Методика доводящей карточки

                         

Методика доводящих карточек

 

Автор: Зотова Елена Васильевна, заместитель директора по УВР МБОУ Приморская СШ имени Героя Советского Союза М.А.Юшкова

 

 
   Методика доводящих карточек - одна из методик коллективных учебных занятий.
   Основное средство этой методики - доводящая карточка.

   Доводящая карточка - это карточка, содержащая в себе небольшой, труднопонимаемый абзац текста, который учащийся готов понимать, и набор посильных для учащегося вопросов и заданий, которые целенаправленно и в совокупности доводят его до понимания смысла, содержащегося в этом абзаце.
   В 1984 - 85 учебном году в Красноярском государственном университете в двух группах физического факультета (преподаватели С.В.Знаменский, В.Л. Гудовщиков, М.А.Мкртчян) и в одной математического факультета (преподаватели А.М.Аронов, В.Г.Васильев) были организованы коллективные занятия.
   Преподаватели этих групп запустили одновременно два процесса - обучение студентов в новой технологии и построение самой этой технологии. То есть, параллельно с процессом обучения проводились исследовательские работы, создавались новые приемы, механизмы организации занятий.
   При изучении психологии (преподаватели И.Н.Бронников, Л.В.Бондаренко), истории (преподаватель В.А.Смотрицкий) студенты успешно работали в парах сменного состава по методике Ривина.
Для организации эффективной работы студентов на занятиях по математике и физике были разработаны методики взаимопередачи тем и взаимообмена заданиями, которые впоследствии с успехом стали применяться и на других предметах.
    Так постепенно формировалась особая целостность - коллективные учебные занятия.
    Возникающие при этом проблемы, трудности, новые идеи обсуждались на постоянно действующем семинаре преподавателей.
    Вопрос о необходимости разработки методики, помогающей понимать студентам самостоятельно некоторые сложные абзацы, актуализировался в связи с тем, что имеющиеся средства не решали этой задачи.
   Так, в дискуссиях на семинаре возникла идея составления "вопросников". Абзацы, обычно вызывающие затруднения, были типологизированы, и для каждого типа абзацев был разработан свой вопросник (план, алгоритм изучения).
    В практике коллективных занятий появились вопросники для изучения определений, утверждений, обозначений и иных типов абзацев, характерных для математических текстов.
    Эффективность освоения большинства тем действительно повысилась, но одновременно выделились и особо сложные абзацы для обеспечения понимания которых вопросник не помогал.
   Каждый такой конкретный абзац требовал особую карточку, вопросы и задания которой были бы непосредственно связаны с этим абзацем.
Была поставлена задача создания карточек, управляющих процессом рассуждений студента и доводящих его до понимания смысла конкретного сложного текста.
    Так появилась идея разработки методики доводящих карточек. Затем М.А. Мкртчяном была создана сама методика и первые доводящие карточки по математическому анализу.
   Впоследствии доводящие карточки стали создаваться учителями общеобразовательных школ на курсах в Красноярском институте повышения квалификации работников образования - вначале учителями математики, а затем уже и другими предметниками.
   В конце 80-х и начале 90-х годов наибольшую известность работы по созданию доводящих карточек Е.А. Кадниковой (учитель русского языка школы N 98 г. Красноярска-26).
   В настоящее время работы по дальнейшему совершенствованию доводящих карточек и их методики ведутся в рамках краевого инновационного комплекса по созданию новой образовательной практики на основе коллективных учебных занятий.
   Наиболее интенсивно создаются доводящие карточки по школьному курсу физики.
   На нынешнем этапе разработки методики применяется следующее понимание устройства и принципа действия доводящей карточки.
   Доводящая карточка - это карточка, предназначенная для организации понимания учащимися сложного учебного текста.
   Она является средством, с помощью которого внимание учащегося последовательно концентрируется на определенном учебном материале.

