Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества

Открытый урок по алгебре и началам математического анализа в 10 классе по теме:

«Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

«Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто

знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика»

Галилео Галилей

 Вступительное слово учителя: «Дорогие друзья! Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия или столетия не поддаются решению. Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть. Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли. Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

Я начал наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек. На нашем уроке вы научитесь применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.

Учитель: Для начала давайте вспомним определения синуса, косинуса и тангенса угла α.

Ученик 1: Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α).

Ученик 2: Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α).

Ученик 3: Тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу (обозначается tg α).

Учитель: молодцы, отлично! В школе вы разучиваете тригонометрические формулы не для того, чтобы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы и косинусы, а для того, чтобы ваш мозг приобрел способность работать. Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. Для начала давайте поделимся на три команды. Первый ряд  – команда №1, второй ряд – команда №2, третий ряд – команда №3. На каждом столе лежит листок с заданиями, необходимо решить в течение 7 минут.

Задания:

1.     Основное тригонометрическое тождество

2.    

3.    

4.    

5.      через

6.    

7.    

Ответы:

1.

2.

3.

4.

5.

6. 1

7. -1

Учитель: превосходно, давайте перейдем к решению тригонометрических тождеств. В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. 

Способы доказательства тождеств

1.     Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.

2.     Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.

3.     Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

4.     Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Учитель: давайте проведем разминку: Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов. Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (-1080) градусов.

Учитель: Рассмотрим первый пример ….

…

Учитель: Это интересно! 

Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на слайде). Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.

Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,

безымянный № 1 – соответствует 30,

средний № 2 – соответствует 45,

указательный № 3 – соответствует 60,

большой № 4 – соответствует 90.

Учитель: Итак, подведем итоги урока.

Какова была тема урока? (Тема урока «Основные тригонометрические тождества)

Какие формулы использовались при доказательстве тождеств? (формулы сокращенного умножения и 6 тригонометрических тождеств)

Учитель: Ребята, для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sin α, cos α, tg α, ctg α,соотношение sin²α+ cos²α =1 и т.д.