Научно – практическая работа « Методы и приемы решения задач на движение».

Абстракт:     Научно – практическая работа написана на тему: « Методы и приемы  решения задач на движение». Объектом исследования данной работы являются сами задачи. Предметом исследования ­ методы и приемы решения задач. Целью работы является попытка выявить особенности содержания и  основных функций задач путем их решения. Для достижения поставленной цели требуется решение ряда задач: 1. определить технологию отбора задач и классифицировать их; 2. рассмотреть решение задач с помощью различных методов и  приемов; 3. выявить особенности решения нестандартных задач. Работа состоит из двух глав, обоснования, введения, заключения, списка  используемой литературы. Исследование проводится  методом   сопоставительного анализа,  который используется при определении вида задачи, методы наблюдения. В работе используются приемы классификации и систематизации,  элементы анализа. Актуальность данной работы в том, что в последние годы на уроках  математики и смежных дисциплин при выполнении практических работ, при  решении задач все в большей степени используются различные диаграммы,  таблицы, схемы, расчеты, формулы и т.д. Возникают трудности логического  характера, требующие от учащихся решения разных вопросов «с позиции  здравого смысла». От уровня математической подготовки учащихся все в  большей степени зависит успешное усвоение смежных дисциплин.    1Аннотация научного проекта, написанного на тему: «Методы и приемы решения задач на движение». Целью исследования стала попытка выявить особенности содержания и  основных функций  задач путем их решения. Новизна исследования в том, что в данной работе рассматриваются  всевозможные методы и приемы решения задач «на движение» различного  уровня: алгоритмические, полуалгоритмические, эвристические. Ученица, используя метод вычленения и наблюдения, метод  сопоставительного анализа, рассмотрела способы решения задач, проделав  предварительную работу по их отбору и классификации. Проведенные исследования помогают автору приобрести новые знания,  умения  и навыки при работе с задачами и справочной литературой. Отмечается хорошее знание автором учебного материала, умение решать  нестандартные задачи, проводить анализ их решения. Работа выполнена грамотно с соблюдением всех необходимых требований. 2Введение. О технологии отбора задач на уроке. По содержанию и выполняемым функциям разделим задачи  школьного курса математики на три группы: 1. Задачи, связанные с применением алгоритмов, правил, их  применением и поиском. 2. Задачи, проверяющие уровни математической подготовки  учащихся (минимальный, продвинутый, творческий). 3. Задачи, с помощью которых отрабатываются и закрепляются  сформированные математические умения и навыки. По уровню трудности задачи бывают: Алгоритмические; Полуалгоритмические; Эвристические. Задачи алгоритмического характера можно условно разделить на  группы:  правилу;  Задачи, которые решаются по определённой схеме,  Задачи обязательного уровня. ( Предполагается, что  задачи этого уровня определяют минимум знаний, который  должны получить все учащиеся, и нижнюю границу результатов  математического образования);  Задачи, с помощью которых осуществляется первичное закрепление теоретического материала и соответствующих  умений учащихся. Задачи полуалгоритмического характера занимают  промежуточное положение между задачами алгоритмического и  эвристического характера. Их тоже разделим на три группы: Задачи, в которых требуется отступить от заданной схемы,  правила, алгоритма;   Задачи продвинутого уровня по сравнению с уровнем  обязательной подготовки учащихся; 3 Задачи, в которых отрабатываются умения и навыки  учащихся, сформированные при изучении темы. Эти задачи могут быть  распределены по всему школьному курсу математики. Задачи эвристического характера предполагают творческий поиск  учащихся. Попытаемся их разделить на  соответствующие группы: Задачи, в которых предполагается поиск правила, схемы; Задачи повышенной трудности, олимпиадные задачи; Нестандартные задачи, которые предлагаются учащимся при  изучении любой темы школьного курса математики. Таким образом, на уроках математики необходимо решать задачи из  каждой описанной группы. Это позволит, с одной стороны, реализовать  дифференцированный подход в обучении учащихся, а с другой, учесть  особенности содержания и разнообразные функции математических задач. Из каких же этапов состоит процесс решения задачи? Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1 этап – анализ задачи; 2 этап – схематическая запись решения задачи; 3 этап – поиск способа решения; 4 этап ­ осуществление решения задачи; 5 этап – проверка решения задачи; 6 этап – исследование ответа задачи; 7 этап – формулирование ответа задачи; 8 этап – анализ решения задачи. Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения  задач, как о сложном многоплановом процессе.                       Схема решения задач. 