Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9 класс)
Оценка 4.7

Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9 класс)

Оценка 4.7
Исследовательские работы +2
docx
математика
8 кл—9 кл
01.04.2017
Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9  класс)
Публикация является частью публикации:
Брошюра.docx

Сборник

 

«Софизмы из наших школьных тетрадей»

 

http://matemonline.com/wp-content/uploads/2011/10/sofizm_matematika.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнили: Шеметова  Анастасия,

 Глазунова Екатерина,

 ученицы 8Б  класса,

МБОУ «СОШ №18».

Г.  Миасс

Челябинская область

 

 

 

 

 

 

http://rpp.nashaucheba.ru/pars_docs/refs/47/46973/img1.jpg

 

 

 

 

 

 

http://images.myshared.ru/4/107552/slide_8.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

Арифметические софизмы

Софизм

Ошибка

 

1.« Дважды два - пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5. 

 

 

Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания:  

  ав + ас = а(в + с).

 

 

2. Верно ли равенство 7=8?

35+14-49=40+16-56

7(5+2-7)=8(5+2-7)

Следовательно, 7=8

 

 

Обе части равенства разделили на (5+2-7), но нарушено правило, что на "0" делить нельзя (5+2-7=0)

 

3Некто утверждал, что

45-45=45.

Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

 

 

9+8+7+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+8+9

8+6+4+1+9+7+5+3+2

Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить,

8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.

Итак, 45-45=45».

 

 

  Ошибка состоит в том, что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

 

 

4. «Меньшее число больше, чем большее».

Очевидно, что7>5 и что

 -8=-8

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величинах, на основании которого мы считаем меньшей ту  отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим

 (-1)* (-4)>(-3)*(-4)

 или 4>12

 

 

Где ошибка?

Разбор софизма:

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

 

 

Алгебраические софизмы

 

1.      Выполнить действия:

 - 10 ×  =

=11 – 10  ×  =

 =  = 0,8

 

Неправильный   порядок действий:

 - 10 ×  =

=11 – 10  ×  =

=11 - 10  =

=11 - 10 =

=11 – 10 ×0,8 = 11 – 8 = 3

 

 

2.      Выполнить вычитание дробей:

 

 -  =

 

= -   = =

 

 

Нарушение правил приведения дробей к общему знаменателю:

 

   -   = 

 =   =

= =

  =

 

 

3.      Сократить дробь:

 

 

 

 

 

 

Нарушение правил сокращения дробей: 

 

 

4.      Решить уравнение:

  +  =  x2

ОДЗ: все числа, кроме 2.

 -  = x2

 Умножим обе части уравнение на x-2

2-3x-2=x2(x-2)

Разложили на множители квадратный трёхчлен

 2-3x-2=2(x-2) (x+ )=

= (x-2) (2x+1)

(x-2) (2x+1)=x2 (x-2)

Разделим обе части уравнения на x-2,получим

2x+1=x2

х2 -2x -1 =0

Д=4+4=8

х1= ==

= 1+

х2=1-

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1-; 1+.

 

 

 

 

 

  При делении уравнения

 (x-2)(2x+1)=x2 (x-2) , на x-2произошла потеря корня

Верное решение:

x2 (x-2) – (x-2) (2x+1)=0

(x-2) (x2-2x-1)=0

x-2=0 или x2 -2x -1=0

x=2 или x1=1+ и x2 = 1- 

Уравнение имеет три корня: 2;

1+; 1-.

Но 2 - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1+; 1- .

 

 

5.      Вычислить:

 

  =  =

= 66 = 46656

 

 

 

  *  

Правило: при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются, а основание остаётся прежним.

 

6.       «Отрицательное число больше положительного».

 Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

                     

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

          

 

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а > - с, следовательно, должно быть –а > с, т.е. отрицательное число больше положительного.

 

 Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

 

 

 

6. «Любое число равно нулю»


Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: 
х = а + а + а + а+… .
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как 
х = а + (а + а + а +….)
в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма
бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что
х = а + х, откуда заключаем, что 
а=0 

  
Ошибка допущена в равенстве (1) , в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х. 

 

 

 

7.      « Если одно число больше другого, то эти числа равны»

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что m > n , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т.е. а+b+c=d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на m, получим:

ma  + mb + mc = md,
na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства: 

ma + mb + mc = md  и

 nd = na + nb + nc

 получим:     ma + mb + mc + nd = na + nc + nb + md.

Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем

ma + mb + mc – md = na + nb + nc - nd.
Вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m (a + b + c - d) = n (a + b + c - d).

Разделив обе части последнего равенства на (a + b + c - d), находим, что m = n.

 

 

 

 

a + b + cd =0,

на ноль делить нельзя.

 

8.      Решим систему двух уравнений:

                                                             

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда

                                                               8=6

 

 

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:                                 

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые  у = 3 - и у = 4 - параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

 

 

 

9.      « Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что   a > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство:

 ab > b·b,

 а отняв от обеих его частей a·a, получим неравенство:

 ab-a·a > b·b - a·a,

 которое равносильно следующему:

                                           a(b-a) > (b+a)(b-a).   (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на b-a получим, что

                                          a > b+a  (2),

Прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство a> b, имеем

2a >2b+a,

откуда  a > 2b.

 Итак, если a > b, то a > 2b.

 

 

Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2).

Т.к. a > b, то ba < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на  ba, мы должны поменять знак неравенства на противопо- ложный.

 

 

10.Меньшее число больше, чем большее.»

