Об обучении математике в начальных классах болгарской школы

Об обучении математике

в начальных классах болгарской школы

Вопросы, что изучать на уроках математи- ки в начальной школе и конкретно в каж- дом классе и как структурировать отобран- ный математический материал, являются трудными и дискуссионными. В Болгарии периодически происходят изменения со- держания обучения математике в целях его совершенствования.

Содержание курса математики связано с целями и задачами обучения, с возрастны- ми особенностями маленьких учеников, потребностями практики. Для болгарской системы обучения характерно следующее.

Математический материал излагается спиралевидно. Так, например, каждое рас- ширение области чисел включает изучен- ные до этого числа, действия с ними, свой- ства действий, причем изученные свойства и правила дополняются, расширяются, обобщаются, рассматриваются на более вы- соком теоретическом уровне. То же самое относится и к геометрическому материалу. Осуществляется переход от конкретных представлений об отдельных геометричес- ких фигурах (квадрат, круг, треугольник, прямоугольник и др.) к общим представле- ниям, которые облегчают формирование со- ответствующих понятий в старших классах. Построение математического материала характеризуется тенденцией к одновременно- му — совместному (в одном уроке) или парал-

лельному (в последовательных уроках) — изу- чению взаимообратных арифметических действий. Так, в I классе сложение и вычита- ние чисел в пределах 10 изучается одновре- менно, во II классе происходит одновременное изучение табличного умножения и деления и т.д. Параллельное изучение взаимообратных действий имеет определенное развивающее значение для учеников, кроме того, оно облег- чает автоматизацию сложения и вычитания чисел в пределах 10; сложения однозначных чисел, когда сумма является двузначным чис- лом, и соответствующих случаев вычитания; табличного умножения и деления.

Типичным для обучения математике в начальных классах является приобретение арифметических и геометрических знаний в единстве, причем ведущую роль играет арифметическое содержание. При изуче- нии геометрического материала по возмож- ности подыскивается его связь с арифмети- ческим материалом.

В обобщенном виде содержание, вклю- ченное в учебные программы (для I класса в 2001 г., для II класса — в 2002 г., для III и IV классов — в 2003 г.), следующее.

I класс

Числа

Числа от 0 до 20. Сложение и вычитание чисел в пределах 20. Связь между действи- ями сложения и вычитания.

Плоскостные фигуры

Квадрат, круг, треугольник, прямо- угольник, отрезок. Черчение отрезка задан- ной длины.

Измерение

Единицы измерения длины — санти- метр; массы — килограмм; времени — час; стоимости — лев, стотинка. Измерение дли- ны отрезка в сантиметрах. Сложение и вы- читание изученных однородных единиц из- мерения.

Моделирование

Текстовые задачи с одним подсчетом, которые: а) раскрывают смысл действий сложения и вычитания; б) предлагают най- ти число, которое больше или меньше на несколько единиц данного числа (в прямой форме); в) предлагают сравнить два числа по их разности. Составление текстовых за- дач учениками на основе практических действий, по рисунку, по заданному число- вому выражению и др.; решение задачи.

II класс

Числа

Числа от 21 до 100. Сложение и вычита- ние чисел в пределах 100. Переместитель- ное и сочетательное свойства сложения. Связь между действиями сложения и вычи- тания. Нахождение неизвестного слагаемо- го. Табличное умножение и деление. Пере- местительное и сочетательное свойства ум- ножения. Связь между действиями умноже- ния и деления. Нахождение неизвестного множителя. Порядок выполнения действий в числовых выражениях, содержащих скоб- ки и не содержащих скобки.

Плоскостные фигуры

Виды треугольников в зависимости от их сторон. Черчение квадрата и прямо- угольника на квадратной сетке.

Измерение

Единицы измерения длины — метр, де- циметр; времени — минута, сутки, неделя, месяц, год. Действия с изученными одно- родными единицами измерения. Нахожде- ние периметра треугольника, квадрата, пря- моугольника.

Моделирование

Текстовые задачи с одним подсчетом, которые: а) раскрывают смысл действий умножения и деления; б) требуют найти число, которое в несколько раз больше или

меньше заданного числа (в прямой форме); в) требуют сравнить два числа по их част- ному. Текстовые задачи с двумя подсчета- ми. Составление текстовых задач ученика- ми по рисунку, по заданному числовому выражению; решение задачи по чертежу.