И, таким образом, происходит опосредованное управление его мышлением.
Карточка состоит из двух частей.
   Первая часть содержит то, что необходимо понять учащемуся. Это может быть определением, законом, теоремой и тому подобным.
   Вторая часть - взаимосвязанные между собой вопросы и задания, приводящие к пониманию первой части.
    Вопросы и задания условно можно разделить на три группы, каждая из которых имеет свое предназначение.
    Первая группа вопросов и заданий предназначена для объектирования в сознании учащегося ранее изученных и необходимых для понимания первой части карточки понятий и терминов. Кроме этого, вопросы данной группы задают, очерчивают, ограничивают ту область, к которой относится понимаемый материал.
    Вторая группа - обращает внимание учащегося на важные для понимания смысла первой части карточки, слова и словосочетания.
    В третьей группе оформляются вопросы и задания, связанные со смыслом первой части карточки, с ее структурой.
   Кроме этого, в карточке могут содержаться вопросы и задания, направленные на закрепление, углубление знаний по данной теме.
   Все вопросы и задания карточки должны подбираться, исходя из предположения, что первая часть карточки при прочтении не будет понятна.
   Таким образом, они не могут быть контролирующими или проверяющими понимание учащегося.
   Вопросы и задания должны быть такими, на которые ученик потенциально может ответить и которые в комплексе помогают ему понять данный в первой части карточки фрагмент учебного материала.
    Доводящая карточка предназначена не для того, чтобы учащийся проверил, как он понял тему, не для тренировки, не для контроля, не для обучения другого, а только для того, чтобы, работая с ней, учащийся усвоил сложный текст.

Часто на карточке выписывается алгоритм – алгоритм решения задачи, алгоритм работы с текстом, алгоритм проведения опыта и т.д. Алгоритм – это есть предписание исполнителю, в котором понятно и точно описана последовательность действий, ведущих к достижению поставленной цели или решению задачи. Предполагается что, последовательно выполняя все то, что предписано, ученик сможет, например, решить задачу.

Алгоритм «сообщает» как действовать. Его предназначение, прописать ученику последовательность действий, соблюдение которой должно привести его к цели. Но, а если ученик не знает, как делать то, что ему предписывается?  Например, первое предписание: «Прежде всего, необходимо хорошо усвоить условие задачи. Для этого, как правило, достаточно прочитать его внимательно два-три раза, сделать чертеж» (2).

Ученик читает задачу три раза. Ничего не «уясняет». Чертеж сделать не может, не знает что чертить. Для него этот алгоритм не помощник. Если же ученик получает карточку с условием задачи и другими заданиями. Например, не «сделай чертеж», а

1.                        Начерти в своей тетради прямую горизонтальную линию длиной 10 см.

2.                        Слева на линии поставь точку и обозначь ее буквой А. Это у тебя на чертеже будет пункт А.

3.                        Справа  на линии поставь точку и обозначь ее буквой В. Это у тебя на чертеже будет пункт В.

4.                        ….

Эти задания не предписывают ученику, что делать, а заставляют его делать то, что нужно, чтобы построить чертеж и все время фиксируют, что он делает чертеж. После выполнения такого задания, ученик уже понимает, что значит сделать чертеж. Эти задания (1, 2, 3) из доводящей карточки.

Разница между алгоритмом и доводящей карточкой заключается в том, что алгоритм предписывает ученику, как действовать, а доводящая карточка  заставляет действовать.

Доводящие карточки, по сути, для учащегося заменяют учителя, т.е. обеспечивают опосредованное присутствие учителя.

Доводящие карточки могут быть использованы на индивидуальных, групповых и коллективных занятиях. Доводящие карточки в основном используются при организации коллективных учебных занятий.

Разным ученикам даются на изучение разные по темам карточки.

Тот ученик, который изучил свою тему, проверяется у учителя.

Для изучения другой карточки ученик работает с тем учеником, который уже знает (освоил) эту карточку. В этом случае второй ученик играет роль проверяющего учителя. Потом второй ученик изучает первую карточку (одну из тех, которая усвоена первым) с помощью первого ученика. В этом случае первый играет роль проверяющего учителя.

После этого данная пара расходится. Каждый из напарников ищет нового товарища для изучения новых тем. И так далее, до тех пор, пока каждый ученик не изучит все карточки.

 

Доводящая карточка

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

 

Задание:   

   Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи:

Мастерская изготовила в январе 100 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий.

