Олимпиада по математике 4 класс

Олимпиада по математике 4 класс

1.Чтобы открылись ворота в сказочный город Числоград, ребятам надо было на табло при въезде: зажечь числа в свободных клетках так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, равнялась 20. Помоги ребятам попасть в этот город!

2.Сколько различных произведений, кратных 10, можно образовать из множителей 2, 3, 5, 7, 9 (каждый множитель можно использовать только один раз, порядок множителей не принимается во внимание)?

3.Найди множество решений неравенства 2<y<5. запиши другие неравенства, имеющие то же самое множество решений. Сделай рисунки

4.Собрался Иван царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. «Вот тебе меч –кладенец,- говорит ему Баба Яга одним ударом ты можешь срубить змею либо одну голову, либо две головы ,либо один хвост, либо два хвоста .Запомни: срубишь голову -новая вырастет , срубишь хвост -2  новых вырастут, срубишь 2 хвоста -голова вырастет, срубишь 2 головы -ничего не вырастет» Сможет ли Иван царевич срубить змею все голову и все хвосты за девять ударов? Обоснуй свой ответ

5. В семье четверо детей им 5, 8, 13 и 15 лет.
Зовут их Таня, Юра, Света и Лена.
Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

6. Замени буквы цифрами, чтобы получилась верная запись

кошка + кошка + кошка = собака 

7.Учитель задал на уроке замысловатую задачу В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого в классе больше -решивших задачу или девочек?

8.Запиши ряд из 10 чисел, в котором первое число 1, второе - 2, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих.

9.Алиса считала ступеньки лестницы. Между пятым и первым этажом она насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек между первым и вторым этажом, если их количество между всеми этажами одинаковое?

ОТВЕТЫ:

1.Ответ

2.Ответ

2*5 = 10 
2 • 5 • 3 = 30 
2*5*3*7 = 210 
2*5*3*9 = 270
 2 • 5 • 3 • 7 • 9 = 1890 
2 • 5 • 7 = 70 
2 * 5 • 7 • 9 = 630 
2 * 5*9 = 90 
Ответ: 8 различных произведений.

3.Ответ:

{3,4}3 < у < 4
2 < у < 4
3 < у < 5

4.Ответ:

Нам нужно добиться четного количества голов, чтобы рубить их в итоге попарно. Для этого сначала добьемся, чтобы у змея было нечетные количество пар  хвостов (3 х 2) и 3 головы.

1) Рубим 1 хвост, в итоге 3 головы и (3 – 1 + 2) = 4 хвоста.

2) Рубим 1 хвост, в итоге 3 головы и 5 хвостов.

3) Рубим 1 хвост, в итоге 3 головы и 6 хвостов.

Теперь будем рубить по 2 хвоста, в результате чего будет добавляться по одной голове.

4) Рубим 2 хвоста, в итоге 4 головы и 4 хвоста.

5) Рубим 2 хвоста, в итоге 5 голов и 2 хвоста.

6) Рубим 2 хвоста, в итоге 6 голов и 0 хвостов.

Теперь рубим по 2 головы, в результате не добавляется ничего.

7) Рубим 2 головы, в итоге 4 головы.

8) Рубим 2 головы, в итоге 2 головы.

9) Рубим 2 головы, в итоге 0 голов, 0 хвостов.

Ответ: 9 ударов.

5. Ответ:

В детский сад ходит ребенок, которому 5 лет.

По условию задачи — это девочка.

Следовательно — это не Юра.

По условию Таня старше, чем Юра.

Следовательно, Юра — не самый старший ребенок, а значит, ему не 15 лет.

Рассмотрим всевозможные суммы из чисел 5, 8, 13 и 15.

На 3 делятся только две из них: 18 = 5 + 13 и 21 = 8 + 13.

Так как сумма лет Тани и Светы делится на 3, то одной из этих девочек обязательно 13 лет (число 3 входит в
каждую из двух возможных сумм).

Следовательно, Юре не 13 лет; значит, ему 8 лет.

Из того, что Таня старше, чем Юра, следует, что Тане 13 лет, Свете 5 лет.

Следовательно:
— Свете 5 лет,
— Юре 8 лет,
— Тане 13 лет,
— Лене 15 лет.

Ответ: Свете 5 лет, Юре 8 лет, Тане 13 лет, Лене 15 лет.

6.Пойдем с конца. В нулевом разряде имеем: а+а+а= . а (т. е. некое двузначное число, последняя цифра которого - а) 
Нетрудно перебором проверить, что подобным свойством обладают две цифры: 
а = 0 или а = 5 

Если а = 0, то получим: кошк0 + кошк0 + кошк0 = соб0к0. При этом анализируя первый разряд, т. е. уравнение к + к + к = . к придем к выводу, что к = 5, и исходное уравнение преобразуется в следующее: 
5ош50 + 5ош50 + 5ош50 = соб050 
Тогда уравнение на второй разряд получается таким: ш + ш + ш + 1 = .0, т. е. 3 * ш = .9 
Отсюда ш = 3 
Получаем: 
5о350 + 5о350 + 5о350 = соб050 
Очевидно, с = 1, так что исходное уравнение примет вид: 
5о350 + 5о350 + 5о350 = 1об050 
Наконец, выписываем уравнения на третий и четвертый разряды: 
о + о + о + 1 = .б 
5 + 5 + 5 + (0 или 1 или 2) = .о 
Из второго равенства получаем о = 5 или о = 6 или о = 7 Первое нам не подходит, так как уже занято. 
Если о = 6, то о + о + о + 1 = .б преобразуется в 3*6+1 = .б = 19, т. е. б = 9 
Если о = 7, то о + о + о + 1 = .б преобразуется в 3*7+1 = .б = 22, т. е. б = 2 

Рассмотрим теперь случай а = 5 
Получаем: 
кошк5 + кошк5 + кошк5 = соб5к5 
Для первого разряда получается равенство: к + к + к + 1 = к, или 2*к+1 = .0 Справа стоит четное число, слева - нечетное, значит, решений в этом случае нет. 

Получили два ответа: 

56350 + 56350 + 56350 = 169050 
57350 + 57350 + 57350 = 172050

7. Ответ:

Так как количество мальчиков, решивших эту задачу оказалось равным количеству девочек, не решивших задачу, то количество решивших задачу равно количеству девочек.

Действительно: Разделим мальчиков и девочек на решивших 
задачу и не решивших ее:
                         Д(р) - девочки, решившие задачу
                         Д(н) - девочки, не решившие задачу
                         М(р) - мальчики, решившие задачу.

Тогда: Д(р) + М(р) - количество решивших задачу.
            Д(р) + Д(н) - количество девочек.

Но по условию: Д(н) = М(р). Тогда:
                                                           Д(р) + М(р) = Д(р) + Д(н)
То есть количество решивших задачу равно количеству 
девочек в классе.

Ответ: количество решивших задачу равно количеству
            девочек. 

8. Ответ:

1 число: 1;
2 число: 2;
3 число: 1 * 2 = 2;
4 число: 2 * 2 = 4;
5 число: 2 * 4 = 8;
6 число: 4 * 8 = 32;
7 число: 8 * 32 = 256;

8 число: 32 * 256 = 8192;

9 число: 256 * 8192 = 2097152;

10 число: 8192 * 2097152 = 17179869184

Ответ: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192, 2097152, 17179869184

9. Ответ:

1) Найдем, сколько этажей со ступеньками посчитала Алиса:
5 − 1 = 4 (этажа).
2) Значит, между первым и вторым этажом:
100 : 4 = 25 (ступенек).
Ответ: 25 ступенек между первым и вторым этажом.