4Схемати ческая  запись  задачи Задача Анализ задачи Поиск способа решения План решения Анализ решения Осуществление плана  решения Исследование  задачи Проверка Ответ Глава 1. Методы и приёмы решения учебных задач « на движение». Общий приём решения «задачи на движение» с помощью уравнения. Характеристика приёма.  Практически все «задачи на движение» можно отнести к так называемым  задачам «на процессы», которые решаются по следующему правилу: Изучить содержание задачи. Здесь необходимо выявить: 1. Название величин, содержащихся в задаче и определяющих  конкретный процесс; Функциональные связи и основные соотношения между ними; Количество различных процессов в задаче; 5Известные и неизвестные величины для каждого процесса и связи  между ними; Полученные данные оформить, если это удобно в виде таблицы. 2. В зависимости от данных, полученных при изучении  содержания задачи, выбрать величину, которую удобно принять за  неизвестное, и ввести её обозначение. 3. 4. Выразить все величины в задаче через неизвестные и данные. Используя основное отношение и найденные зависимости  между величинами, установить равенство или неравенство однородных  величин и записать на этой основе уравнение. 5. 6. 7. 8. Решить полученное уравнение. Вычислить значение искомой величины. Выполнить, если нужно, проверку и исследование. Записать ответ. Замечание. В зависимости от выбора величины, которая принимается за неизвестную,  может получиться уравнение большей или меньшей степени сложности, что  будет влиять на ход решения задачи. Поэтому стоит попытаться выбрать за  неизвестную и другие величины. Задача. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу из двух посёлков.  Расстояние между которыми 76 километров. Через 2 часа они встретились.  Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного  из них на 3 километра в час меньше скорости другого? Решение. 1. Оформим данные, полученные при изучении условия  задачи в виде таблицы. В задаче присутствуют два процесса:  движение I велосипедиста и движение II велосипедиста. Основное  соотношение между величинами: S = vt. Величина                         Скорость движения, км/ч (v) Время движения, ч ( t ) Пройденный путь, км (s) II Велосипедист I     ?         < ? на 3 2              2 ?         + ? = 76 2. 3. Пусть х км/ч – скорость первого велосипедиста. Выразим другие неизвестные. Велосипедист Величина 6Скорость движения, км/ч (v) Время движения, ч (t) Пройденный путь, км (S) I II х   <       х+3 2           2 2х+2(х+3)=76 4.Третья строка таблицы даёт нам уравнение: 2х+2(х+3)=76. 5. Получим х=17,5. 6. 17,5 км/ч – скорость I велосипедиста, 20,5 км/ч – скорость II  велосипедиста. 7.Ответ: 17,5 км/ч, 20,5 км/ч. Рассмотрим ситуацию, когда за неизвестную выбирается другая величина.  Пусть теперь х км – расстояние, пройденное первым велосипедиста до встречи со вторым. Тогда стратегия поиска изменится, и мы получим уравнение: (х/2  +3)2=76­х. Величина Скорость движения, км/ч (v) Время движения, ч. (t) Пройденный путь, км (S) II Велосипедист I х/2   <    х/2 +3 2              2 х       <    76­х Решив данное уравнение, найдём пройденный путь, а затем скорость  каждого велосипедиста. Выводы. На основании проведенной характеристики общего приема решения  «задачи на движение» с помощью уравнения можно сделать вывод: схема –  важнейший элемент решения задачи. Схемы, символы, таблицы позволяют более качественно подойти к  решению задачи, упрощают ее осмысление, стратегию поиска решения по  установлению функциональных связей и основных соотношений между  величинами. По данной схеме решаются многие «задачи на движение». 7Глава 2. Нестандартные задачи. Нестандартные задачи ­ это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их  решения. 8Рассмотрим примеры решения таких задач, с тем, чтобы выяснить  особенности  процесса их решения. Задача. Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 часов.  Однако после 2 часов пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате  опоздали на турбазу на 30 минут. С какой скоростью шли туристы  первоначально? Решение. Эта задача является практической (текстовой). Для подобных задач  никакого общего правила, определяющего точную программу их решения, не  существует. Однако это не значит, что вообще нет каких­то общих указаний  для решения таких задач. Покажем, как эти указания практически  используются. Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через х км/ч.  Тогда за 6 часов. За которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до  турбазы, они прошли за 6х км. Фактически этот путь они прошли следующим  образом:  2 часа они прошли с первоначальной скоростью, а затем ещё 4,5 км/ч (ибо  они опаздывали на 0,5 ч к сроку) с уменьшенной скоростью (х­0,5) км/ч.  