем х1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел. Итак, S = SDACE – SDABE = ʃ1 ед.). b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы  2 x3 dx – 1 = x4/4|1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв.  ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. Вариант 1        Вычислить интегралы: 1.  хх  1 dx                                                            2.  x 5 2 dx 22 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1.     f(x)=16−x2,f(x)=0 . 2.    f(x)=1+x2,y=2 . 3.   f(x)=(x−1)2,y=0,x=3 . 4.   f(x)=5cosx,f(x)=3cosx . 5.  f(x)=x2+2,f(x)=3x+2 .        Вычислить интегралы: Вариант 2 1.                                                         2  .  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1.  f(x)=9−x2,f(x)=0 . 2. f(x)=3+x2,y=4 .      3. f(x)=(x−2)2,y=0,x=3 .           4. f(x)=5sinx,f(x)=3sinx .      5. f(x)=x2+3,f(x)=2x+3 . Контрольные вопросы: 1. Как записывается формула Ньютона­Лейбница; 2. Какое действие обратно интегрированию? 3. Какие   существуют   три   способа   нахождения   неопределенного интеграла?                           Самостоятельная работа № 6 Тема: «Дифференциальные уравнения» 23 Цели:   ­  приобретение   базовых   знаний   для   решения   дифференциальных уравнений; ­ развитие логического мышления; ­ воспитание аккуратности, настойчивости. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 4 часа.   Форма  контроля:   практическая работа. Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:  1) независимую переменную  2) зависимую переменную   (функцию); ; 3) первую производную функции:  В некоторых уравнениях 1­го порядка может отсутствовать «икс» или (и)  «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая  . , и не было производных высших порядков –  производная  Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить  дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций,  которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто  и т.д. ,   (  – произвольная постоянная), который  имеет вид  называется общим решением дифференциального уравнения. Найти частное решение дифференциального уравнения  ,  удовлетворяющее начальному условию  Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ,  удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса  также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это  не должно смущать, главное, в нём есть первая производная. Переписываем производную в нужном виде: Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки –  направо: 24 Интегрируем уравнение: Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной  звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить  «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе,  школьное:  . В данном случае: Константа в показателе смотрится как­то некошерно, поэтому её обычно  спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя  свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: Если   – это константа, то  переообозначим её буквой  :  – тоже некоторая константа,  Запомните «снос» константы – это второй технический приём, который  часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. . Такое вот симпатичное  Итак, общее решение:  семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее  заданному начальному условию  В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы  чтобы выполнялось условие  Оформить можно по­разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: . . Это тоже просто. ,  То есть,  Стандартная версия оформления: 25 Теперь в общее решение  константы  :  подставляем найденное значение   – это и есть нужное нам частное решение. Найдите общее решение дифференциального уравнения с  разделяющимимися  переменными                              .  Решение. Проинтегрируем обе части равенства:  . где С1 и С2 – произвольные постоянные.   Мы пришли к неявно заданной функции, которая является общим решением  исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными.  Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y  можно выразить явно через аргумент x.  Итак,  , где  .  То есть, функция  дифференциального уравнения.  является общим решением исходного  26 Найти все решения дифференциального уравнения  Решение. . Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем  разделить x и y: Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в  тождество  , поэтому, y = 0 является решением  дифференциального уравнения. Это решение мы могли упустить из виду. Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными  переменными  : В преобразованиях мы заменили C2 ­ C1 на С. Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции  . На этом можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя потенцирование полученного равенства: ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. 27 Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения (по вариантам)  1)(1+y)dx=(1­x)dy; y=3 при х=­2. 2)(2+y)dx=(3­x)dy; y=1 при х=­1. 3)y’=2x, y=4 при х=5. 4)2у’=x, y=2 при х=­2. Вопросы для самоконтроля:  1. Какие уравнения называются дифференциальными?   