Олимпиада по математике

Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 8 класс Составитель: Давыдова Лариса Викторовна, учитель высшей квалификационной категории МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа» 2017 г. 8.1.  Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили,   влажность   снизилась   до   98%.   Какой   стала   масса   этих   грибов после просушивания? 8.2. Докажите, что если a +2 b = 3 c  и b + 2c =3 a, то c + 2a =3 b. 8.3. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и  высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34о. Найдите углы этого  треугольника. 8.4. В формулу линейной функции y = kx+b вместо букв k и b впишите числа  от 1 до 10 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось пять функций,  графики которых проходят через одну точку. 8.5. Грани игрального кубика занумерованы числами от 1 до 6. Петя сложил из восьми игральных кубиков куб вдвое большего размера так, что числа на  прилегающих друг к другу гранях кубиков одинаковы. Может ли сумма всех  24 чисел, написанных на поверхности сложенного Петей куба, равняться 99? Решения, указания, ответы. 8.1. Решение.  В 100 кг грибов – 1 кг сухого вещества и 99 кг воды.  После подсушивания сухого вещества стало 2%. Так как масса сухого  вещества сохраняется, то 2% = 1 кг, следовательно, грибы стали весить  50 кг Ответ: 50 кг. 8.2. Решение. Сложив два данных равенства, получим a +3 b +2 c =3 c  + 3a , откуда c + 2a = 3 b.  Замечание. Решая систему методом подстановки, получим: a = b = c,  откуда также следует доказываемое равенство. 8.3. Решение.                  В По условию АН  ВС, тогда из АНС получим: С = 900 – 340 = 560, по свойству острых углов  прямоугольного треугольника. По свойству углов при основании равнобедренного  треугольника А = С = 560.        Н Тогда по сумме внутренних углов треугольника  получим В = 1800 – А – С = 1800 – 560 – 560 = 680.        А     340                            С Ответ. В = 680, А = С = 560. 8.4. Решение.  Например, графики функций  y=x+10, y=2x+9, y=3x+8, y=4x+7, y=5x+6, проходят через точку (1,11). 8.5.   Решение.  Сумма   чисел,   записанных   на   гранях   всех   игральных кубиков равна (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6)  8, то есть четному числу. Так как числа на прилегающих друг к другу гранях кубиков одинаковы, то они все числа внутри большого куба разбиваются на пары одинаковых. То есть сумма всех чисел внутри большого куба четна. Значит, и сумма всех чисел на поверхности большого куба также должна быть четной (как разность четных чисел) и не может равняться 99. Ответ: Не может. Рекомендуемое время проведения олимпиады для 8­х классов – 4 часа. Проверка и оценивание олимпиадных работ Каждая задача оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится  по сумме баллов, набранных Участником.  Основные принципы оценивания приведены в таблице. Баллы 7 6­7 5­6 4 2­3 1 0 0 Правильность (ошибочность) решения  Полное верное решение.  Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не  влияющие на решение Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок,  либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать  правильным после небольших исправлений или дополнений. Верно  рассмотрен один из двух (более сложный)  существенных случаев.   Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в  решении задачи.   Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии  решения (или при ошибочном решении).  Решение неверное, продвижения отсутствуют Решение отсутствует.