___________________________________________________________

   Запишите сколько изделий изготовила мастерская в феврале? в марте? в августе? в декабре?

В феврале ____________________

В марте ______________________

В августе _____________________

В декабре ____________________ 

   Запишите как получается второй член последовательности? третий? восьмой? десятый?

________________________________________________________

   Выписанная последовательность называют арифметической прогрессией.

   Прочитайте и запомните определение арифметической прогрессии:

Определение: Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии.

   Символьно (рекуррентно) это определение записывается так:

=a,    ,    (n=2,3,4,…),   где a и d – заданные числа.

   Например в последовательности 20, 17, 14, 11, …

=20,

=17=20+(-3),

=14=+(-3)=17+(-3),

d=-3

   По определению арифметической прогрессии:

Задание:  

   Запишите чему равно d из равенства . _______________

  Чтобы указать арифметическую прогрессию  требуется указать  и d.

   Для того чтобы определить, является ли последовательность арифметической надо убедиться, что разность между любым и предыдущим ему членом постоянная и, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.

 

Задания:

   1. Дана арифметическая прогрессия -1, 1, 3, 5, 7, … . Чему равно  и d? Обведите верный вариант:

               а) =1, d=7;

              б) = - 1, d=2;

               в) = - 1, d= -2;

               г) = - 1, d=6.

     Примечание:

    - это первый член последовательности, значит =_____.

   d – это разность между двумя соседними членами, например d= - .

 - это второй член арифметической прогрессии, он равен =_______.

Значит, подставляя за место  и  соответствующие числа, найдём d.

 d=________. 

2. Допишите выражения, используя знания о числовых последовательностях.

    Если , то числовая последовательность  _________________.

    Если , то числовая последовательность  _________________.

3. Подчеркните, какая из функций, заданных на множестве N является арифметической прогрессией:

а) ;    б) ;  в) ;  г) .

  Чтобы решить это задание прочитайте определение арифметической прогрессии.

  Какие два условия должны выполнятся, чтобы последовательность была арифметической прогрессией?

____________________________________________________

   У какой из функций каждый член последовательности получается из суммы предыдущего и постоянного числа d? _________________________

   Если рассмотреть первую функцию, то чему равно ? _________

 Чему равно  у первой функции? _________ Чему равно d? ______

  Можно ли из суммы первого члена последовательности и d получить второй? ______________ 

    Аналогично рассмотреть остальные функции.

      Прочитайте и запомните определение конечной арифметической прогрессии:

    Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким – то конкретным членом последовательности, например, за , то получится конечная арифметическая прогрессия .

   Прочитайте и запомните формулу n – го члена арифметической прогрессии:

 

 Формула n – го члена арифметической прогрессии:

.

 Задания:

   1. Дана арифметическая прогрессия, у которой =, d=. Подчеркните правильный вариант седьмого члена этой прогрессии:

а) ;         б) ;       в) ;        г) .

   Чтобы решить это задание, надо подставить данные нам числа в формулу

n – го члена арифметической прогрессии.

   Что нам надо найти? _________________

    Чему равно n? ______________________

    Подставляем числа:  

                                        =_____________________

    2. Дана конечная арифметическая прогрессия .

Известно, что d= - 0,6, n=17, =9,5. Подчеркните, чему равен первый член этой прогрессии:

а) 19,1;        б) – 19,1;      в) 1,91;      г) 191.

     Что нам надо найти? _________________

     Чтобы решить это задание, надо сначала выразить   из формулы

n – го члена арифметической прогрессии . Что получится?

_______________________________________________________________

     Чему равно n? ______________________

    Подставляем числа в получившуюся формулу:  .

Что получится? _______________________________________________

     3. Дана конечная арифметическая прогрессия, у которой =, =, n=36. Подчеркните, чему равна разность этой прогрессии:

а) 0,125;        б) 1,25;      в) ;      г) .

Что нам надо найти? _________________

     Чтобы решить это задание, надо сначала выразить d  из формулы

n – го члена арифметической прогрессии .

    Что получится?

_______________________________________________________________

     Чему равно n? ______________________

    Подставляем числа в получившуюся формулу:  .