III       класс

Числа

Числа от 101 до 1 000. Действия сложе- ния и вычитания чисел в пределах 1 000. Умножение и деление чисел на однознач- ное число в пределах 1 000. Распредели- тельное свойство умножения относительно сложения. Деление суммы на число. Озна- комление с одной второй, одной третьей, одной четвертой и одной десятой долями на базе деления на 2, 3, 4 и 10. Нахождение не- известного уменьшаемого и неизвестного делимого.

Плоскостные фигуры

Прямая линия, кривая линия, луч, угол. Квадрат как вид прямоугольника. Виды уг- лов, виды треугольников в зависимости от их углов. Черчение треугольника на квад- ратной сетке.

Измерение

Единицы измерения длины — милли- метр, километр; массы — грамм, тонна; вре- мени — секунда, век. Действия с изученны- ми однородными единицами измерения.

Моделирование

Текстовые задачи с одним подсчетом в косвенной форме. Текстовые задачи с тре- мя подсчетами. Составление текстовых за- дач учениками.

IV       класс

Числа

Числа от 1 001 до 1 000 000 000 (и боль- ше). Римские цифры. Сложение и вычита- ние многозначных чисел. Умножение и де- ление многозначных чисел на однозначное и двузначное число. Умножение и деление разности на число. Нахождение неизвест- ного вычитаемого и неизвестного делителя. Выполнение изученных действий с по- мощью электронного калькулятора.

Плоскостные фигуры

Окружность. Черчение окружности.

Измерение

Единицы измерения величины угла — градус; площади — квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный деци-

метр, квадратный метр, квадратный кило- метр, декар. Измерение угла транспорти- ром. Нахождение площади прямоугольни- ка. Действия с изученными однородными единицами измерения.

Моделирование

Текстовые задачи с тремя и более под- счетами. Составление текстовых задач уче- никами.

Если сравнить программы по математи- ке для I–IV классов 2001–2003 гг. с преды- дущими программами (1990–1993), можно выделить следующие различия.

Количество часов по учебному плану для II и III классов уменьшено на полчаса — 3,5 часа в неделю вместо 4 часов по старой программе. Для I и IV классов количество часов остается прежним — 4 часа в неделю. Учебное   содержание,   предусмотренное для I–IV классов, сокращено. Не изучается: деление с остатком (что, по нашему мне- нию, неправильно); умножение и деление на трехзначное и многозначное число; ем- кость и единицы измерения емкости (пола- гаем, это пробел); четырехугольник (пола- гаем, это тоже пробел); перпендикулярные и параллельные прямые; сложение и вычи- тание отрезков и углов. Не вводится бук- венная символика (обозначение числа бук- вой), связанные с ней уравнения первой степени с одним неизвестным и задачи на нахождение числового значения алгебраи- ческого выражения (в качестве подготовки к решению уравнений включаются задачи, в которых неизвестное число обозначено

окошком).

Сделана попытка упрощения изучаемого математического материала с учетом воз- можностей восприятия младших школьни- ков. Так, например, изучение прямой линии предусмотрено в III классе, а не в I (как это было по старой программе); то же самое от- носится и к квадрату как виду прямоуголь- ника. Площадь прямоугольника изучается в IV классе, а не в III и др.

В IV классе предусматривается исполь- зование электронного калькулятора. По

старой программе в учебник для II класса был включен один необязательный урок, посвященный электронному калькулятору, но на практике калькулятор не использо- вался.

Делается акцент на возможностях осу- ществления межпредметных связей.

Специальное внимание уделяется раз- витию умений работать в группе, формиро- ванию навыков защиты окружающей среды и собственного здоровья.

На базе новых программ по математике были разработаны учебные комплекты. Представленные разными авторскими кол- лективами учебные комплекты по матема- тике для каждого класса сначала были одоб- рены специальной комиссией, после чего отправлены во все школы Болгарии, и учи- теля их аттестовали по предложенной шка- ле баллов. Министерство образования и на- уки одобрило три комплекта для каждого класса, получившие большее число баллов.

Руководителем коллектива, написавше- го один из одобренных министерством учебных комплектов по математике для I и IV   классов,   является   автор   этой   статьи1. Комплект для каждого класса этого коллек- тива включает учебник с учебными карточ- ками, три учебные тетради и книгу для учи- теля. Остановлюсь коротко на основных идеях, использованных при разработке этих комплектов.

