Методика решения задач на кредиты

Задачи на кредиты

       В данной работе представлено подробное решение задач на вклады и кредиты. Предложены задачи для самостоятельного решения. Материал может быть использованы при проведении элективных курсов, а также для самостоятельного освоения учащимся методов решения экономических задач.

Решение задач

1.   Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 10 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.

Решение:

Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб. В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, к= 1 + , к = 1,1

По условию задачи необходимо найти наибольшее целое S, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 15 млн рублей.

1,4641S + 23,1 -S – 20 < 15

0,4641S < 11,7    S < 11,7 : 0,4641 

S < 117000 : 4641 

S < 25

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству – 25.

Первоначальный вклад составил 25 млн. руб.

Ответ: 25 млн. руб.

Решить самостоятельно

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. 

Ответ: 17 млн. руб.

2.   В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 630 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

Решение:

Пусть к= 1 + , а выплаты с февраля по июнь 2030 по 2031 годах составят Х млн. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг не меняется остается равным 630 тыс. рублей, а ежегодные выплаты составят 630(к – 1) тыс. руб.

По условию задачи в июле 2031 года долг выплачен полностью.

630к² – кХ – Х = 0

630к² – (к + 1)Х

Х =

Общий размер выплат составит: 2Х + 3·630(к – 1) = 2· + 1890к – 1890 =  + 1890к – 1890. Общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

 + 1890к – 1890 = 915  

1260к² + 1890к² + 1890к – 1890к – 1890 = 915к + 915

3150к^{2 –} 915к – 2805 = 0

210к^{2 –} 61к – 187 = 0

D = 160801= 401², к = 1,1 к < 0

r = 10%

Ответ: 10

Решить самостоятельно

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 900 тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 1925 тыс. рублей.

Ответ: 25%

3.  В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей;
- к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Решение:

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. Каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года рублей. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг не меняется и остается равным S тыс. рублей, а ежегодные выплаты составляют по 0,3S тыс. руб. Выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс. рублей

По условию задачи к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

1,69S – 777,4 = 0    1,69S = 777,4    S = 460

Значит первые три выплаты равны 460·0,3 = 138 тыс. руб., а последние две – по 338 тыс. руб. Общая сумма выплат: 3·138 + 2·338 = 1090 тыс. руб.

Ответ: 1090 тыс. руб.

Решить самостоятельно

В июле 2021 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2022, 2023 и 2024 годов долг остается равным S тыс. рублей;
- выплаты в 2025 и 2026 годах равны по 625 тыс. рублей;
- к июлю 2026 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Ответ: 1925 тыс. руб.

4.В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение:

Пусть S = 700 тысяч руб. сумма кредита, взятого на n = 10 лет. С 2026 года по 2030 год долг возрастает на r₁ =19% = 0,19, с 2031 года по 2035 год долг возрастает на r₂ = 16% = 0,16. За х₁, х₂, х₃, …, х₁₀ обозначим выплаты, т.к. в июле каждого года  долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Составим таблицу выплат:

Найдем сумму всех выплат:

  r₁· +  + r₁· + r₁· + r₁· + r₂· + r₂· + r₁·( 10 + 9 + 8 + 7 + 6) + r₂· (5 + 4 + 3 + 2 + 1) + 8· = r₁· + r₂· + S = 0,19·4S+ 0,16·1,5S + S = 0,76S + 0,24S + S = 2S.

2· 700000 = 1400000 руб.

Ответ: 1400000 руб.

Решить самостоятельно

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— со февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ:1400000 руб.

5. В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 долг возрастает на 11%;

- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2033 года долг должен быть погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?

Решение:

Пусть S руб. сумма кредита, взятого на n = 8 лет,.   С 2026 года по 2029 год долг возрастает на r₁ =15% = 0,15, с 2030 года по 2033 год долг возрастает на r₂ = 11% = 0,11. За х₁, х₂, х₃, …, х₈ обозначим выплаты, т.к. долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Составим таблицу выплат:

Найдем сумму всех выплат:

 r₁· +  + r₁· + r₁· + r₂· + r₂· + r₂· + r₁·( 8 + 7 + 6 + 5) + r₂· (4 + 3 + 2 + 1) + 8· = r₁· + r₂· + S = 0,15· + 0,11· + S. Сумма выплат по условию задачи составляет 650 тыс. рублей.

0,15· + 0,11· + S = 650000

0,15· + 0,11· + S = 650000

0,15·13S + 0,11·5S + 4S = 2600000

1,95 S + 0,55S + 4S = 2600000

6,5S = 2600000

S = 2600000: 6,5 = 26000000: 65 = 400000

Ответ: 400000 руб.

Решить самостоятельно

В июле 2026 года планируется взять кредит на 6 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2027, 2028 и 2029 долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

- в январе 2030, 2031 и 2032 долг возрастает на 15%;

- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

- к июлю 2032 года долг должен быть погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 930 тыс. рублей?

Ответ: 600 тыс. руб.

6. Планируется взять кредит в размере 300 тысяч на 6 лет. Условия его возврата таковы: – в течение первых трех лет долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года; – в течение следующих трех лет  долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; – долг в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к концу шестого года долг должен быть полностью погашен. Найдите значение 𝑟, если общая сумма выплат за все годы составит 435 тысяч рублей.

Решение:

Пусть S = 300 тысяч руб. сумма кредита, взятого на n = 6 лет, – ежегодный платеж. В течении первых трех лет долг возрастает на r%, в течении следующих трех лет долг возрастает на r₁ = 10% = 0,1. За х₁, х₂, х₃, …, х₆ обозначим выплаты, т.к. долг в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Составим таблицу выплат:

Найдем сумму всех выплат:

 r· + + r· + r· + r₁· + r₁· + r·(6 + 5 + 4) + r₁· (3 + 2 + 1) + 6· = r· + r₁· + S = r· + 0,1S+ S. Сумма выплат по условию задачи составляет 435 тыс. рублей.

2,5rS + 1,1 S = 435000

2,5r·300000 + 1,1·300000 = 435000

750000r = 435000 – 330000

r = 105000: 750000 = 105:750 = 0,14

Ответ: 14%

Решить самостоятельно

 В июле 2025 года планируется взять кредит 600тыс. на 6 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027 и 2028 долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030 и 2031 долг возрастает на r%;
- долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года долг должен быть погашен.
Найти r%, если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?

Ответ: 14

Критерии оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по профильной математике.

Скачано с www.znanio.ru