Методика обучения арифметике и алгебры в основной школе

Методика обучения арифметике и алгебры в основной школе

Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική; от ἀριθμός — число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. 

Википедия

Становление методики формирования элементарных математических представлений в XIX—начале XX в. происходило под воздействием основных идей школьных методов обучения арифметике.
В то время единой методики преподавания арифметики не существовало. Шла длительная борьба между двумя направлениями, с одним из которых связан так называемый метод изучения чисел, или монографический, а с другим — метод изучения действий, который называли вычислительным.
Согласно методу изучения чисел в разработке немецкого методиста А. В. Грубе преподавание арифметики должно идти (в пределах. 100) от числа к числу. Каждое из этих чисел, сравнивается с каждым из предыдущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия должны как бы сами вытекать из знания наизусть состава чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число.

В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, палочки. результаты операций заучивались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям.

Однако уже в 70-х годах XIX в. стали появляться противники монографического метода. Критиковалось положение метода, так число 100 можно наглядно представить себе как группу единиц. Мы наглядно можем представить себе группу из двух — четырех предметов. А при большем количестве всегда приходится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав путем разложения числа бессмысленно. Монографический метод однообразен своими приемами и утомителен, все сводилось к тренировке памяти и механическому заучиванию.

Монографический метод

Другой метод — метод изучения действий (вычислительный) — предполагает научить детей не только вычислять, но и понимать смысл этих действий.
Для обоснования двух методов были выдвинуты две теории — теория восприятия групп предметов и теория счета. Каждая из них пыталась решить вопрос о том, что изначально: число или счет. Одни утверждали, что ребенку свойственна способность охватывать множество как единое пространственно организованное целое, не считая его, и поэтому они поддерживали монографический метод обучения.
Другие что врожденным качеством является восприятие не одного числа, а последовательности чисел во времени, т. е. натурального ряда чисел, в силу чего ребенок, считая, умеет называть числительные по порядку, а определить их общее количество (сколько всего) не может.

Вычислительный метод

Оба метода сыграли положительную роль в дальнейшем развитии современной методики, которая вобрала в себя отдельные позитивные моменты: приемы, упражнения, дидактические материалы.
Методика обучения арифметике направлена на решение следующих задач:
1. Приобретение знаний о множестве, числе, величине, форме, пространстве и времени, как основы математического развития.
2. Формирование широкой наглядной ориентации в количестве, пространстве, времени, отношениях окружающей действительности.
3. Формирование навыков и умений в счете, вычислениях, измерении, моделировании, общеучебных действий.
4. Овладение математической терминологией.
5. Развитие познавательных интересов и способностей логического мышления, общее математическое развитие ребенка.

• принцип развивающего обучения - суть его заключается в том, что под влиянием обучения не только приобретаются знания, формируются умения, но и развиваются все психологичекие процессы развития.

• принцип воспитывающего обучения - отражает необходимость обеспечения в учебном процессе благоприятных условий воспитания ребенка. Воспитание и обучение — две стороны единого процесса формирования личности.

• принцип гумманизации педагогического процесса - в основе этого принципа лежит личностно-ориентированная модель воспитания и обучения. Это прежде всего индивидуализация обучения, создание условий для становления ребенка как личности.

принцип индивидуального подхода предусматривает организацию обучения на основе глубокого знания индивидуальных способностей ребенка, создания условия для активной познавательной деятельности всех детей класса и каждого ребенка в отдельности.

Теория и практика учебного процесса опирается на дидактические принципы:

• Принцип научности обучения и его доступности означает, что у детей основной школы формируются элементарные, но по сути научные, достоверные математические знания. Принцип доступности предусматривает подбор такого материала, чтобы он был не слишком трудным, но и не слишком легким.

• Принцип осознанности и активности в усвоении и применении знаний предусматривает организацию обучения на таком уровне, когда наилучшим образом соединяются активность педагога и каждого ребенка. Осмысленность, понимание материала осуществляются более результативно, если ребенок принимает участие в процессе усвоения знаний, часто оперирует ими. Осознанное усвоение учебного материала предусматривает активизацию умственных процессов у ребенка.
• Принцип систематичности и последовательности предполагает такой логический порядок изучения материала, при котором знания опираются на ранее полученные. Этот принцип особенно важен именно при изучении математики, где каждое новое знание как бы вытекает из старого, известного. Учитель распределяет программный материал таким образом, чтобы обеспечивалось его последовательное усложнение, связь последующего материала с предыдущим.
• Важное значение в обучении детей имеет принцип наглядности. Это объясняется прежде всего тем, что мышление ребенка имеет преимущественно наглядно-образный характер.

