Натуральные числа. Задачи повышенного уровня сложности

Листок 1 Основные идеи: Натуральные числа 1.Если в одной части равенства расположено четное число (целое число, положительное число), а в другой части равенства – нечетное число (дробное, отрицательное), то такое равенство невозможно. 2.Если в одной части равенства расположено число нацело делящееся на одно из простых чисел, а в другом нет, то такое равенство невозможно. 3. Любое число можно разложить на простые множители и причем единственным способом. Примеры: 1. Какой цифрой оканчивается разность  ? 43  43 17 17 2. Докажите, что число   делится нацело на 9. 264  3 123 3 3. Можно ли разменять 25 руб на рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры так, чтобы получилось 10 купюр. 4. Число а и в целые. Известно, сто а+в=100. Может ли сумма 7а+3в быть равной 627? 5. По кругу выписаны 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседних чисел. Докажите, что сумма всех чисел равна 0. 6. Даны 25 чисел. Сумма любых 13 из них положительна. Докажите, что среди них всегда найдутся 13 положительных чисел. Самостоятельное решение. 1. Определите,   сколько   существует   трехзначных   чисел,   у   которых   цифры   увеличиваются слева на право, а произведение всех цифр делится на 81. 2. К   данному   трехзначному   числу   припишем   это   же   число.   Докажите,   что   получившееся шестизначное число делится на 7, 11, 13. 3. Дана последовательность 1, 2, 3,…196, 197. Расставьте знаки «+» и «­« так, чтобы получить наименьшее натуральное число. 4. Можно ли число 1771 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так чтобы и произведение этих чисел было равно 1771? 5. Можно   ли   расставить   по   кругу   все   целые   числа   от   ­7   до   7,   чтобы   у   каждого   числа произведение двух его соседей было неотрицательным? 6. Найдите наименьшее к, чтобы произведение чисел от 2 до к делилось бы на 1992. 7. Вычислите с=1+11+111+1111+…+111….111, где в последнем слагаемом две тыс единиц.  8. Число   7   возведено   в   7   степень.   Полученное   число   снова   возведено   в   7   степень   и   т.д. Возведение   повторено   1000   раз.   Определите,   какой   цифрой   оканчивается   полученное число . 9. Существует   ли   такое   натуральное   число,   которое   при   умножении   на   2   становится квадратом, после умножения на 3 кубом, после умножения на 5 пятой степенью, на 7 – седьмой степенью целого числа? 10.Найдите все натуральные числа n , для которых числа n­5, n+9, n+11 простые.