Поделиться
Экстрем по произв..pptx
Экстремумы функции.
Для существования экстремумов необходимо выполнение двух условий:
Существование критический точек.
Смена знака производной при переходе через критическую точку.
Определение. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует называются критическими.
Среди этих точек могут быть точки максимума(max) и минимума (min), которые называются точками экстремума
(Xmaxи Xmin). Значения функции в этих точках называют экстремумами функции и обозначают fmax (Xmax) и fmin (Xmin).
Если знак производной меняется с
(+ ) на (- ) – это точка max,
если знак производной меняется с
(- ) на (+ ) – это точка min.
0
0
min
max
min
min
max
![Укажите точку а) минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной; б) максимума](https://fs.znanio.ru/d5af0e/a7/67/f78bfaf7df6431d82965328fa3e5d4b3b9.jpg)
Укажите точку а) минимума функции y = f (x), заданной на отрезке [-6;4], если на рисунке изображён график её производной; б) максимума.
-6
4
-2
Ответ: а) -2; б)-5.
0
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6].
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 либо не существует.
Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак или с «+» на «–», или с «–» на «+».
Ответ: 3.
+
–
–
+
у = f ′(x)
Решение:
На интервале (–4; 8) производная в точке
х = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+». Точка х=4 является точкой экстремума функции на заданном интервале.
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).
.
Ответ: 4.
–
+
у = f ′(x)
.
На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11).
Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
у
х
у = f ′(x)
0
Решение:
В точке экстремума производная функции
равна 0 или не существует. Таких точек
принадлежащих отрезку [−10; 10] пять.
В точках х2 и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.
–
+
–
+
–
+
х1
х2
х3
х4
х5
max
max
Ответ: 2.
f(x)
–10
10
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение:
Точки экстремума – это точки минимума и максимума.
Таких точек, принадлежащих промежутку (–8; 6), пять: -6; -4; -2; 2; 4.
Найдем сумму их абсцисс:
-6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.
Ответ: 6.
у = f ′(x)
Производная функции в точке х0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х0, горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи — приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.
Теоретические сведения.
Решение.
если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.
Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.
Ответ: 7.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x) на отрезке [-6; 4].
На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.
Решение.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
Ответ: -3.
-3
+
-
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f (x) .
Решите устно!
1
3
4
2
В точке минимума производная функции равна нулю либо не существует.
Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5; 4,5; 6,5. При этом в точке 4,5 производная слева отрицательна, а справа положительна, значит, это точка минимума. В точках -1,5 и 6,5 производная меняет знак с «+» на «—» это точки максимума.
Решение.
Ответ: 1 .
4,5
-
+
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [a; b].
Ответ: 3 .
a
b
a
b
-
+
Решение.
Условие выполняется в точках: -1; 8; 13.
1
Решение аналогично.
2
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3; 10 ].
Ответ: 4 .
1
2
Прямая проходит через начало координат и касается
графика функции y = f(x). Найдите производную
в точке х = 4. Укажите координаты точки касания,
т. min и т. max.
Ответ::::
Производная функции в точке
х = 4 – это производная в точке касания хо, а она равна угловому коэффициенту касательной.
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.
Решите устно!
1
3
4
2
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 8.
Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.
Ответ: 5.
На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с.
1
3
4
2
Решите устно!
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x) на отрезке [-6; 4].
На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.
Решение.
Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.
Ответ: -3.
-3
+
-
На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3; 10 ].
Ответ: 4 .
1
2
На рисунке изображен график производной функции, определенной на промежутке (-8;4). В какой точке на отрезке [-7; -3] функция принимает наименьшее значение. ( отв.-7)
Функция определена на промежутке ( -6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
На рисунке изображён график функции — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
![Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке [1; 7]](https://fs.znanio.ru/d5af0e/a6/8d/ef88625eca27d94783f876f28c93b67550.jpg)
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке [1; 7].
А)
Б)
В)
Г)
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ |
1) Функция имеет точку максимума на отрезке [1; 7] |
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:
На отрезке [–8; –4]
производная функции
отрицательна, значит, сама функция убывает, а
наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом
конце отрезка, то есть в точке –4.
Ответ: –4.
№3
–
у = f ′(x)
f(x)
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите сумму точек экстремума функции f(x),.
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите количество точек минимума функции на отрезке
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
На рисунке изображён график производной функции определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−4; 8].
На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).
![Функция y = f ( x ) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]](https://fs.znanio.ru/d5af0e/31/e4/e22a458c3eadf6ffe8732f66e4f802e25c.jpg)
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
На рисунке изображен график функции — производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Функция y = f(x) определена на промежутке (−6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