Теория и практика учебного процесса опирается на дидактические принципы:

характер переключения умственных процессов;
уровень знаний и умений;
работоспособность;
уровень самостоятельности и активности;
отношение к обучению;
характер познавательных интересов;
уровень волевого развития.

В своей работе педагог должен учитывать следующие параметры индивидуальности ребенка:

Вопросы о роли и месте арифметики в школьном курсе математики, а также вопросы методики обучения арифметике рассматривались в работах целого ряда математиков, педагогов, психологов и методистов далекого (и недалекого) прошлого: И.К.Андронов, Д.С.Аничков, И.В.Арнольд, Е.С.Березанская, Н.И.Билибин, В.М.Брадис, В.Я.Буняковский, Ф.И.Буссе, Н.Я.Виленкин, Д.Д.Галанин, Б.В.Гнеденко, А.И.Гольденберг, И.Я.Депман, В.А.Евтушевский, А.К.Жбиковский, З.И.Калмыкова, А.П.Киселев, В.А.Латышев, А.Ф.Малинин, Н.А.Менчинская, Д.М.Перевощиков, А.С.Пчелко, П.В.Стратилатов, Н.И.Сырнев, С.И Шварцбурд, С.И.Шохор-Троцкий, Ф.А.Эрн и др.
Отдельные конкретно-методические вопросы, связанные с преподаванием арифметики в школе нашли свое отражение в работах таких ученых, как И.Н. Антипов. И.И.Баврин, И.В.Баранова, С.И.Волкова, В.А.Гусев, В.Г.Дорофеев, М.И.Зайкин, Н.С.Истомина, Ю.М.Колягин, B.И.Крупич, В.С.Леднев, Г.Б.Лудина, Г.Л.Луканкин, О.В.Мантуров, Н.М.Матвеев, М.И.Моро, С.М.Никольский, М.К.Потапов, А.М.Пышкало, Н.Н.Решетников, Н.В.Савинцева, Г.И.Саранцев, Ю.В.Сидоров,C.В.Степанова, О.В.Тарасова, Н.Е.Федорова, А.В.Шевкин, П.М.Эрдниев, Г.Н.Яковлев и др.
Однако, теория и практика обучения арифметике в основной школе до сих пор не были представлены в целостном виде.

Естественно, что в ходе эволюции учебного предмета "арифметика" существенно менялось его содержание, последовательность изучения отдельных тем, расставляемые методические акценты. Так, в учебниках математики для 5-6 классов, действующих в нашей школе в течение последних десяти лет, практически отсутствует традиционное для отечественной школы решение текстовых типовых задач арифметическим способом; излишнее внимание уделяется методу уравнений и решению уравнений как таковых. До сих пор ведутся дискуссии о порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей в школе и т.д.
Между тем, эти и многие другие методические проблемы, связанные с обучением арифметике в школе, могут быть решены на основе исторического опыта работы отечественной школы, оправдавших себя традиций.

1.Школьный курс арифметики всегда считался фундаментальной составляющей всего школьного курса математики. На его основе строился систематический курс алгебры (включая и изучение элементарных функций), а также - изучение основных геометрических величин и их свойств. Кроме того, при изучении курса арифметики формировались важные навыки вычислений и алгебраических преобразований, начальной алгоритмической культуры. Более того, школьный курс алгебры, по существу, выделился из курса арифметики, который длительное время включал в себя такие вопросы, как корни, логарифмы, прогрессии и т.д.
2.В отечественной средней школе курс арифметики всегда выступал в качестве самостоятельного курса, он традиционно разделялся на два учебных курса: подготовительный (курс математики начальной школы) и систематический (курс арифметики основной школы); предпринимались попытки усиления систематического курса за счет введения обобщающего курса теоретической арифметики в старших классах гимназии.
3.Научность изложения систематического курса арифметики в учебных пособиях традиционно отвечала требованиям доступности его изложения для учащихся данного возраста. Этому во многом способствовало рассмотрение большого числа практических и прикладных задач, задач "на сообразительность"; сведений занимательного и исторического характера; концентризм в изложении учебного материала.
4.Традиционно школьный курс арифметики характеризовался реализацией в нем историко-генетического метода при изложении учебного материала (изучение математических понятий, возникающих из потребностей практики; решение текстовых типовых арифметических задач; порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей; широкое обращение к различным средствам наглядности). А также - вниманием к одновременному формированию моторной, слуховой и зрительной памяти учащихся.
5.Школьный курс арифметики всегда имел практическую направленность. Так, для курса арифметики конца XIX - начала XX веков было характерно большое внимание к коммерческим вычислениям (простые и сложные проценты, начисления по вкладам, учеты векселей, кредиты и т.п.), что остается весьма актуальным и в настоящее время.