Следовательно, они прошли 2х км и 4,5(х­0,5) км, а всего, 2х+4,5(х­0,5)  км, что равно расстоянию от реки до турбазы, то есть 6х км. Получаем  уравнение: 2х+4,5(х­0,5)=6х. Решив это уравнение, найдём х=4,5. Значит,  первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч. Проанализируем процесс приведённого решения задачи. Сначала мы  определили вид задачи («текстовая задача»), и, исходя из этого, возникла идея  решения («составить уравнение»). Для этого, пользуясь  общими указаниями и  образцами решения подобных задач, полученных в школьном курсе  математики («надо обозначить одно из неизвестных буквой, например х и  выразить остальные неизвестные через х, затем составить равенство из  полученных выражений»), мы построили уравнение.  Заметим, что эти указания, которыми мы пользовались, не являются  правилами, ибо в них ничего не сказано, какое из неизвестных обозначить через х, как выразить остальные неизвестные через х, как получить нужное равенство и так далее. Все это делается каждый раз по­своему, исходя из условий задачи  и приобретенного опыта решения подобных задач.  Полученное уравнение представляет собой уже стандартную задачу.  Решив, ее мы тем самым решим и исходную нестандартную задачу. 9Таким образом, смысл процесса решения данной задачи состоит в том, что с помощью особого приема (составление уравнения) мы свели ее  решение к  решению эквивалентной стандартной задачи. Нестандартные (олимпиадные) задачи. В подборе задач в какой­то мере реализованы два, казалось бы, взаимно  исключающих требования: нестандартность отдельно взятых упражнений и  целенаправленный подбор всей системы заданий как единого целого. Во  многих случаях классификация выполнена не по «типам задач», а, прежде  всего по «типам рассуждения». Актуальность такой постановки вопроса несомненна. При этом мы имеем  в виду и то, что в последние годы на уроках смежных дисциплин и при  выполнении в школе практических работ все в большей степени используются  различные диаграммы, таблицы, схемы, расчеты, формулы и прочее. От уровня математической подготовки школьников, их логического мышления все  больше и больше зависит успешное усвоение смежных учебных дисциплин. Рассмотрим решение нескольких олимпиадных задач. Задача №1. Волк и Заяц участвуют в соревнованиях по бегу на стадионе. Если они  побегут в одну сторону, то Заяц будет обгонять Волка каждые 2 минуты.  Однако во время старта Волк  все перепутал и побежал в обратную сторону.  При этом через 1 минуту Волк налетел на Зайца, который бежал правильно. Во  сколько раз Заяц бежит быстрее Волка? Решение. На стадионе бегать удобнее, чем по улице. Но вот задачи по математике  решать гораздо приятнее, если «две точки бегут по прямой». Поэтому  поступим так: возьмем план стадиона, по которому бегут Волк и Заяц, и будем считать, что беговая дорожка на плане изображается линией. Теперь разорвем  эту дорожку – линию в точке старта и «распрямим ее».                                             V                                      10v                                                                                A=B                                                                                               V                                                                                       v                                                           L                    A                                                                                     B В результате трасса забега изобразится в виде линии. Правда, точке старта будут соответствовать две точки на этой прямой, концы отрезка АВ. Однако  это дает нам «дополнительные удобства». Если Заяц и Волк побегут в одну сторону, то Заяц в первый раз догонит  Волка тогда, когда обгонит последнего на круг. Поэтому на «распрямленной  прямой» мы поставим Зайца в точку А, а Волка в точку В и пустим бежать  Зайца за Волком. Если же Волк и Заяц бегут навстречу друг другу по кругу стадиона, то на  прямой они также будут бежать на встречу друг другу из точек А и В  соответственно.                                                                                 V          v                                                        A=B              V                                                                                          v                                                               L      A                                                                                                           B       Обозначим длину беговой дорожки через L, а скорость Зайца и Волка  через V и v соответственно, тогда: (V+v)*1=L и (V­v)*2=L. Отсюда V=3v, то  есть Заяц бежит в 3 раза быстрее Волка. 11Задача №2. Путешественник выходит из гостиницы в 3 часа дня и возвращается по той же дороге в 9 часов вечера. На протяжении маршрута есть спуски, подъемы,  прямолинейные участки. Скорость путешественника под гору равна 6 км/ч, в гору – 3 км/ч, по  ровной дороге – 4км/ч. Найти расстояние, пройденное путешественником с  момента выхода из гостиницы до момента возвращения. Решение. ВЫШЕЛ В 3ЧАСА ДНЯ.        ВЕРНУЛСЯ В 9 ЧАСОВ ВЕЧЕРА.                                 6км/ч 3км/ч                                                                                        4км/ч   А                                               S ­ ?                                                          