|
На доске пишет два уравнения:
1) x²=4
2) log2x=3.
Напоминает, что второе – простейшее
логарифмическое уравнение.
Вопрос 1: «Чем принципиально отличаются эти уравнения? Какое
действие "спрятано" во втором уравнении?»
Задание 1: Решите устно уравнение log_2 x = 3. Как вы проверили корень?
Вопрос 2: «Вспомните, при каких условиях существует
логарифм log_a b? Сформулируйте ограничения на основание a и число b».
Вопрос 3: «Что означает запись log_a f(x)? Какое условие должно выполняться для f(x)?»
Задание 2: Найдите область определения (ОДЗ) для
выражений:
а) log3(x-5)
б) log(x+1)4.
Вопрос 4: «Посмотрите на уравнение. Что общего в левой и правой
частях? (Основания логарифмов). Что можно предположить, если логарифмы с
одинаковым основанием равны?»
Вопрос 5 (проблемный): «Достаточно ли для решения записать
просто x² + 3x - 5 = 7 - 2x? Все ли корни этого квадратного уравнения будут
корнями исходного? Почему?»
Задание 3: Решите получившееся квадратное уравнение.
Вопрос 6: «Что произойдет, если мы подставим, например, x2 (отрицательный
корень) в исходное уравнение? В какие выражения он попадет?»
Вопрос 7: «Как гарантировать, что после потенцирования
мы не получим посторонние корни? Что нужно сделать обязательно?»
Задание 4: Запишите систему условий (ОДЗ) для исходного
уравнения.
Задание 5: Давайте решим уравнение полностью, соблюдая все этапы.
Кто сможет прокомментировать каждый шаг?
Вопрос 8: «Как удобнее решать систему: найти корни, а
потом проверить условия, или решить неравенства сначала?»
Задание 6 (в парах): Решите уравнения, оформив решение как образец:
1) log_5 (3x - 11) = log_5 (2x - 7)
2) log_0.5 (x+4) = log_0.5 (x²
- 6)
Вопрос 9: «Давайте сформулируем четкий алгоритм решения
уравнения вида log_a f(x) = log_a
g(x)».
Вопрос 10: «В чем была главная трудность сегодня? Почему
раньше мы решали log_2 x = 3 без
системы?»
Д/З: 1) Решить 3 уравнения на потенцирование. 2)*
Составить свое уравнение, у которого будет ровно один корень.
|
1. Устные ответы: «В первом уравнении переменная в степени, во втором –
под знаком логарифма. Логарифм – это показатель степени».
Решение: log2x=3 => x = 2³ = 8. Проверка: log28=3 – верно.
2. Устные и письменные
ответы:
Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Решение задания:
а) x - 5 > 0 => x > 5.
б) { x+1 > 0; x+1 ≠ 1; 4
> 0 } => { x > -1; x
≠ 0 }.
3. Устные ответы: «Основания одинаковые (2). Можно приравнять аргументы».
Решение квадратного уравнения:
x²
+ 3x - 5 = 7 - 2x
x²
+ 5x - 12 = 0
D
= 73, x1 = (-5 +
√73)/2, x2 = (-5 -
√73)/2.
4. Устные ответы: «При x2 выражение 7-2x будет положительным, но x²+3x-5 может
стать отрицательным. Нужно проверять, чтобы оба аргумента были >0».
Письменная запись на доске и в
тетрадях (правило):
log_a
f(x) = log_a g(x) <=> { f(x) = g(x),
{ f(x) > 0, g(x) > 0 (или проще: { f(x) = g(x) > 0 ).
5. Письменное решение
(образец):
Дано: log_2 (x² + 3x - 5) = log_2 (7 - 2x).
Решение:
1) Основания равны (2>0, 2≠1).
Переходим к системе:
{
x² + 3x - 5 = 7 - 2x, <br> { x² + 3x - 5 > 0, <br> {
7 - 2x > 0.
2) Упрощаем: x² + 5x -
12 = 0 => x1 =
(-5+√73)/2 ≈ 1.77, x2 =
(-5-√73)/2 ≈ -6.77.
3) Проверка условий (подстановка):
- Для x1: 7 - 2*1.77 > 0 – верно. (1.77)²+3*1.77-5 > 0 – верно.
- Для x2: 7 - 2*(-6.77) > 0 – верно. (-6.77)²+3*(-6.77)-5 = 45.8 - 20.31 - 5 > 0 – верно (но расчет приблизительный, важно
понять, что оба аргумента положительны).
Ответ: (-5 ± √73)/2.
6. Письменные ответы
(ожидаемые):
1) { 3x-11=2x-7; 3x-11>0 } => { x=4;
x>11/3 } => x=4 – подходит.
2) { x+4 = x²-6; x+4>0 } => {
x²-x-10=0; x>-4 } => x1=(1+√41)/2≈3.7 (подходит), x2=(1-√41)/2≈-2.7 (не подходит, т.к. > -4, но надо проверить
аргумент второго логарифма при подстановке)
7. Устные ответы (алгоритм):
1. Убедиться, что основания логарифмов
одинаковы и удовлетворяют условиям (a>0, a≠1).
2. Перейти к системе: приравнять аргументы И
потребовать, чтобы оба аргумента были положительны (f(x)>0,
g(x)>0).
3. Решить уравнение f(x)=g(x).
4. Из найденных корней выбрать те, которые
удовлетворяют неравенствам (удобно подстановкой проверить f(x)>0).
5. Записать ответ.
На вопрос 10: «Раньше аргумент был просто x, и из равенства x=2³ сразу следовало, что x>0. Теперь аргументы – сложные выражения».
|
Методика Трубина.docx