Анализ опыта преподавания арифметики в отечественной школе свидетельствует о следующих содержательно-методических традициях:

Любая позитивно ориентированная эволюция школы предполагает соблюдение определенной преемственности в целях, содержании, формах и методах обучения. Говоря об обучении арифметике в глобальном плане, преемственность обучения проявляется в том, что этот курс традиционно остается основой начальной математической грамотности учащихся и первой ступенью при изучении систематического школьного курса математики.
Кроме того, будучи органически связанным с традиционным курсом алгебры, курс арифметики фактически играет роль аксиоматики начального курса алгебры (практически каждое преобразование алгебраического выражения, уравнения или неравенства обосновано тем или иным законом или свойством арифметических действий). Опыт показывает, что попытки нарушить эту взаимосвязь ни к чему хорошему не приводили. Более того, попытки в 60 - 70-х годах создать единый школьный курс математики (и в нашей отечественной школе, и в мировой практике) не привели к позитивному результату во многом потому, что существенно снизили роль арифметики и резко сократили объем ее содержания в этом едином курсе математики. Поэтому преемственность между школой сегодняшней и отечественной школой прошлого должна, прежде всего, проявиться в сохранении курса арифметики, как фундаментальной составляющей всего школьного курса математики.

Алгебра – продолжение арифметики

Известно, что в содержании школьного курса математики выделяется несколько сквозных идейных линий:
числовая,
функциональная,
формально-оперативная,
содержательно- прикладная,
вычислительно -графическая,
алгоритмическая и другие.

Не все они одинаково воплощаются на разных этапах обучения математике, но все значимы. В систематическом курсе арифметики они реализуются на числовом, алгебраическом и геометрическом материале. Числовая линия курса арифметики не только является ведущей линией на этом этапе обучения, но и вместе с тем, она тесно взаимодействует с алгебраической и геометрической пропедевтикой.

Алгебраическая пропедевтика выражается в применении букв для записи законов и свойств арифметических действий: в знакомстве учащихся с простейшими уравнениями в конце систематического курса арифметики; в использовании формул, имеющих практическое значение и т.д. Назначение алгебраической пропедевтики - тесно связать в дальнейшем начальную алгебру и арифметику, показать учащимся, что начальная алгебра - это обобщение арифметики, показать им на примере записи свойств, законов арифметических действий, что эти записи - есть обобщение определенных числовых выражений.
Связь между числовой линией курса и алгебраической пропедевтикой особенно ярко проявляется при нахождении значения числового выражения и простейших буквенных выражений, в вычислениях по формулам, при рассмотрении диаграмм, графиков и т.д.
Умеренная алгебраизация систематического курса арифметики содействует обеспечению соответствующего данному возрасту (5-6 классы) учащихся развития логического мышления, функциональных представлений, способностей к абстрактному мышлению, формированию алгоритмической культуры, а также - совершенствованию устной и письменной математической речи.

Методика обучения алгебры

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرْ‎, «аль-джабр» — восполнение[1]) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[2].

Википедия

Кроме того, изучение многих вопросов арифметики проводится с использованием геометрической интерпретации: при сравнении чисел, введении понятия модуля числа и т.д. Также, при сложении и вычитании рациональных чисел активно используются числовой луч, числовая прямая, что определенным образом готовит к изучению школьного курса алгебры.
Такое "проникновение" алгебраической и геометрической пропедевтики в систематический курс арифметики способствует наилучшему раскрытию содержания изучаемых вопросов и взаимосвязей между ними. К тому же, пропедевтика алгебры и геометрии "украшает" курс арифметики 5-6 классов, делает его еще более интересным для изучения, еще более практически ориентированным.

С 1 сентября 2013 года все образовательные учреждения Саратовской области перешли на новый Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО
Методологической основой ФГОС  является системно-деятельностный подход, который нацелен на развитие личности. Развитие личности школьника в системе образования обеспечивается, прежде всего, через формирование универсальных учебных действий, которые выступают основой образовательного и воспитательного процесса. Овладение учащимися универсальными учебными действиями создают возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, то есть умения учиться. Эта возможность обеспечивается тем, что универсальные учебные действия – это обобщенные действия, порождающие широкую ориентацию обучающихся в различных предметных областях познания и мотивацию к обучению.).

