Научно-исследовательская работа "Софизмы" (8 - 9 класс)

Сборник

Выполнили: Шеметова  Анастасия,

 Глазунова Екатерина,

 ученицы 8Б  класса,

МБОУ «СОШ №18».

Г.  Миасс

Челябинская область

Арифметические софизмы

Софизм

Ошибка

1.« Дважды два - пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5. 

Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания:  

  ав + ас = а(в + с).

2. Верно ли равенство 7=8?

35+14-49=40+16-56

7(5+2-7)=8(5+2-7)

Следовательно, 7=8

Обе части равенства разделили на (5+2-7), но нарушено правило, что на "0" делить нельзя (5+2-7=0)

3.  Некто утверждал, что

45-45=45.

Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

9+8+7+6+5+4+3+2+1

1+2+3+4+5+6+7+8+9

8+6+4+1+9+7+5+3+2

Будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как 9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь нетрудно установить,

8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.

Итак, 45-45=45».

  Ошибка состоит в том, что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

4. «Меньшее число больше, чем большее».

Очевидно, что7>5 и что

 -8=-8

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величинах, на основании которого мы считаем меньшей ту  отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим

 (-1)* (-4)>(-3)*(-4)

 или 4>12

Где ошибка?

Разбор софизма:

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

Алгебраические софизмы

1.      Выполнить действия:

 - 10 ×  =

=11 – 10  ×  =

 =  = 0,8

Неправильный   порядок действий:

 - 10 ×  =

=11 – 10  ×  =

=11 - 10  =

=11 - 10 =

=11 – 10 ×0,8 = 11 – 8 = 3

2.      Выполнить вычитание дробей:

 -  =

= -   = =

Нарушение правил приведения дробей к общему знаменателю:

   -   = 

 =   =

= =

  =

3.      Сократить дробь:

Нарушение правил сокращения дробей: 

4.      Решить уравнение:

  +  =  x²

ОДЗ: все числа, кроме 2.

 -  = x²

 Умножим обе части уравнение на x-2

2-3x-2=x²(x-2)

Разложили на множители квадратный трёхчлен

 2-3x-2=2(x-2) (x+ )=

= (x-2) (2x+1)

(x-2) (2x+1)=x² (x-2)

Разделим обе части уравнения на x-2,получим

2x+1=x²

х² -2x -1 =0

Д=4+4=8

х₁= ==

= 1+

х₂=1-

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1-; 1+.

  При делении уравнения

 (x-2)(2x+1)=x² (x-2) , на x-2произошла потеря корня

Верное решение:

x² (x-2) – (x-2) (2x+1)=0

(x-2) (x²-2x-1)=0

x-2=0 или x² -2x -1=0

x=2 или x₁=1+ и x₂ = 1- 

Уравнение имеет три корня: 2;

1+; 1-.

Но 2 - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1+; 1- .

5.      Вычислить:

  =  =

= 6⁶ = 46656

  *  

Правило: при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются, а основание остаётся прежним.

6.       «Отрицательное число больше положительного».

 Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию:

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а > - с, следовательно, должно быть –а > с, т.е. отрицательное число больше положительного.

 Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

6. «Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: 
х = а + а + а + а+… .
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как 
х = а + (а + а + а +….)
в которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма
бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что
х = а + х, откуда заключаем, что 
а=0 

  
Ошибка допущена в равенстве (1) , в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х. 

7.      « Если одно число больше другого, то эти числа равны»

Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что m > n , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т.е. а+b+c=d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на m, получим:

ma  + mb + mc = md,
na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства: 

ma + mb + mc = md  и

 nd = na + nb + nc

 получим:     ma + mb + mc + nd = na + nc + nb + md.

Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем

ma + mb + mc – md = na + nb + nc - nd.
Вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m (a + b + c - d) = n (a + b + c - d).

Разделив обе части последнего равенства на (a + b + c - d), находим, что m = n.

a + b + c – d =0,

на ноль делить нельзя.

8.      Решим систему двух уравнений:

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда

                                                               8=6

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:                                 

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые  у = 3 - и у = 4 - параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

9.      « Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше, чем “2b”»

Возьмем два произвольных положительных числа a и b, такие, что   a > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство:

 ab > b·b,

 а отняв от обеих его частей a·a, получим неравенство:

 ab-a·a > b·b - a·a,

 которое равносильно следующему:

                                           a(b-a) > (b+a)(b-a).   (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на b-a получим, что

                                          a > b+a  (2),

Прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство a> b, имеем

2a >2b+a,

откуда  a > 2b.

 Итак, если a > b, то a > 2b.

Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2).

Т.к. a > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на  b – a, мы должны поменять знак неравенства на противопо- ложный.

10.Меньшее число больше, чем большее.»

Очевидно,что7>5 и что -8=-8

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величинах, на основании которого мы считаем меньшей ту  отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим (-1)∙ (-4)>(-3)*

*(-4) или 4>12

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

11.Упростить выражение:

 = =

= =2-

= çх ç

  При вычислении квадратного корня  2- < 0

  = =

= =ç2- ç= - 2

Геометрические софизмы

1.      Решить задачу:

 В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 150º, сторона АС  равна 24 см. Найдите высоту, проведенную к стороне АН.

	А

Неверно выполнен чертеж.

2.      Решить задачу.

Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона.

1х+2х+3х=6

6х=6

х=1

2х=2

Ответ: 2

Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При этом не выполняется неравенство треугольника.

3.      Решить задачу

В окружность радиуса 8 см вписан равнобедренный треугольник АВС. Радиус ОА образует с основанием АВ треугольника АВС угол в 300. Найдите боковую сторону треугольника10

Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый радиусом ОА с основанием АВ вписанного равнобедренного треугольника), заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры: а) окружность центра О радиуса 8 см и вписанный в эту окружность остроугольный равнобедренный треугольник АВС; б) та же окружность и вписанный в нее тупоугольный равнобедренный треугольник АВС₁.

рис.1

4.      

Рассмотрим произвольный ∆АВС (рис.2).

Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О.

Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС.

 Очевидно, что

ОА=ОС и OD=ОЕ. Но тогда ∆AOD =∆СОЕ по катету и гипотенузе.

Поэтому DAO=ЕСО. В то же время ОАС=ОСА, так как ∆АОС - равнобедренный. Получаем: ВАС=DAO+ОАС=ЕСО+ОСА=ВСА

Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому ∆АВС - равнобедренный: АВ=ВС.

При построения чертежа. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для не равнобедренного треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

Рис.2

5. ∟С=90, ВД - биссектриса угла СВА, СК=КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

∟С=90, ВД - биссектриса ∟ СВА, СК=КА, ОК ^ СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ ^ АВ, ОL ^ ВС.

Имеем: D LВО=D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,

 D КОА=D ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ,  ∟ ОКА и

 ∟ ОМА - прямые), ∟ ОАК = ∟ МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС

Рассуждения о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

рис. 3                             

Рис. 4

Логические софизмы

«Когда же учиться?»

1. По ночам занятий нет, половина суток свободна.

Остаётся: 365-182=183 дня. 2.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна. Остаётся:183-183:4=137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы приходится 15 дней, таким образом, выходных в учебном году52-15=37 дней.

Итого остаётся 137-37=100 дней.

4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние (7 дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году 100-100=0 дней. Когда же учиться?!