Олимпиада математика 1 курс

Задания, оцениваемые в 1 балл.  В заданиях 1­6 выберите один правильный ответ из пяти Первая часть.   предложенных. 1. Решите уравнение: 12,3 : 6 = 7х : 4,2.          1) 1,35                    2) 1,23                    3) 8,61                      4) 1,861                     5) 1                   6)   0 2. Найдите значение выражения: –2,5 ∙ (–1,6) + 41,6 : (–4).            1) 14,4                    2) –14,4                 3) – 10,4                    4) – 6,4                      5) 6,4                6) 10,4 3. Найдите наименьшее из чисел, если известно, что 0 < х < 1.        1) х15                     2) х13                      3) х5                           4) х16                           5) x0          6) x­2 4. Последовательность аn задана следующим образом a1 = 1, an = 3an­1 при n ≥ 2. Чему равно  а6 – а5?        1) 270                   2) 162                    3) 243                         4) 81                           5) 112                6) 87 5. Упростите выражение (а – 6)2 – 3а (4а – 5).         1) –11а2+3а+36                   2) 11а2–3а–36                   3) –11а2–3а+36                  4) –11а2+3а+15 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; –7; –1; а; ... . Найдите член  прогрессии, обозначенный буквой а:        1) –6                                     2) –5                                  3) 5                                      4) –7  . Задания, оцениваемые в 3 балла.  В заданиях 7–11 выберите три правильных ответа из Вторая часть   шести предложенных. 7. Какие из следующих утверждений верны? 1) Треугольник называется равносторонним, если его боковые стороны равны. 2) Многоугольник называется выпуклым, если  все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. 3) В подобных треугольниках отношение площадей равно коэффициенту подобия. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 5)   Если   три   угла   одного   треугольника   соответственно   равны   трем   углам   другого   треугольника,   то   такие треугольники равны. 6) Через три точки не лежащей на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. 8. Даны две параллельные прямые a || b, выберите равные углы: 1)  2)  3)  4)  5)  6)  9. В равнобедренном треугольнике  ABC  с основанием  AC  отрезок  BH является высотой треугольника. Тогда BH также является: 1) медианой     2) диагональю     3) радиусом     4) перпендикуляром     5) биссектрисой     6) диаметром  10. Какие из данных функций нечетная? 1) у = 2х3– х              2)  у = х4           3) у = х­2         4) у =  3 х                5) у = – х               6) y =  2 х 9      11.  Для какого уравнения пара чисел  x =  –2,  y = 1  является его решением? 1) х 2 – 2у – 3 = 0                     3) х2 – у2 + 2 = 0                         5)  (х + 2) (у – 1) = 0    2) ху + у2 + 1 = 0                     4) ху – у2 – 1 = 0                         6)    1 2 Задания,  оцениваемые  в 4/5 баллов.  В заданиях  12–16 установите  соответствие между Третья часть.   содержанием первого и второго столбцов  12. Сопоставьте уравнение, которым задана функция, с областью определения этой функции.  Функция Область определения функции   А) (–1; 0)  B) [–2; 0)  C)  (0; √3) D)  [14; +∞) С1) Д2)  В3)  А4)  13. Сопоставьте уравнения с их корнями: Уравнения Корни уравнения С1)  А2)  Д3)  А4) А)  B)   C)     D)   14. Сопоставьте выражение с его значением: Выражение Д1)  С2)  А3)  5 В4)   , при a = 4, b = Значение выражения А) 0 В)   С) – 1 D)  15. Сопоставьте выражение с соответствующим ему значением: Выражение Значение выражения А) ab­2 А1) B)  ab­1 C)  1 D)  ab2 Д2)  С3)  В4)  16. Сопоставьте неравенство с его решением: Неравенство Д1)  А2)  С3)  4)  Множество решений неравенства А)  В)  С) ( D)  В заданиях 17­18 установить правильную последовательность. 17. Расположите события по датам (от более раннего к более позднему): 1) Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как пар вещественных 2) Выход в свет «Основания геометрии» Гильберта 3) Публикация «Алгебраического анализа» Коши  4) Публикация систем аксиом математической логики Фреге 5) Публикация системы аксиом для натуральных чисел. Дедекинд 18. Решите уравнения и расставьте их в порядке возрастания действительных корней, которые получатся после решения этих уравнений:  5х3 – 8х2 – 8х + 5 = 0 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 3х3 + 4х2 + 2х = 0 х5 – 2х3 + х2 + х = 0 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 )    Задания,  оцениваемые  в 7 баллов.  В заданиях  19­25  ответ  записывается  в таблицу Четвертая  часть.   ответов, начиная с первой клеточки. Каждую букву, цифру или символ пишите в отдельной клеточке, буквы должны быть печатными 19.  Даны множества:   А = {2; 4; 6; …; 24},  B  = {18; 19;…; 36 }. Найдите АВ.  (Ответ расположите в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов!) 20.  Запишите все целые решения неравенства  6х2  + х – 15 ≤ 0.  (Ответ расположите в порядке возрастания через точку с запятой без пробелов!)  21. Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести?   22. Четвертый член геометрической прогрессии равен 24, а шестой равен 54. Найдите пятый член этой  прогрессии. 23. Определите количество решений системы уравнений:  у х 2   0,    6 0. х у 24. Сколько осей симметрии имеет снежинка?  25. Число ф является  решением квадратного уравнения:  х2 – х – 1 = 0  Его можно представить через тригонометрические функции: ф = 2 cos 36 ф = 2 sin 54 Можно представить в виде бесконечной цепной дроби: Как называется это число?    