Министерство образования и науки
Министерство образования и науки Республики Башкортостан ГАУ ДПО Институт развития образования Республики Башкортостан Конкурс исследовательских работ в рамках Малой академии наук Школьников Республики Башкортостан Секция: “Прорыв в науку”
Тема научно-исследовательской работы
Решение иррациональных уравнений
Ибрагимова Алина Наильевна
Учащаяся 10 «А» класса Муниципального Бюджетного общеобразовательного учреждения
Средняя общеобразовательная школа №2
Научный руководитель : Прокаева Светлана Ивановна
Учитель математики
Гипотеза исследования- выбор рационального способа решения является эффективным методом решения иррационального уравнения
Гипотеза исследования- выбор рационального способа решения является эффективным методом решения иррационального уравнения
Цель: рассмотреть несколько методов решения одного иррационального уравнения
Задачи: Показать, что иррациональные уравнения можно решить различными способами
Актуальность работы заключается в том, что решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче, а какой эффективнее, что позволяет успешно решать иррациональные уравнения различными способами.
Интерес к этой теме возник у меня совершенно случайно. Однажды, на одном из уроков математики нам предложили перечень иррациональных уравнений, и мы должны были к каждому подобрать свой способ решения. Должна отметить, что тема "Иррациональные уравнения" не вызывали у меня особых трудностей при изучении, но на этом уроке я поняла, что некоторые уравнения ставят меня в тупик. Например, уравнения, которые решаются с помощью введения новых переменных. Видя, как я увлеклась этой работой, наш учитель предложила мне обобщить эту тему и представить полный перечень методов решения иррациональных уравнений.
Способ 1. Метод пристального взгляда (устно )
Способ 1. Метод пристального взгляда (устно).
Вывод: Решая уравнение методом пристального взгляда не нужно вести запись, отсутствует словесное описание. Данный метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений.
Ответ: 5, 8.
Способ 2. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой
, возведем обе части уравнения в квадрат:
приведем подобные слагаемые:
разделим обе части уравнения на 2:
возведем обе части уравнения в квадрат:
перенесем правую часть уравнения влево и приведем подобные слагаемые:
Пример: Решить иррациональное уравнение
Проверка: 1) Значит, число 5 является корнем уравнения
решим квадратное уравнение:
Проверка: 1)
Значит, число 5 является корнем уравнения.
2)
Значит, число 8 является корнем уравнения.
Уравнение имеет два решения 5 и 8.
Ответ: 5, 8.
Вывод: При решении уравнений данным методом необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.
Способ 3. Метод равносильных преобразований
По теореме Виета: Ответ: 5; 8.
По теореме Виета:
Ответ: 5; 8.
Вывод: При решении уравнений данным методом нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
Способ 4. Функционально графический метод
Рассмотрим функции
и
1)
- степенная функция.
2)
степенная функция.
Вывод: функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ
x | 4 | 5 | 8 | 13 | x | -1/3 | 0 | 1 | 5 | 8 | ||
y | 3 | 4 | 5 | 6 | y | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | ||
| ||||||||||||
.
Cоставим таблицу значений.
Способ 5. Метод введения новых переменных
Способ 5. Метод введения новых переменных.
Введем новые переменные, обозначив
Получим первое уравнение системы:
Составим второе уравнение системы:
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:
По теореме Виета:
Вернемся к переменной х: Ответ: 5;8
Вернемся к переменной х:
Ответ: 5;8.
Вывод: Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.
Заключение: Решение одной и той же задачи различными методами дает возможность полнее исследовать все методы решения иррациональных уравнений и выявить наиболее простое и рациональное решение
Заключение: Решение одной и той же задачи различными методами дает возможность полнее исследовать все методы решения иррациональных уравнений и выявить наиболее простое и рациональное решение. Считаю, что задачи, которые поставил перед собой при выполнении работы, достигнуты, так как предложенные в данной работе методы решения иррациональных уравнений позволяют значительно упростить решения различных уравнений, т.е. применить тот метод, который является рациональным для каждого уравнения.
Литература 1. Газета «Первое сентября» №1 - 2005 года
Литература
1. Газета «Первое сентября» №1 - 2005 года.
2. Газета «Первое сентября» №6 – 2005 года.
3. Учебник «Алгебра и начала математического анализа», 10-11 класс. Под редакцией Мордкович А.Г.
4. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» №6 – 1998 года.
5. Квант: научно-популярный журнал №7 – 1997 года.
6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математик: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1989г.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