Основным принципом, на основе кото- рого построены учебные комплекты для I–IV классов, является доступность подачи математических знаний. Наш авторский коллектив искал по возможности самый простой для маленьких учеников способ представления математического содержа- ния, подходящее иллюстрирование, связан- ное с реальными, близкими к жизни детей ситуациями. Разработка разных способов решения задач предоставляет каждому уче- нику возможность выбрать самый легкий для него способ.

Например, при решении задачи: «Миша собрал 8 подснежников, а Спас — 4 под-

1 Авторами учебников математики являются З. Новакова в соавторстве с С. Ивановым (I класс); Т. Волковой, С. Ивановым (II–IV классы).

Автором книг для учителя I–IV классов является З. Новакова.

снежника. Сколько всего подснежников собрали оба мальчика?» можно использо- вать представленные в учебнике для I клас- са изображения трех мальчиков, которые разными способами вычисляют сумму 8 + 4. Один мальчик рисует подснежники и пос- ле этого считает их, второй присчитывает (9, 10, 11, 12), а третий дополняет до 10

(8 + 2 = 10; 10 + 2 = 12).

Геометрические фигуры: квадрат, круг, треугольник, прямоугольник — вводятся в I классе с помощью соответствующих геомет- рических тел, знакомых ученикам. Напри- мер, квадрат и круг вводятся как отпечатки, которые остаются от кубика и цилиндриче- ского ведерка на песке морского берега.

Все случаи с таблицами умножения на 2, 3, 4, ..., 10 иллюстрированы. Например, для таблицы умножения на 5 иллюстрация в учебнике для II класса выглядит так: одна упаковка с 5 кистями для рисования, две упаковки с 5 кистями каждая и т.д.

В основу построения учебных комплек- тов для I–IV классов положена мотивировка изучаемого математического материала. Текстовые задачи убеждают учеников в практической значимости получаемых ими знаний, ориентируют их на практическую де- ятельность. Этому помогают и включенные в наш учебник IV класса темы для внекласс- ной групповой работы. Например, ученикам предлагается выбрать и приобрести мебель для двухкомнатной квартиры с помощью кредита, взятого в банке; спланировать рас- ход денег, полученных школой в дар, и др.

Учебные комплекты разработаны сооб- разно с деятельностным подходом. Вклю- ченные задачи требуют от учеников выпол- нения различной деятельности: подсчет; черчение; измерение на предмете, модели, чертеже; работа с моделями геометрических фигур; раскрашивание, рисование; извлече- ние информации из картины, текста; учас- тие в играх с математическим содержанием.

Например, решая задачу: «Вырежи углы на второй карточке учебника» (учебник ма- тематики для III класса), ученики знако- мятся с острым и тупым углами с помощью наложения вырезанного прямого угла на другие вырезанные углы.

В учебных комплектах от I до IV клас- са широко используется рисование — для

обнаружения результата определенного действия, для выяснения содержания текстовой задачи, а также для проверки ее решения.

Например, решение задачи: «Александр любит рисовать снежную бабу с большой метлой. У него 18 пастелей. Разложи их в 3 коробки поровну. Сколько пастелей поло- жишь в каждую коробку?» (учебник мате- матики для II класса) ученики осуществля- ют с помощью рисования, «раскладывая» пастели: в одну коробку, во вторую, в третью, снова в первую, вторую и т.д.

При решении в III классе задачи: «Отец Димитра плотник. Димитр покрасил сде- ланные отцом 32 колесика и начал при- креплять их к деревянным вагончикам — к каждому вагончику по 4 колесика. На сколько вагончиков хватит у него колеси- ков?» ученики находят ответ, последова- тельно обводя окружностью каждые 4 коле- сика из 32, нарисованных в учебнике.

Для понимания содержания текстовой задачи: «Двенадцать учеников танцуют, взявшись за руки. Их на 3 больше, чем уче- ников, танцующих врозь. Сколько учени- ков танцуют сами по себе?», сформулиро- ванной в учебнике математики для III клас- са в косвенной форме, от учеников требует- ся дорисовать рисунок и решить задачу. Для осмысления решения текстовых задач в косвенной форме можно использовать и соответствующий чертеж.