   Что получится? _______________________________________________

   4. Заполните пропуски в тексте:

 Рассмотрим последовательность чётных натуральных чисел в порядке возрастания. Первым членом этой последовательности будет число _______, вторым - ______, третьим - _______. Для нахождения членов последовательности с большими номерами необходимо создать формулу для их вычисления. Для заданной последовательности эта формула будет иметь вид: = ___________. Поэтому, = __________ и = _____________.

   Прочитайте следующий теоретический материал:

    Формулу n – го члена арифметической прогрессии , перепишем в виде . Введём обозначения =у,  - d = m.

Имеем: y = dn + m или y = dx + m, где xN.  Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную  функцию y = dx + m, заданную на множестве натуральных чисел N. Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разность арифметической прогрессии.

   Прочитайте и запомните формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:

   Формула суммы первых n членов конечной арифметической прогрессии: .

   Так как , то есть ещё одна формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

   Формула суммы первых n членов конечной арифметической прогрессии: .

Задания:

   1. Найдите и запишите сумму чисел циферблата часов. __________

    2. Подчеркните правильный вариант суммы первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой .

а) 864;      б) 848;       в) 792;        г) 716.

    Чтобы решить это задание надо найти несколько членов арифметической прогрессии. Чему равен первый член арифметической прогрессии? ________

Чему равен второй член арифметической прогрессии? _________________

Чему равна разность d этой последовательности? ___________________

Сумму скольких членов нам надо найти? ______________________

Значит чему равно n?______________________

  Подставляя в получившуюся формулу   числа, что получится? ________________________________________________

   Прочитайте и запомните характеристическое свойство арифметической прогрессии:

   Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

   Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов

.

   Верно и обратное: если последовательность  такова, что для любого n>1 выполняется равенство , то  - арифметическая прогрессия.

Так как последнее равенство можно переписать в виде .

Это значит, в частности, что ,  и так далее.

  Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, что означает: задана арифметическая прогрессия.

   Теорема. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).

Задания:

    1. Сумма второго и третьего членов арифметической прогрессии, равна 16, а разность прогрессии равна 4. Найдите первый член прогрессии. Правильный ответ обведите:  а) 2;        б) 4;      в) 5;       г) 6.

    Чтобы решить это задание надо ответить на несколько вопросов:

    Сумма, каких членов равна 16?  ________________________

    Можно ли выразить второй и третий член арифметической прогрессии через первый член? Запишите что получиться?

     Из получившегося равенства можно выразить ? Что получиться?

___________________________________________________________

     Чему равна разность d? ___________

    Подставляя в получившуюся формулу соответствующие числа, что получиться? __________________________________________________

   2. Сколько членов арифметической прогрессии -2,2,… меньше числа 55? Правильный ответ обведите: а) 15;      б) 19;       в) 16;      г) 13.

   3. Сумма четвёртого и пятого члена арифметической прогрессии равна 14. Чему равна сумма восьми членов прогрессии? Правильный ответ обведите:

а) 56;         б) 75;          в) 52;         г) 112.   

 

 

Задания для проверки знаний

1. а) является ли заданная числовая последовательность арифметической прогрессией:

                       

б) вычислить первые три члена последовательности; определить ее монотонность:

                                        

в) дать формулу n-го члена последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, …                                  Ответы:  

1, 4, 9, 16, 25, …                                            

1, 8, 27, 64, 125, …                                          

2, 5, 10, 17, 26, …                                          

2.     В арифметической прогрессии  ;  Найти

3.     В арифметической прогрессии  ;  Найти

4.     В арифметической прогрессии  ;  Найти

5.     В арифметической прогрессии : 9, 11, 13, … Является ли число 30 членом этой арифметической прогрессии?

6.     В арифметической прогрессии  ;  Найти

 7. Соберите правильно эти формулы (всего 7 формул).

 

                                                  

 

                                                                                    

 

                                     

 

 

 

8. На каждый из нескольких опытных участков внесли по два удобрения. На первый участок внесли по 6 кг каждого удобрения. На каждом следующем участке массу первого удобрения сохраняли, а массу второго удобрения уменьшали на 0,5 кг по сравнению с предыдущим участком. Всего нанесли 34 кг удобрения. Сколько всего килограммов первого удобрения было внесено?