Очевидно,что7>5 и что -8=-8

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величинах, на основании которого мы считаем меньшей ту  отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим (-1)∙ (-4)>(-3)*

*(-4) или 4>12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

 

 

 

11.Упростить выражение:

 

 = =

= =2-

 

 

 

= çх ç

 

  При вычислении квадратного корня  2- < 0

 

  = =

 

= =ç2- ç= - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрические софизмы

1.      Решить задачу:

 В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 150º, сторона АС  равна 24 см. Найдите высоту, проведенную к стороне АН.

А

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Неверно выполнен чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


2.      Решить задачу.

Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона.

 

    Р=6

 

 

 

 

 

 

1х+2х+3х=6

6х=6

х=1

 

2х=2

 

Ответ: 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При этом не выполняется неравенство треугольника.

 

3.      Решить задачу

В окружность радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник АВС. Радиус ОА образует с основанием АВ треугольника АВС угол в 300. Найдите боковую сторону треугольника10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый радиусом ОА с основанием АВ вписанного равнобедренного треугольника), заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры: а) окружность центра О радиуса 8 см и вписанный в эту окружность остроугольный равнобедренный треугольник АВС; б) та же окружность и вписанный в нее тупоугольный равнобедренный треугольник АВС1.

 

 

 

 

 

 

 

рис.1

 

4.      

Рассмотрим произвольный АВС (рис.2).

Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О.

Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС.

 Очевидно, что

ОА=ОС и OD=ОЕ. Но тогда AOD =СОЕ по катету и гипотенузе.

Поэтому DAO=ЕСО. В то же время ОАС=ОСА, так как АОС - равнобедренный. Получаем: ВАС=DAO+ОАС=ЕСО+ОСА=ВСА

Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому АВС - равнобедренный: АВ=ВС.

 

 

 

 

 

 

 

При построения чертежа. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для не равнобедренного треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

 

 

Рис.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ∟С=90, ВД - биссектриса угла СВА, СК=КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

 

∟С=90, ВД - биссектриса ∟ СВА, СК=КА, ОК ^ СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ ^ АВ, ОL ^ ВС.

Имеем: D LВО=D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,

 D КОА=D ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ,  ∟ ОКА и

 ∟ ОМА - прямые), ∟ ОАК = ∟ МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС

 

 

Рассуждения о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

 

 

рис. 3                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

Логические софизмы

«Когда же учиться?»

 

1. По ночам занятий нет, половина суток свободна.

Остаётся: 365-182=183 дня. 2.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна. Остаётся:183-183:4=137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится 15 дней, таким образом, выходных в учебном году52-15=37 дней.

Итого остаётся 137-37=100 дней.

4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние (7 дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году 100-100=0 дней. Когда же учиться?!

 

http://uslide.ru/images/18/24868/960/img4.jpg

 

 

http://mihailovoschool.ucoz.ru/Image/zagadka-5-kopeek.gif

 

 

 

В процессе обучения математики обнаружение и анализирование ошибки, заключенной в софизме, оказываются более  важными,  чем просто разбор решений «безошибочных» задач.

http://ppt4web.ru/images/8/23433/640/img2.jpg

 

 

 

 

 

http://fs00.infourok.ru/images/doc/223/20260/1/640/img6.jpg

 

 

 

   


http://900igr.net/datas/matematika/Urok-Umnozhenie-drobej/0006-006-Najdite-oshibku.jpg

Анализ гео­мет­ри­че­ских высказываний

1.   Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2) Вер­ти­каль­ные углы равны.

3) Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной.

 

2.   Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

2) Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны.

3)  Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны.

3.   Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части.

2) В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су.

 

4.   Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют.

2) Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом.

3) Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180° .

 

5.   Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Если угол ост­рый, то смеж­ный с ним угол также яв­ля­ет­ся ост­рым.

2) Диа­го­на­ли квад­ра­та вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

3) В плос­ко­сти все точки, рав­но­удалённые от за­дан­ной точки, лежат на одной окруж­но­сти.


 

Сборник «Софизмы из наших школьных тетрадей»

Сборник «Софизмы из наших школьных тетрадей»

Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9 класс)

Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9  класс)

Арифметические софизмы

Арифметические софизмы

Алгебраические софизмы 1

Алгебраические софизмы 1

Вычислить: = = = 6 6 = 46656 *

Вычислить: = = = 6 6 = 46656 *

Если одно число больше другого, то эти числа равны»

Если одно число больше другого, то эти числа равны»

Если “ a ” больше “ b ”, то “ a ” всегда больше, чем “2 b ”»

Если “ a ” больше “ b ”, то “ a ” всегда больше, чем “2 b ”»

Упростить выражение: = = = =2- = ç х ç

Упростить выражение: = = = =2- = ç х ç

Геометрические софизмы 1

Геометрические софизмы 1

Решить задачу В окружность радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник

Решить задачу В окружность радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник

Рассмотрим произвольный ∆ АВС (рис

Рассмотрим произвольный ∆ АВС (рис

С=90, ВД - биссектриса угла

С=90, ВД - биссектриса угла

Логические софизмы «Когда же учиться?» 1

Логические софизмы «Когда же учиться?» 1

В процессе обучения математики обнаружение и анализирование ошибки, заключенной в софизме, оказываются более важными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач

В процессе обучения математики обнаружение и анализирование ошибки, заключенной в софизме, оказываются более важными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач

Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9 класс)

Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9  класс)

Анализ гео­мет­ри­че­ских высказываний 1

Анализ гео­мет­ри­че­ских высказываний 1
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.