Разработанные учебные комплекты спо- собствуют осуществлению проблемного обу- чения, развивающего познавательную са- мостоятельность учеников, их творческие способности. Этому помогает включенная во все учебники для I–IV классов рубрика

«Я открываю». Задачи, с помощью которых выясняется новое учебное содержание, ре- шены не полностью, а предполагают вклю- чение учащихся в процесс решения, пере- нос изученных знаний и умений в новые си- туации, творчество со стороны учеников. При закреплении и обобщении знаний и умений предлагаются задания творческого характера: составление текстовых задач; ре- шение задач различными способами; зада- чи, которые допускают больше решений, — их надо исчерпать или указать их опреде- ленное число.

Например, прежде чем вывести алго- ритм деления на двузначное число, учени- кам в учебнике для IV класса предлагается найти частное 224 : 14 — они должны дога- даться использовать умножение на дву- значное число, что уже изучено.

Для задачи: «У Влади 36 марок, а у Тошко в 4 раза меньше. На сколько больше марок у Влади? А на сколько меньше марок у Тошко?» ученики должны найти верное решение среди трех, данных в учебнике для II класса.

Включены задачи, для решения которых ученики должны сами искать все или неко- торые числовые данные, что приобщает учащихся к использованию основных ис- точников информации: прейскурантов, рас- писаний поездов, карт шоссейных дорог, каталогов и др. Эти источники даны как ри- сунки к соответствующей задаче, или уче- ники находят их сами.

Учебные комплекты содействуют усвое- нию предусмотренного программой матема- тического материала, формированию уме- ний и навыков. Специальное внимание уде- ляется автоматизации действий: сложения и вычитания чисел в пределах 10 и в пределах 20, табличного умножения и деления. В кни- гах для учителя соответствующего класса разработаны игры, которые помогают такой автоматизации. Например, в ходе игры

«Волшебный мешочек» ученик вынимает из мешочка лист с задачей, и все ученики под- нимают ответ — карточку, вырезанную из приложения к учебнику для I класса. В кни- ге для учителя (I класс) разработаны и соот- ветствующие «табло», которые облегчают автоматизацию таблиц; каждое «табло» со- держит и подходящий рисунок.

Делается акцент на предупреждении ти- пичных ошибок, которые допускают учени- ки. Этому помогает присутствие в учебни- ках двух персонажей — девочек-близняшек, причем одна из них всегда дает неправиль- ный ответ, а другая — правильный. «Какая из девочек ответила верно?» — должны оп- ределить ученики.

К задачам на отгадывание загадок, обна- ружение отсутствующих слов в стихотворе- ниях, поиск ответов на поставленные воп- росы в учебниках математики представле- ны и буквы, соответствующие неверным ре-

шениям; наша цель — преодолеть типичные ошибки.

Учебные комплекты для I–IV классов способствуют организации самостоятель- ной работы учеников как обучающего, так и проверочного характера. Каждый учебник по математике содержит по меньшей мере

10 самостоятельных работ для проверки знаний и умений учеников, причем для каждой задачи указано соответствующее число очков для оценки. Эти самостоятель- ные работы составлены в форме состязаний и турниров. Перед каждым турниром в учебнике дана страница с дополнительны- ми задачами «Это интересно» и страница из блокнота ученика Николая «Я знаю», на которой систематизированы изученные ма- тематические знания и умения, — для ус- пешного участия в турнире.

Например, на последней странице учеб- ника для IV класса нарисован путь на незна- комую планету, до которой ученики «доле- тят» в учебном году. Сообразно полученным результатам они закрашивают соответству- ющей краской дорогу до космических стан- ций и спутников по пути к планете. Когда они достигают ее в конце IV класса, каждый ученик приклеивает свою фотографию.

В книгах для учителя предлагаются за- дачи на проверку знаний и умений учени- ков по математике в начале соответствую- щего класса (входной уровень) и в конце учебного года (уровень выхода), причем разработаны показатели проверки и оценки их выполнения.