9.  За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день?

10. Заполните таблицу:

 

Доводящая карточка

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

 Задание:

   Выпишите последовательность соответствующую условию задачи:

   Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?

____________________________________________________________

Запишите сколько бактерий будет через 2 секунды? 3 секунды? 5 секунд?

   Через 2 секунды ______________

   Через 3 секунды ______________

   Через 5 секунд _______________

  Запишите как получается второй член последовательности? третий? пятый?

_________________________________________________________________

  Запишите каким образом образовались члены данных последовательностей?

_________________________________________________________________

   Выписанную последовательность называют геометрической прогрессией.

  Прочитайте и запомните определение геометрической прогрессии:

   Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

   Символьно (рекуррентно)  это определение записывается так:

,    ,    (n=2,3,4,…) ,    b и q – заданные числа, , .

   Запишите чему равно q из равенства . __________________

   Чтобы задать геометрическую прогрессию , требуется указать  и q.

   Для того, чтобы определить является ли последовательность геометрической надо убедиться, что , то есть отношение любого члена последовательности к предыдущему постоянно.

Задания:

   1. а) Определите, является ли последовательность 1, 3, 9, 27, 81, … геометрической прогрессией. Запишите ответ на вопрос: ___________

   Перед тем как решить это задание, прочитайте определение геометрической прогресс.

   Какие условия должны выполняться, чтобы последовательность чисел была геометрической прогрессией? _____________________________________

   Чему равен первый член этой геометрической прогрессии? __________

   Чему равен второй член этой геометрической прогрессии? __________

   Чему равен знаменатель этой геометрической прогрессии? __________

   Будет ли эта последовательность геометрической прогрессией? ______

        б) Определите, является ли последовательность 2, 0, 0, 0, … геометрической прогрессией. Запишите ответ на вопрос: ___________

Перед тем как решить это задание, прочитайте определение геометрической прогресс.

   Какие условия должны выполняться, чтобы последовательность чисел была геометрической прогрессией? _____________________________________

   Чему равен первый член этой геометрической прогрессии? __________

   Чему равен второй член этой геометрической прогрессии? __________

   Чему равен знаменатель этой геометрической прогрессии? __________

   Будет ли эта последовательность геометрической прогрессией? ______

   2. Определите  и q геометрической прогрессии 1, 3, 9, 27, 81, …

=______,      q = ________

   3. Допишите выражения, используя знания о числовых последовательностях.

 Если >0, , то числовая последовательность  _________________.

  Если >0, , то числовая последовательность  _________________.

  Если <0, , то числовая последовательность  _________________.

    Если <0, , то числовая последовательность  _________________.

   Прочитайте и запомните свойство геометрической прогрессии:

   Свойство геометрической прогрессии:

   Если последовательность  является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, то есть  является геометрической прогрессией. Первый член равен , а знаменатель равен .

   Прочитайте и запомните определение конечной геометрической прогрессии:

   Если в геометрической прогрессии  отбросить все члены, следующие за , то получится конечная геометрическая прогрессия .

   Прочитайте и запомните формулу n- го члена геометрической прогрессии:

Формула n – го члена геометрической прогрессии:     

.

   Прочитайте и запомните следующий теоретический материал:  

, тогда . Обозначим , .

   Тогда , то есть , где .  – показательная функция. Геометрическая прогрессия рассматривается как показательная функция, заданная на множестве натуральных чисел N.

Задания:

   Дана геометрическая прогрессия .

а)  Известно, что = , q= -3. Найдите . Запишите ответ: ___________

   Чтобы решить это задание, нужно подставить соответствующие числа в формулу n – го члена геометрической прогрессии. Что получиться? _____

б) Известно, что =3, q=2, =1536. Найдите n. Запишите ответ: _______

   Чтобы решить это задание, нужно подставить соответствующие числа в формулу n – го члена геометрической прогрессии. Что получиться? _____

   в) Известно, что q= -2, = -512. Найдите . Запишите ответ: ________

  Что бы решить это задание, надо сначала выразить  из формулы n – го члена геометрической прогрессии? Что получиться?___________________

   Подставляя соответствующие числа в получившуюся формулу, что получиться? _____________________________________________________

г) Известно, что =14, =. Найдите q. Запишите ответ: ____________

Что бы решить это задание, надо сначала выразить q из формулы n – го члена геометрической прогрессии? Что получиться?___________________

   Подставляя соответствующие числа в получившуюся формулу, что получиться? _____________________________________________________

    Прочитайте и запомните формулу суммы конечной геометрической прогрессии:

Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии:

n,     (q=1)

,     ()

  Запомните формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .

Задание:

   Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, заданной формулой = . Правильный вариант ответа подчеркните:

а) ;       б) ;          в) ;       г) .

   Чтобы решить это задание, надо сначала записать последовательность чисел данной геометрической прогрессии. Что это будет за последовательность? ________________________________________

   Чему равен первый член этой последовательности? _______________

    Чему равен знаменатель q?______________

     Чему равно n? ______________

    Что получиться, если подставить соответствующие полученные числа в формулу суммы членов геометрической прогрессии?

  ___________________________________________

   Прочитайте и запомните характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

 или .

   Теорема: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого и последнего, в случае конечной последовательности, равен произведению предшествующего и последующего членов.

   Прочитайте и запомните определение среднего геометрического числа.

   Определение:

Число  называют средним геометрическим числом a и b.

   Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов.

Задания:

   1. Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой равен 54. Найдите первый член прогрессии. Правильный вариант ответа обведите:

а) 1;              б) 6;          в) ;        г) .

   Для решения этого задания можно ли выразить каждый член этой прогрессии через её первый член? _________________________

   Как будет выглядеть формула третьего члена геометрической прогрессии? ________________________________________________________

   Как будет выглядеть формула шестого члена геометрической прогрессии?

________________________________________________________

   Решая получившуюся систему, можно ли отыскать первый член этой последовательности? Чему он будет равен? ___________________________

 2. Сколько членов геометрической прогрессии – 48, 24, … больше числа 0,1?

Правильный ответ обведите:

а) 4;                б) 5;            в) 6;        г) 8.

   3. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвёртого её членов равна – 20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии? Правильный вариант ответа обведите:

а) 126;         б) - 42;           в) – 44;         г) – 48.

   Чтобы решить это задание надо воспользоваться характеристическим свойством геометрической прогрессии.

   Какой член последовательности можно отыскать, воспользовавшись характеристическим свойством геометрической прогрессии, когда нам известно, что сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10? ___________________________

   Что получиться, чему получился равен второй член геометрической прогрессии? ________________________________

    Какой член последовательности можно отыскать воспользовавшись характеристическим свойством геометрической прогрессии, когда нам известно, что сумма второго и четвёртого членов геометрической прогрессии равна - 20? ___________________________

   Что получиться, чему получился равен третий член геометрической прогрессии? ________________________________

   Зная второй и третий член геометрической прогрессии, чему равен знаменатель этой прогрессии? ___________________________

   Чтобы найти сумму шести членов этой прогрессии, надо отыскать , воспользовавшись, либо характеристическим свойством геометрической прогрессии, либо определением геометрической прогрессии. Чему будет равно ?______________________________________________

   Чему равен n?__________________

   Чему будет равна сумма шести первых членов этой геометрической прогрессии, при подставлении получившихся чисел в формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии: _________________

Задания для проверки знаний

1.     Составьте формулу n – го члена геометрической прогрессии 3; -6; …

2.     Найдите пятый член геометрической прогрессии , если =48, q=.

3.     Найдите первый член геометрической прогрессии ,

если = -54, q= -3.

4.     В геометрической прогрессии =, . Найдите .

5.     Найдите знаменатель геометрической прогрессии , если , = -4.

6.     Найдите значение х, при котором числа х+1; 4х и 16х – 12 составляют геометрическую прогрессию.

7.     Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ,

если =1, q= -2.

8.     Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 3; 1; ; …

9.     Найдите первый член геометрической прогрессии, если =15, q=0,5.

10. Найдите знаменатель геометрической прогрессии , если =39, =27.

11. Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(4).