2.Какие   уравнения   называются   дифференциальными   переменными   с разделяющимися переменными?                   Самостоятельная работа № 7,8. Тема:  «Основные понятия теории вероятностей и математической статистики». Цели:  ­ закрепление навыков решения вероятностных и статистических задач; ­ развитие логического мышления; ­ формирование ПК; ­ воспитание аккуратности, настойчивости. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 5 часов.   Форма  контроля:   практическая работа. 1. Число всех возможных исходов – N 2. Все исходы равновозможны  3. Количество благоприятных исходов – N(A) 4. P(A) – вероятность события А P(A) =  28 Задача 1:  Бросают одну игральную кость. Вычислить вероятность события «выпало четное число очков».  Решение: N = 6;   N(A) = 3;   P(A) =   3 6=1 2  . Задача2: В школе 20 хулиганов, из них 5 человек попались директору на глаза.  Какова относительная частота случайного события? Решение: (5/20=1/4) Задача 3: В одной комнате общежития живут Антон, Борис и Василий. Нужно регулярно назначать дежурного по комнате. Юноши подбрасывают две монеты и в зависимости от результата определяют дежурного:  ­ если выпали орёл и решка, дежурит Антон,  ­ если выпали два орла, дежурит Борис,  ­ если выпали две решки, дежурит Василий.  Справедлив ли такой подход к выбору дежурного? Решение задачи: Таблица исходов испытаний 1 монета 2 монета орёл решка о оо ро р ор рр Такой подход не является справедливым, так как вероятность появления  орла и решки (ОР или РО) равна 1/2 (два благоприятствующих из четырёх  возможных исходов), а вероятности появления двух решек или двух орлов  29 одинаковы и равны 1/4. Так как 1/2/1/4 = 2, то можно сказать, что Антону, по  всей вероятности, придётся в 2 раза чаще дежурить, чем каждому из его друзей. Математическая статистика ­ наука о математических методах  систематизации и использования статистических данных для научных и  практических выводов.  Генеральной совокупностью называется достаточно большое, быть может,  бесконечное подмножество элементарных событий. Случайной величиной называют функцию от элементарного события. Экспериментом называется функция, принимающая значение на пространстве  элементарных событий. Статистическая моделью называется совокупность законов, которым  подчиняется процедура эксперимента. Случайной выборкой1 или просто выборкой1 объема n называется набор  некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при серии  из n одинаковых экспериментов Выборкой 2 объема n называется набор 1,…,n случайных величин, определенных на натуральных числах 1,…,n, k­я с.в. принимает значение исхода ki­го  эксперимента на числе i, при условии, что все эксперименты одинаковы. Все указанные типы средних величин можно получить из формул степенной  , то среднюю из вариант можно  средней. Если имеются варианты  рассчитать по формуле простой невзвешенной степенной средней порядка  : Средний квадрат отклонения, или дисперсия (обозначается  ) наиболее  часто применяется как мера колеблемости признака. Дисперсии невзвешенную и взвешенную вычисляют по формулам Таким образом, дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов  отклонений вариант от их средней арифметической. Квадратный корень из дисперсии  отклонением. Задача4: В целях изучения стажа работников мехпарка проведена 36%­ная  механическая выборка, в результате которой получено следующее  распределение рабочих по стажу работы:  называется среднеквадратическим  Стаж, число Число рабочих, 30 лет до 5 5 ­10 10 ­15 15 ­20 20 ­25 свыше 25 чел. 12 18 24 32 6 8 Итого: 100 На основе этих данных вычислите: 1) средний стаж рабочих мехпарка; 2) средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратичное отклонение.  Решение: 1) Для вычисления среднего стажа просуммируем произведения середин  интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на  сумму частот. 2) Вычислим дисперсию, среднее квадратичное отклонение: 31 . ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. №1 Для каждого из следующих событий введите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность. а) В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наугад вынимается два шара. Какова вероятность того, что они будут белыми? б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной? в) Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом убирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? №2 Определить вероятности следующих событий:  A={при бросании монеты выпал «орел»}; B={при бросании кубика выпала тройка}; C={при бросании кубика выпало четное число}; D={из колоды карт вытянули туза }; E={из колоды карт вытянули шестерку}; F={из колоды карт вытянули не туза}; №3. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в  некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х  автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения: Х Р 0 0,25 1 0,2 2 0,1 3 0,1 4 0,1 5 0,1 6 0,05 7 0,05 Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150  тыс. р. №4. . Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным  примера 2. Решение. Закон распределения случайной величины X2 имеет вид 32 Х Р 0 0,25 1 0,2 4 0,1 9 0,1 16 0,1 25 0,1 36 0,05 49 0,05 Вопросы самоконтроля:  1) Что такое вероятность? 2) Какие задачи называются статистическими? 2) Какие формулы используются для вычисления математического ожидания,  дисперсии и среднеквадратичного отклонения? Самостоятельная работа № 9 Тема: «Комплексные числа» Цели: ­ углубить и обобщить знания в области комплексных чисел; ­ воспитание целеустремленности, настойчивости, аккуратности. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 3 часа.   Форма  контроля:   практическая работа. Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в  виде bi, где i – мнимая единица, причем i2 = ­ 1. Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа. Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi,  где a и b ­ действительные числа. При этом выполняются условия: а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда,  когда a1=a2, b1=b2. б) Сложение комплексных чисел определяется правилом: (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i. в) Умножение комплексных чисел определяется правилом: (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 ­ b1b2) + (a1b2 ­ a2b1) i. Алгебраическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой  комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причемb –  действительное число. 33 Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и  мнимая части равны нулю: a = b = 0 Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным  числом a: a + 0i = a. Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и  обозначается bi: 0 + bi = bi. Два комплексных числа z = a + bi и  z = a – bi, отличающиеся лишь знаком  мнимой части, называются сопряженными. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять  следующие действия. 1) Сложение. Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется  комплексное число z, действительная часть которого равна сумме  действительных частей z1 и z2, а мнимая часть ­ сумме мнимых частей  чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Числа z1 и z2 называются слагаемыми. Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами: 1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1. 2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3). 3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному  числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z,  обозначается ­z. Сумма комплексных чисел z и ­z равна нулю: z + (­z) = 0   Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (­1 + 2i). (3 – i) + (­1 + 2i) = (3 + (­1)) + (­1 + 2) i = 2 + 1i.   2) Вычитание. Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит  найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1. Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна. Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) ­ (­3 + 2i). (4 – 2i) ­ (­3 + 2i) = (4 ­ (­3)) + (­2 ­ 2) i = 7 – 4i. 3) Умножение. 34 Определение. Произведением комплексных  чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое  равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i. Числа z1 и z2 называются сомножителями. Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами: 1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1. 2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3) 3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения: (z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3. 4º. Z1 ∙Z2  = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 ­ действительное число. На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения  суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части. В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя  способами: по правилу и умножением суммы на сумму. Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i). 1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (­ 7)) + (2× (­ 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) +  (­ 14 + 15)i = 31 + i. 2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (­ 7i) + 3i× 5 + 3i× (­ 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.   4) Деление. Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит  найти такое комплексное число z, что z ∙ z2 = z1. Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 +  0i. На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и  знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда 35 . В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на  число, сопряженное знаменателю. Пример 4. Найти частное  1 способ.  .   2 способ.  .   5) Возведение в целую положительную степень. а) Степени мнимой единицы. Пользуясь равенством i2 = ­1, легко определить любую целую положительную  степень мнимой единицы. Имеем: i3 = i2 i = ­i, i4 = i2 i2 = 1, i5 = i4 i = i, i6 = i4 i2 = ­1, i7 = i5 i2 = ­i, i8 = i6 i2 = 1 и т. д. Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число,  периодически повторяется при увеличении показателя на 4 . . 36 Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо  показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой  равен остатку от деления. Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) ∙ i 23. i 36 = (i 4)9 = 19 = 1, i 17 = i 4× 4+1 = (i 4)4× i = 1 ∙ i = i. i 23 = i 4× 5+3 = (i 4)5× i3 = 1 ∙ i3 = ­ i. (i 36 + i 17) ∙ i 23 = (1 + i) (­ i) = ­ i + 1= 1 – i. б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень  производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так  как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых  комплексных сомножителей. Пример 6. Вычислите: (4 + 2i)3 (4 + 2i)3 = 43 + 3× 42× 2i + 3× 4× (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i. Пример 6. Решите уравнение: а) x2 – 6x + 13 = 0;    б) 9x2 + 12x + 29 = 0. Решение. а) Найдем дискриминант по формуле D = b2 – 4ac. Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то  D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16; Корни уравнения находим по формулам б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,  D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900, Находим корни уравнения: Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то  квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. 37 1. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел: 1) (3 + 5i) + (7 – 2i). 2) (6 + 2i) + (5 + 3i).  3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i). 4) (5 – 4i) + (6 + 2i). 5) (3 – 2i) + (5 + i). 6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i). 7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i). 8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i). 2. Произведите умножение комплексных чисел: 9) (2 + 3i)(5 – 7i).  10) (6 + 4i)(5 + 2i). 11) (3 – 2i)(7 – i).  12) (– 2 + 3i)(3 + 5i). 13) (1 –i)(1 + i). 14) (3 + 2i)(1 + i). 15) (6 + 4i)3i. 16) (2 – 3i)(– 5i). 3. Выполните действия: 17) (3 + 5i)2. 18) (2 – 7i)2. 19) (6 + i)2. 20) (1 – 5i)2. 21) (3 + 2i)3. 22) (3 – 2i)3. 23) (4 + 2i)3. 24) (5 – i)3. 4. Выполните действия: 25) (3 + 2i)(3 – 2i).  26) (5 + i)(5 – i).  27) (1 – 3i)(1 + 3i).  28) (7 – 6i)(7 + 6i). 29) (a + bi)(a – bi). 30) (m – ni)(m + ni). 38 5. Решите уравнения: 32) x2 – 4x + 13 = 0. 33) x2 + 3x + 4 = 0.  34) 2,5x2 + x + 1 = 0. 35) 4x2 – 20x + 26 = 0. Самостоятельная работа № 10 Тема: «Системы уравнений» Цели: ­ углубить и обобщить знания в области линейной алгебры ; ­воспитание целеустремленности, настойчивости, аккуратности. ­ формировать ОК­2,3,7 и ПК; Количество часов­ 3 часа.   Форма  контроля:   проверка тетрадей ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ. Написать конспект по тем: «Матрицы. Действия над матрицами» Конспект – способ изложения содержания книги или статьи в логической  последовательности. Аккумулирует разные виды записи, позволяет всесторонне  охватить содержание книги, статьи. Умение составлять план, тезисы, делать  выписки и другие записи определяет и технологию составления конспекта. Составить конспект значит в краткой и сжатой форме изложить содержание  учебного материала в логической последовательности.  Чтобы составить конспект нужно:  прочитать текст,   разделить его на смысловые части,   выделить главную мысль и существенное,   сделать краткую запись в тетради и пересказать информацию.  Методические рекомендации по составлению конспекта:  Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе  непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные  данные на поля конспекта;  Выделите главное, составьте план;  Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте  аргументацию автора; 39  Законспектируйте материал, четко по пунктам плана. Старайтесь  выразить мысль своими словами. Записи четко, ясно.  Грамотно записывайте цитаты (учитывайте лаконичность, зна­ чимость мысли). Критерии оценки:  содержательность  конспекта, соответствие плану;  отражение основных положений, результатов работы автора, выводов;  ясность, лаконичность изложения мыслей студента;  наличие схем, графическое выделение особо значимой информации;  соответствие оформления требованиям;   конспект сдан в срок. грамотность изложения; КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ  Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы  обучающегося являются:  ­ уровень освоения обучающимся учебного материала;  ­ умение обучающегося использовать теоретические знания при выполнении  практических задач;  ­ сформированность общеучебных умений;  ­ обоснованность и четкость изложения ответа;  ­ оформление материала в соответствии с требованиями.  Для отметки надо выполнить все задания и любых правильно выполненных  заданий должно быть:  ­ «5» (отлично, необходимо ≥90%);  ­ «4» (хорошо, необходимо ≥80%);  ­ «3» (удовлетворительно, необходимо ≥70%);   Оценка «5» ставится при сданной в срок работе, все задания выполнены верно,  работа оформлена подробно и аккуратно; 40 Оценка «4» ставится при в основном верно выполненных заданиях, имеются  небольшие погрешности вычислительного характера, работа оформлена  подробно и аккуратно; Оценка «3» ставится при наличии не критических ошибок, выполнена не до  конца или не полностью, работа может быть сдана не в срок; Оценка «2» ставится, если самостоятельная работа выполнена неверно 41