ФГОС ООО

Особенностью содержания современного школьного образования является не только ответ на вопрос, что ученик должен знать, но и формирование УУД, обеспечивающих способность   к   организации   самостоятельной   учебной  деятельности.
В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре блока: личностный, регулятивный, познавательный, коммуникативный.
В ФГОС ООО определены требования к изучению предметной области «Математика и информатика».
В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях, овладевают математическими рассуждениями. Учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты, овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию, получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях.

ФГОС ООО

Математическое образование в основной школе складывается из следующих содержательных компонентов:
арифметика;
алгебра;
геометрия;
элементы комбинаторики;
теории вероятностей;
статистики и логики.

В своей совокупности они отражают богатый опыт обучения математике в нашей стране, учитывают современные тенденции отечественной и зарубежной школы и позволяют реализовать поставленные перед школьным образованием цели на информационно емком и практически значимом материале.

ФГОС ООО

Основной формой обучения в основной школе сегодня по-прежнему остаётся традиционный урок. Это объясняется тем, что большая часть учителей – педагоги, не один десяток лет проработавшие в школе, а значит, придерживающиеся традиционной классической методики обучения.
Обучение детей целеполаганию, формулированию темы и цели урока возможно через создание проблемной ситуации и ведение проблемного диалога.
Учитель, готовясь к уроку, только предполагает, по какому плану пройдёт урок. Главными же деятелями на уроке, в том числе на этапе планирования, становятся дети. Определившись с заданиями, которые могут быть выполнены учащимися на уроке, следует продумать формы организации практической деятельности учащихся.
Сегодня много говорится о проектной деятельности в образовательном процессе. Учебные проекты становятся тем инструментом, который позволит и поддерживать учебную мотивацию, и формировать у учащихся универсальные учебные действия.

Доказано педагогической практикой, что результативность обучения связана с мотивацией учения. А мотивация напрямую зависит от понимания значимости знаний. Учитель при проектировании урока должен отдавать предпочтение таким видам деятельности учащихся на уроке, которые бы моделировали жизненные ситуации.
Этап рефлексии на уроке при правильной его организации способствует формированию умения анализировать деятельности на уроке. В конце урока учащиеся отвечают на вопросы (тема урока, виды деятельности определяют содержание вопросов), что позволяет каждому учащемуся в случае необходимости восполнить пробелы в своих знаниях и закрепить пройденный материал.
Проектируя любой урок необходимо максимально использовать возможности главного средства обучения – учебника. Учебник в школе был и пока остаётся основным источником знаний. На этапе планирования урока учителю необходимо внимательно изучить, какие виды и типы заданий предлагают авторы учебника, на формирование каких УУД они направлены.

Первые самостоятельные работы по темам носят обучающий и корректирующий характер. С их помощью осуществляется оперативная обратная связь в обучении: фиксируются пробелы в знаниях учащихся, и своевременно организуется коррекционная работа по их устранению. Использование современных информационно-коммуникационных технологий позволяет увеличить объем предлагаемых заданий, активизирует познавательную деятельность учащихся, придает уроку эмоциональную окрашенность.
При закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков рекомендуется практиковать самостоятельную работу школьников. На уроках использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает речь, способность работать в быстром темпе. Также использовать комментированные упражнения, когда ученик объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает «опережать» возможные ошибки. Здесь отсутствует механическое списывание с доски, а имеет место процесс повторения. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

Методы преподавания

На заключительных уроках продолжается отработка навыков. С учащимся, которые усвоили обязательный уровень, организуется работа в парах, группах. Им предлагаются более сложные задачи. С остальными учащимися в это время отрабатываются алгоритмы решения простейших задач. С этой целью применяю разноуровневые задания, карточки-образцы. В качестве домашнего задания учащиеся готовят либо проект или презентацию.

Именно учитель математики закладывает у учеников основы логического и критического мышления, учит использовать умственный эксперимент, а также формирует у детей мышление, которое поможет им в будущем адаптироваться в современном информационном обществе. Учителя математики незаменимы в школе, а множество методик направлено на то, чтобы помочь им использовать в процессе обучения  новые приемы преподнесения материала, характерные для современной школы. 

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.Аристотель

Заключение