B        Так как путешественник возвращается по той же дороге, то участок в гору на обратном пути идет под гору наоборот. Поэтому средняя скорость  прохождения гористого участка равна:  ____1_____                                                                   (1/3+1/6):2            = 4 (км/ч), то есть как по ровной дороге. Итак, турист прошел      4 (9­3) = 24 (км). Задача №3. Электропоезд длиной 18 м проезжает мимо километрового столба за 9 с.  Сколько времени ему понадобиться, чтобы проехать мост длиной 36 м.  Решение. Полезно нарисовать чертеж, поясняющий, каким образом поезд проезжает, мост. 12А                                                                                                                       В                      36 м.             +                 18 м.                                                                                                                                                                                           18м. – за 9 с. Мост 36 м. – за ? с.   Довести до понимания учащихся, что поезд должен проехать 54 м = 36 м+  18 м. (длина моста + длина поезда). Теперь ясно, что потребуется 9*3=27 (с). 13Выводы. Приведенные примеры показывают, что процесс решения любой  нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных  операций:  1. сведение (путем преобразования или переформулирования)  нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной  задаче; 2. разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных  подзадач. В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо  одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти  операции приходится использовать многократно. Методы решения нестандартных задач. 14Расчленение на стандартные или более простые задачи с помощью разбиения на части. 1) условий задачи; 2) объекта задачи; 3) требований задачи; 2.Замена данной задачи, ей равносильной с помощью: 2) замена переменных  (неизвестных); 3) замена (кодирования)  объектов другими; 3. Введение вспомогательных элементов для: 11111111 151)преобразования условия; 1) сближения данных и искомых; 2) расчленение задачи на части; 3) придания задаче определенности. Хотя, общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому­то  эти задачи и называются нестандартными), и нет каких­то общих правил  использования операций по сведению решения нестандартных задач к решению  стандартных, однако многие выдающиеся математики и педагоги нашли ряд  общих указаний и рекомендаций, которыми следует руководствоваться при  решении нестандартных задач. Эти указания обычно называют эвристическими  правилами или, короче – эвристиками. Слово «эвристика» от греческого  происхождения и означает «искусство нахождения истины».  16Заключение. Чтобы научиться решать задачи надо: Во – первых, надо научиться анализировать сами задачи. Это значит, что  нужно уметь расчленять задачу на элементарные условия и требования. А в  каждом элементарном условии видеть объект и его характеристику: если же  объектов в условии несколько, то выяснить их отношение (связь). Нужно так  же установить характер каждого требования (вопроса) и тем самым  определить вид задачи. Полезно придерживаться правила: пока не произведен полный, глубокий  анализ задачи, не построена, если нужно, ее схематическая запись, не  приступать к самому решению. Поспешность в решении задачи вредна!  Во – вторых, надо хорошо понять, что решение любой задачи есть  последовательное применение каких­то знаний (главным образом  математических) к условиям данной задачи, получение тем самым из этих  условий следствий (промежуточных решений) до тех пор, пока не получим  такие следствия, которые являются ответами на требования (вопросы) задачи. В – третьих, надо уметь использовать основные методы решения задач. А  их всего лишь три:    разбиение задачи на подзадачи; преобразование (моделирование) задачи; метод вспомогательных элементов. 17Может случиться (хотя и редко), что ни один из указанных методов не  приводит к решению задачи. Что ж, тогда надо искать какой­то особый прием, потому что решение задачи подобно изобретению.                      Список использованной литературы. 1. И. Х. Сивашинский «Задачи по математике для внеклассных занятий» ­  Москва, 1988г. 2. В.С. Крамор «О совершенствовании методов обучения математике» ­  Москва, 1978г. 3. Л. М. Фридман «Учитесь учиться математике» ­ Москва, 1985г. 4. Ю. М. Колягин «Учись решать задачи» ­ Москва, 1990г. 5. Газета «Математика» № 42,46,33 1999г. , №1 1998г. 6. 7. Л.М. Фридман «Как научиться решать задачи» ­ Москва, 1989г.   Б. М. Абдрашитов «Учитесь мыслить нестандартно» ­ Москва, 1996г. 18Содержание: 1. Абстракт…………………………………………………………………1 2. Аннотация……………………………………………………………….2 3.Введение………………………………………………………………… 3­4 4. Глава 1……………………………………………………………………5­6 5.Выводы……………………………………………………………………7 6. Глава 2…………………………………………………………………….8­10 7.Выводы……………………………………………………………………13 8.Заключение……………………………………………………………….15 9.Список используемой литературы………………………………………16 19