Учебные комплекты предоставляют воз- можность осуществлять работу в группе, что активизирует учеников, побуждает их к самостоятельной деятельности. В книгах для учителя отмечены задачи, подходящие для групповой работы. Такие задачи стимулиру- ют учеников к высказыванию разных точек зрения, поиску различных решений, а это по- вод для сопоставления, сравнения. У учени- ков воспитываются критичность и самокри- тичность, развиваются способности к обще- нию, дискуссии, сотрудничеству. В учебник для IV класса включены и задачи для внекласс- ной групповой работы (по четырем темам). Например, от группы «исследователей» тре- буется собрать сведения о спутниках планет, космических полетах до Луны и придумать

интересные задачи с использованием этих данных. Результаты каждой внеклассной групповой работы демонстрируются перед классом на отдельном уроке математики; в их обсуждении участвуют все ученики.

В учебные комплекты по математике включен материал, дающий ученикам воз- можность осуществлять самоконтроль (например, использовать связи между взаи- мообратными действиями). Некоторые из задач сопровождаются образцами отдельных этапов решения, ответами. Страницы «Да- вайте играть» учебника для IV класса содер- жат ответы на более трудные задачи, вклю- ченные в уроки перед соответствующим тур- ниром. Содержащиеся в учебниках самосто- ятельные работы, при выполнении которых ученики раскрашивают рисунки в соответ- ствии с показанными ими результатами, со- действуют формированию самооценки.

Учебные комплекты предоставляют возможности для осуществления связей со всеми изучаемыми предметами, среди кото- рых болгарский язык и литература, родино- ведение, окружающий мир, человек и обще- ство, человек и природа, изобразительное искусство, музыка, домашний быт и техни- ка, физическое воспитание и спорт, безо- пасность дорожного движения.

Разработанные учебные комплекты построены сообразно гуманно-личностному подходу. Мы постарались сделать их адрес- ными, обращенными к целостной личности ученика с ее потребностями, интересами, стремлениями. Наша цель состоит в том, чтобы эмоционально-мотивационный ком- понент, образное и логическое мышление ак- тивизировались не поэтапно, а одновремен- но, в неделимом единстве. Обеспечено при- сутствие эмоционального момента в каж- дом уроке. Включение постоянных героев в комплекты от I до IV класса (8 учеников из различных городов и сел Болгарии, среди которых один турецкого происхождения, один — римского и один — армянского, па- ра двойняшек, волшебник Аргеом (арифме- тика и геометрия), придумывающий задачи для самых догадливых, ученик Знайка, ко- торый знает все из старшего класса, клоун Кико, который придумывает математичес- кие игры и ведет рубрику «Давайте иг- рать!»); сюжетная разработка уроков; при-

сутствие любопытных данных, интересных рубрик обеспечивают необходимый эмоци- ональный фон.

В процесс обучения включены элементы искусства как фактор стимулирования ин- тегральной психической активности учени- ков: драматизация текстовых задач, широкое применение рисования в качестве средства для осмысления задач и контроля. В книгах для учителя рекомендуется при самостоя- тельной работе использовать музыкальный фон — произведения классики (А. Корелли, А. Вивальди,   Г. Генделя,   В.А. Моцарта, Ф.Й. Гайдна, П. Чайковского и др.).

Для каждого класса в книге для учителя разработан «Праздник математики», на котором присутствуют родители. Все уче- ники участвуют в нем, самостоятельно или в парах, предлагают свои задачи и отмечают правильность и быстроту их решения ос- тальными учениками. До начала праздника ученики сами изготавливают награды для победителей. Такие праздники активизиру- ют учащихся, повышают их интерес к мате- матике. Для каждого праздника в учебнике дана карточка, по которой под тихую музы- ку работают ученики.

В книгах для учителя для III и IV клас- сов представлен опыт составления сборника по математике учениками соответствую- щего класса. Каждый ученик подготавлива- ет по одной странице сборника, придумав интересную задачу, сделав рисунок или по- добрав соответствующую картинку, вписы- вает имя, отчество и фамилию и приклеива- ет свою фотографию.

Учебные комплекты для I–IV классов позволяют учителю строить работу так, чтобы его отношение к ученикам было всег- да внимательным, ободряющим, стимули- рующим, укрепляющим их веру в свои воз- можности. Это способствует воспитанию в детях толерантности доброты, отзывчивос- ти, стремления к взаимопомощи. Посред- ством содержания текстовых задач воспи- тывается уважение к родителям, пожилым людям, учителям, традициям, человеч- ность, стремление к защите природы и собственного здоровья. Все это способству- ет осуществлению благородной задачи гу- манизации обучения математике в началь- ных классах школы